13.2.3直角三角形的性质与判定-课件（共28张PPT）-数学沪科版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.2.3直角三角形的性质与判定-课件（共28张PPT）-数学沪科版（2024）八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 14.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-05 00:00:00 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
13.2.3直角三角形的性质与判定
1
2
3
掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用；
了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；
理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2.
三角形的内角和定理是什么？
三角形的内角和等于180°.
我们是如何得到的？
①测量
47°
73°
60°
②折叠
③剪拼
你能证明这个定理吗？
都不是证明
13.2.3 直角三角形的性质与判定 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握三角形定义、内角和定理、几何证明的基本步骤与格式）
核心目标：1. 掌握直角三角形的两个核心性质（两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半）及判定定理（有两个角互余的三角形是直角三角形）；2. 能运用性质与判定解决线段计算、角度推导问题，并规范书写证明过程；3. 通过动手操作与逻辑推理，深化对“性质与判定互逆”的理解，培养几何直观与推理能力。
教学重难点：重点为直角三角形的性质与判定的推导及应用；难点为“斜边上的中线等于斜边的一半”的证明及性质与判定的综合运用。
教学准备：PPT课件、直角三角形纸片（每组3张，含等腰直角三角形）、直尺、圆规、量角器、探究任务单。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，衔接旧知（5分钟）
1. 生活情境设问：PPT展示生活中的直角三角形实例（如直角三角尺、楼梯扶手与地面形成的角、矩形窗框的对角线分割图形），提问：“这些三角形有什么共同特征？我们之前学过三角形内角和是180°，那么直角三角形的两个锐角之间可能有什么关系？”
2. 旧知衔接：回顾“三角形内角和定理”及“几何证明的步骤”，引出“直角三角形作为特殊三角形，不仅有‘有一个角是90°’的特征，还蕴含着特殊的边、角关系，今天我们将通过推理证明探究这些规律”。
3. 引出课题：明确本节课主题——直角三角形的性质与判定。
设计意图：从生活实例提取直角三角形的直观特征，以三角形内角和定理和证明知识为铺垫，自然引发对特殊关系的探究兴趣。
环节二：探究新知一——直角三角形的性质（15分钟）
本环节分“角的性质—边的性质”两步，每步遵循“猜想—验证—证明—总结”的流程，强化几何证明的应用。
1. 性质1：直角三角形的两锐角互余
1. 猜想：给学生发放直角三角形纸片，用量角器测量两个锐角的度数并相加，引导猜想“直角三角形的两个锐角之和为90°”，即互余。
2. 证明：教师引导学生用几何证明规范推导：
命题：直角三角形的两锐角互余。
3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。
4. 求证：∠A+∠B=90°。
5. 证明过程：∵ 三角形内角和为180°（已证定理），∴ ∠A+∠B+∠C=180°。又∵ ∠C=90°（已知），∴ ∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°（等式性质）。因此，∠A与∠B互余（互余的定义）。
6. 即时应用：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=35°，则∠B=______（答案：55°）；若∠A=∠B，则∠A=______（答案：45°，即等腰直角三角形）。
2. 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1. 动手猜想：活动1——学生用圆规作Rt△ABC，∠C=90°，找到AB边的中点D，连接CD（斜边上的中线），用直尺测量CD和AB的长度，发现“CD= AB”。
2. 证明突破：教师示范证明思路（构造全等三角形），师生共同完成证明：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点。
3. 求证：CD= AB。
4. 证明过程：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE、BE。∵ D是AB中点，∴ AD=BD。又∵ CD=DE，∠ADC=∠BDE（对顶角相等），∴ △ADC≌△BDE（SAS）。∴ AC=BE，∠ACD=∠BED（全等三角形对应边、角相等）。∴ AC∥BE（内错角相等，两直线平行）。∵ ∠ACB=90°，∴ ∠CBE=90°（两直线平行，同旁内角互补）。又∵ AC=BE，BC=CB（公共边），∴ △ACB≌△EBC（SAS）。∴ AB=CE（全等三角形对应边相等）。∵ CD= CE（由作图知CD=DE），∴ CD= AB（等量代换）。
5. 推论总结：若直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则该线段是斜边上的中线；特别地，等腰直角三角形斜边上的中线同时也是斜边的高和顶角平分线（三线合一）。
