14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形-课件（共26张PPT）数学沪科版（2024）八年级上册

(共26张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第14章 全等三角形
14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形
假设有一块较大的三角形玻璃摔成了两半，需要去玻璃店重新配置，若只能选一块碎片带去，你会怎么选择？为什么？
14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握全等三角形定义、性质及“SAS”判定定理，具备几何作图与基础推理能力）
核心目标：1. 理解“两角及其夹边分别相等”的含义，掌握全等三角形的“ASA”判定定理；2. 能运用“ASA”定理规范证明两个三角形全等，并结合三角形内角和推导相关结论；3. 经历“迁移—探究—验证—应用”的过程，培养几何直观与逻辑推理能力。
教学重难点：重点为“ASA”判定定理的推导与应用；难点为“夹边”的识别及“ASA”与“SAS”判定定理的综合运用。
教学准备：PPT课件、硬纸板、直尺、圆规、量角器、剪刀、探究任务单（含作图模板）。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：情境迁移，引出新问（5分钟）
1. 旧知回顾：提问“上节课我们学习了哪种全等判定方法？其核心是什么？”（引导学生回答“SAS”，核心是“两边及其夹角”），并板书符号语