6. 即时应用：在Rt△ABC中，斜边AB=10cm，D是AB中点，则CD=______cm（答案：5）；若∠A=30°，则BC=______cm（答案：5，为后续30°角性质铺垫）。
设计意图：通过动手操作感知性质，再用规范证明强化逻辑，使学生体会“猜想—验证—证明”的几何研究方法，突破“斜边上的中线”性质证明的难点。
环节三：探究新知二——直角三角形的判定（10分钟）
本环节聚焦“定义判定”与“角的判定”，突出“性质与判定互逆”的逻辑关系。
1. 判定1：定义判定（有一个角是直角的三角形是直角三角形）
直接回顾：由直角三角形的定义直接可得，这是最基础的判定方法。例如：在△ABC中，若∠C=90°，则△ABC是Rt△。
2. 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形（性质1的逆命题）
1. 逆命题提出：提问“性质1‘直角三角形两锐角互余’的逆命题是什么？这个逆命题成立吗？”引导学生说出“有两个角互余的三角形是直角三角形”，并尝试证明。
2. 证明：学生独立完成，教师点评规范：
已知：在△ABC中，∠A+∠B=90°。
3. 求证：△ABC是直角三角形（即∠C=90°）。
4. 证明过程：∵ ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A+∠B=90°（已知），∴ ∠C=180°-90°=90°（等式性质）。∴ △ABC是直角三角形（直角三角形的定义）。
5. 判定辨析：强调“两个角互余”是判定的核心，与性质1形成“互逆”关系，体现“正逆思维”在几何中的应用。
6. 即时应用：在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，则△ABC是______三角形（答案：直角）；若∠A=2∠B，且∠A+∠B=90°，则∠A=______（答案：60°），△ABC是Rt△。
设计意图：通过逆命题推导判定定理，让学生理解性质与判定的逻辑关联，强化“逆思维”能力，同时巩固几何证明的规范书写。
环节四：综合应用，强化能力（10分钟）
本环节分“基础应用—综合证明”，结合性质与判定解决实际问题，深化知识融合。
1. 基础题：性质与判定的直接应用
例题1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A=60°，AB=8cm，求：（1）∠B的度数；（2）CD的长度；（3）BC的长度。
- 学生解答：（1）∠B=90°-60°=30°（性质1）；（2）CD= AB=4cm（性质2）；（3）在Rt△ABC中，∠B=30°，故BC= AB=4cm（后续将专门证明的30°角性质，此处结合性质2引导发现）。
2. 综合题：性质与判定的证明融合
例题2：求证：“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”（性质2的逆命题，即直角三角形的判定3）。
1. 学生分组推导，教师引导：
已知：在△ABC中，D是AB的中点，且CD= AB。
2. 求证：△ABC是直角三角形。
3. 证明思路：由CD=AD=BD（D是中点且CD= AB），得∠A=∠ACD，∠B=∠BCD（等边对等角）；再由内角和定理，∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，即2(∠ACD+∠BCD)=180°，故∠ACB=90°。
4. 教师强调：此判定定理可直接用于“中线与边长关系”的直角三角形判断，是性质2的重要逆用。
设计意图：基础题巩固定理直接应用，综合题强化“性质与判定互逆”的推理逻辑，提升学生的综合证明能力。
环节五：总结升华，梳理体系（5分钟）
1. 知识梳理：引导学生用表格总结直角三角形的性质与判定：
类别核心内容逻辑关联性质1. 两锐角互余；2. 斜边上的中线=斜边的一半已知直角三角形→推导出边/角关系判定1. 有一个角是90°；2. 两锐角互余；3. 一边中线=这边的一半已知边/角关系→判定为直角三角形（性质的逆用）
2. 思想提炼：强调本节课核心思想——正逆思维（性质与判定互逆）、逻辑推理（证明的严谨性）、数形结合（动手操作与几何推理结合）。
3. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“性质应用”和“判定证明”类题目，规范书写；
4. 选做：用直角三角形的性质设计一个“测量池塘两端距离”的方案（提示：利用斜边上的中线等于斜边的一半）。
三、板书设计
13.2.3 直角三角形的性质与判定
一、直角三角形的性质（已知Rt△→推关系）
1. 角的性质：两锐角互余
例：Rt△ABC中，∠C=90°→∠A+∠B=90°
证明：内角和定理+等式性质
2. 边的性质：斜边上的中线=斜边的一半
例：Rt△ABC中，D是AB中点→CD= AB
证明：构造全等三角形（延长中线）
二、直角三角形的判定（已知关系→判Rt△）
1. 定义判定：有一个角是90°
2. 角的判定：两锐角互余（性质1的逆命题）
证明：内角和定理→∠C=90°
3. 边的判定：一边中线=这边的一半（性质2的逆命题）
三、综合应用
例：Rt△中，∠A=60°，AB=8cm→CD=4cm，BC=4cm
核心：性质与判定互逆，证明规范
四、思想方法：正逆思维、逻辑推理
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“斜边上的中线”性质的证明思路是否理解？构造辅助线（延长中线）的方法是否需要加强引导？
2. 学生能否准确区分直角三角形的性质与判定？在综合题中是否能灵活选择对应定理？
3. 证明过程的书写是否规范？“依据标注”和“逻辑链条”是否完整？
知识点1
三角形内角和定理的证明
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
分析：你通过剪拼、折叠的过程中受到什么启发吗？
都是把三个角拼在一起构成一个平角.
你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA. (同位角相等，两直线平行)
∴ ∠A=∠1. (两直线平行，内错角相等)
∵B、C、D在同一条直线上，(所作)
∴∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.(等量代换)
E
D
1
2
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.
辅助线通常画成虚线.
你还能想到其他添加辅助线构造平角的方法吗？
证法一
证法二
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
1
2
l
证明：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，(平角的定义)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换)
证法三
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
1
2
3
D
E
F
证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C=∠1，∠B=∠3. (两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°.
(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠A=∠2. (等量代换)
∵∠1+∠2+∠3=180°，(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠C=180°. (等量代换)
除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部和外部构造平角.
思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？
两直线平行，同旁内角互补
讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？
A
B
C
A
B
C
l
D
E
F
根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法.
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
知识点2
三角形内角和定理的推论1，2
问题1：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.
推论1 直角三角形的两锐角互余.
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论.
问题2：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°– (∠A+∠B)=180°– 90°= 90°.
推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
1.在△ABC 中，
（1）∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ；
（2）∠A = 50°，∠B = ∠C，则∠B = ；
（3）∠A -∠C = 25°，∠B -∠A = 10°，则
∠B = ；
（4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 三角形.
练一练
60°
65°
75°
直角
分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：① DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°；
②∠A＝30°；
③ ∠FCD＝80°.
2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
∠1+∠2=∠3+∠4
“A”字形
∠A+∠B=∠C+∠D
“8”字形
基本图形归纳
1.补充完成下列证明，并填上推理的依据.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作DE∥BC，
则 ∠DAB=________，∠EAC=________，
( )
∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC=________，
∴ ∠B+ ∠BAC+∠C=________+________+________
=180°.( )
随堂练习
【教材P80 练习 T1】
A
B
C
D
E
∠B
∠C
两直线平行，内错角相等
180°
∠DAB
∠BAC
∠EAC
平角的定义
【教材P80 练习 T2】
A
B
C
D
E
F
3
1
2
2.补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：在BC边上取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F.
∵DE∥AB，
∴∠B=∠3.(两直线平行，同位角相等)
∵DF∥AC，
∴∠C=∠1.(两直线平行，同位角相等)
又 ∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.(等量代换)
知识点1 三角形内角和定理的证明
1. 在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，综合实践小
组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形
的内角和等于 ”的是( )
D
A. B. C. D.
返回
知识点2 直角三角形的性质
（第2题）
2. ［2025淮北第一中学期中］两个直角
三角板如图放置，则与 的度
数之和等于( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，已知 ， ，
垂足为 .则下列结论中一定正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025芜湖无为十校联考］如图，
，分别是 的高和角平分线，
若 ， ，则 的
度数为( )
A
A. B. C. D.
（第4题）
【点拨】 ， ，
.又
是 的角平分线，
. 是
的高，
.
.
返回
（第5题）
5. 如图，在中， ，点
，分别为，上一点，将
沿直线翻折至同一平面内，点 落在
点处，，分别交边于点 ，
.若 ，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】 ，
.由折
叠得 ，
.
，
. .
.故选A.
返回
三角形内角和定理的证明及推论 1、2
三角形内角和定理的证明
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
谢谢观看！
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第13章 三角形中的边角关系、命题证明
13.2.3直角三角形的性质与判定
1
2
3
掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用；
了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；
理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2.
三角形的内角和定理是什么？
三角形的内角和等于180°.
我们是如何得到的？
①测量
47°
73°
60°
②折叠
③剪拼
你能证明这个定理吗？
都不是证明
13.2.3 直角三角形的性质与判定 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握三角形定义、内角和定理、几何证明的基本步骤与格式）
核心目标：1. 掌握直角三角形的两个核心性质（两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半）及判定定理（有两个角互余的三角形是直角三角形）；2. 能运用性质与判定解决线段计算、角度推导问题，并规范书写证明过程；3. 通过动手操作与逻辑推理，深化对“性质与判定互逆”的理解，培养几何直观与推理能力。
教学重难点：重点为直角三角形的性质与判定的推导及应用；难点为“斜边上的中线等于斜边的一半”的证明及性质与判定的综合运用。
教学准备：PPT课件、直角三角形纸片（每组3张，含等腰直角三角形）、直尺、圆规、量角器、探究任务单。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境导入，衔接旧知（5分钟）
1. 生活情境设问：PPT展示生活中的直角三角形实例（如直角三角尺、楼梯扶手与地面形成的角、矩形窗框的对角线分割图形），提问：“这些三角形有什么共同特征？我们之前学过三角形内角和是180°，那么直角三角形的两个锐角之间可能有什么关系？”
2. 旧知衔接：回顾“三角形内角和定理”及“几何证明的步骤”，引出“直角三角形作为特殊三角形，不仅有‘有一个角是90°’的特征，还蕴含着特殊的边、角关系，今天我们将通过推理证明探究这些规律”。
3. 引出课题：明确本节课主题——直角三角形的性质与判定。
设计意图：从生活实例提取直角三角形的直观特征，以三角形内角和定理和证明知识为铺垫，自然引发对特殊关系的探究兴趣。
环节二：探究新知一——直角三角形的性质（15分钟）
本环节分“角的性质—边的性质”两步，每步遵循“猜想—验证—证明—总结”的流程，强化几何证明的应用。
1. 性质1：直角三角形的两锐角互余
1. 猜想：给学生发放直角三角形纸片，用量角器测量两个锐角的度数并相加，引导猜想“直角三角形的两个锐角之和为90°”，即互余。
2. 证明：教师引导学生用几何证明规范推导：
命题：直角三角形的两锐角互余。
3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。
4. 求证：∠A+∠B=90°。
5. 证明过程：∵ 三角形内角和为180°（已证定理），∴ ∠A+∠B+∠C=180°。又∵ ∠C=90°（已知），∴ ∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°（等式性质）。因此，∠A与∠B互余（互余的定义）。
6. 即时应用：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=35°，则∠B=______（答案：55°）；若∠A=∠B，则∠A=______（答案：45°，即等腰直角三角形）。
2. 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1. 动手猜想：活动1——学生用圆规作Rt△ABC，∠C=90°，找到AB边的中点D，连接CD（斜边上的中线），用直尺测量CD和AB的长度，发现“CD= AB”。
2. 证明突破：教师示范证明思路（构造全等三角形），师生共同完成证明：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点。
3. 求证：CD= AB。
4. 证明过程：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE、BE。∵ D是AB中点，∴ AD=BD。又∵ CD=DE，∠ADC=∠BDE（对顶角相等），∴ △ADC≌△BDE（SAS）。∴ AC=BE，∠ACD=∠BED（全等三角形对应边、角相等）。∴ AC∥BE（内错角相等，两直线平行）。∵ ∠ACB=90°，∴ ∠CBE=90°（两直线平行，同旁内角互补）。又∵ AC=BE，BC=CB（公共边），∴ △ACB≌△EBC（SAS）。∴ AB=CE（全等三角形对应边相等）。∵ CD= CE（由作图知CD=DE），∴ CD= AB（等量代换）。
5. 推论总结：若直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则该线段是斜边上的中线；特别地，等腰直角三角形斜边上的中线同时也是斜边的高和顶角平分线（三线合一）。
6. 即时应用：在Rt△ABC中，斜边AB=10cm，D是AB中点，则CD=______cm（答案：5）；若∠A=30°，则BC=______cm（答案：5，为后续30°角性质铺垫）。
设计意图：通过动手操作感知性质，再用规范证明强化逻辑，使学生体会“猜想—验证—证明”的几何研究方法，突破“斜边上的中线”性质证明的难点。
环节三：探究新知二——直角三角形的判定（10分钟）
本环节聚焦“定义判定”与“角的判定”，突出“性质与判定互逆”的逻辑关系。
1. 判定1：定义判定（有一个角是直角的三角形是直角三角形）
直接回顾：由直角三角形的定义直接可得，这是最基础的判定方法。例如：在△ABC中，若∠C=90°，则△ABC是Rt△。
2. 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形（性质1的逆命题）
1. 逆命题提出：提问“性质1‘直角三角形两锐角互余’的逆命题是什么？这个逆命题成立吗？”引导学生说出“有两个角互余的三角形是直角三角形”，并尝试证明。
2. 证明：学生独立完成，教师点评规范：
已知：在△ABC中，∠A+∠B=90°。
3. 求证：△ABC是直角三角形（即∠C=90°）。
4. 证明过程：∵ ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A+∠B=90°（已知），∴ ∠C=180°-90°=90°（等式性质）。∴ △ABC是直角三角形（直角三角形的定义）。
5. 判定辨析：强调“两个角互余”是判定的核心，与性质1形成“互逆”关系，体现“正逆思维”在几何中的应用。
6. 即时应用：在△ABC中，∠A=40°，∠B=50°，则△ABC是______三角形（答案：直角）；若∠A=2∠B，且∠A+∠B=90°，则∠A=______（答案：60°），△ABC是Rt△。
设计意图：通过逆命题推导判定定理，让学生理解性质与判定的逻辑关联，强化“逆思维”能力，同时巩固几何证明的规范书写。
环节四：综合应用，强化能力（10分钟）
本环节分“基础应用—综合证明”，结合性质与判定解决实际问题，深化知识融合。
1. 基础题：性质与判定的直接应用
例题1：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A=60°，AB=8cm，求：（1）∠B的度数；（2）CD的长度；（3）BC的长度。
- 学生解答：（1）∠B=90°-60°=30°（性质1）；（2）CD= AB=4cm（性质2）；（3）在Rt△ABC中，∠B=30°，故BC= AB=4cm（后续将专门证明的30°角性质，此处结合性质2引导发现）。
2. 综合题：性质与判定的证明融合
例题2：求证：“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”（性质2的逆命题，即直角三角形的判定3）。
1. 学生分组推导，教师引导：
已知：在△ABC中，D是AB的中点，且CD= AB。
2. 求证：△ABC是直角三角形。
3. 证明思路：由CD=AD=BD（D是中点且CD= AB），得∠A=∠ACD，∠B=∠BCD（等边对等角）；再由内角和定理，∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，即2(∠ACD+∠BCD)=180°，故∠ACB=90°。
4. 教师强调：此判定定理可直接用于“中线与边长关系”的直角三角形判断，是性质2的重要逆用。
设计意图：基础题巩固定理直接应用，综合题强化“性质与判定互逆”的推理逻辑，提升学生的综合证明能力。
环节五：总结升华，梳理体系（5分钟）
1. 知识梳理：引导学生用表格总结直角三角形的性质与判定：
类别核心内容逻辑关联性质1. 两锐角互余；2. 斜边上的中线=斜边的一半已知直角三角形→推导出边/角关系判定1. 有一个角是90°；2. 两锐角互余；3. 一边中线=这边的一半已知边/角关系→判定为直角三角形（性质的逆用）
2. 思想提炼：强调本节课核心思想——正逆思维（性质与判定互逆）、逻辑推理（证明的严谨性）、数形结合（动手操作与几何推理结合）。
3. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“性质应用”和“判定证明”类题目，规范书写；
4. 选做：用直角三角形的性质设计一个“测量池塘两端距离”的方案（提示：利用斜边上的中线等于斜边的一半）。
三、板书设计
13.2.3 直角三角形的性质与判定
一、直角三角形的性质（已知Rt△→推关系）
1. 角的性质：两锐角互余
例：Rt△ABC中，∠C=90°→∠A+∠B=90°
证明：内角和定理+等式性质
2. 边的性质：斜边上的中线=斜边的一半
例：Rt△ABC中，D是AB中点→CD= AB
证明：构造全等三角形（延长中线）
二、直角三角形的判定（已知关系→判Rt△）
1. 定义判定：有一个角是90°
2. 角的判定：两锐角互余（性质1的逆命题）
证明：内角和定理→∠C=90°
3. 边的判定：一边中线=这边的一半（性质2的逆命题）
三、综合应用
例：Rt△中，∠A=60°，AB=8cm→CD=4cm，BC=4cm
核心：性质与判定互逆，证明规范
四、思想方法：正逆思维、逻辑推理
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“斜边上的中线”性质的证明思路是否理解？构造辅助线（延长中线）的方法是否需要加强引导？
2. 学生能否准确区分直角三角形的性质与判定？在综合题中是否能灵活选择对应定理？
3. 证明过程的书写是否规范？“依据标注”和“逻辑链条”是否完整？
知识点1
三角形内角和定理的证明
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
分析：你通过剪拼、折叠的过程中受到什么启发吗？
都是把三个角拼在一起构成一个平角.
你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA. (同位角相等，两直线平行)
∴ ∠A=∠1. (两直线平行，内错角相等)
∵B、C、D在同一条直线上，(所作)
∴∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.(等量代换)
E
D
1
2
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.
辅助线通常画成虚线.
你还能想到其他添加辅助线构造平角的方法吗？
证法一
证法二
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
1
2
l
证明：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，(平角的定义)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换)
证法三
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
A
B
C
1
2
3
D
E
F
证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C=∠1，∠B=∠3. (两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°.
(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠A=∠2. (等量代换)
∵∠1+∠2+∠3=180°，(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠C=180°. (等量代换)
除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部和外部构造平角.
思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？
两直线平行，同旁内角互补
讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？
A
B
C
A
B
C
l
D
E
F
根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法.
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
知识点2
三角形内角和定理的推论1，2
问题1：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.
推论1 直角三角形的两锐角互余.
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论.
问题2：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°– (∠A+∠B)=180°– 90°= 90°.
推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
1.在△ABC 中，
（1）∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ；
（2）∠A = 50°，∠B = ∠C，则∠B = ；
（3）∠A -∠C = 25°，∠B -∠A = 10°，则
∠B = ；
（4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 三角形.
练一练
60°
65°
75°
直角
分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：① DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°；
②∠A＝30°；
③ ∠FCD＝80°.
2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
∠1+∠2=∠3+∠4
“A”字形
∠A+∠B=∠C+∠D
“8”字形
基本图形归纳
1.补充完成下列证明，并填上推理的依据.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作DE∥BC，
则 ∠DAB=________，∠EAC=________，
( )
∵ ∠DAB+∠BAC+∠EAC=________，
∴ ∠B+ ∠BAC+∠C=________+________+________
=180°.( )
随堂练习
【教材P80 练习 T1】
A
B
C
D
E
∠B
∠C
两直线平行，内错角相等
180°
∠DAB
∠BAC
∠EAC
平角的定义
【教材P80 练习 T2】
A
B
C
D
E
F
3
1
2
2.补充完成下列证明：
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：在BC边上取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F.
∵DE∥AB，
∴∠B=∠3.(两直线平行，同位角相等)
∵DF∥AC，
∴∠C=∠1.(两直线平行，同位角相等)
又 ∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.(等量代换)
知识点1 三角形内角和定理的证明
1. 在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，综合实践小
组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形
的内角和等于 ”的是( )
D
A. B. C. D.
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知识点2 直角三角形的性质
（第2题）
2. ［2025淮北第一中学期中］两个直角
三角板如图放置，则与 的度
数之和等于( )
C
A. B. C. D.
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（第3题）
3. 如图，已知 ， ，
垂足为 .则下列结论中一定正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025芜湖无为十校联考］如图，
，分别是 的高和角平分线，
若 ， ，则 的
度数为( )
A
A. B. C. D.
（第4题）
【点拨】 ， ，
.又
是 的角平分线，
. 是
的高，
.
.
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（第5题）
5. 如图，在中， ，点
，分别为，上一点，将
沿直线翻折至同一平面内，点 落在
点处，，分别交边于点 ，
.若 ，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】 ，
.由折
叠得 ，
.
，
. .
.故选A.
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三角形内角和定理的证明及推论 1、2
三角形内角和定理的证明
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
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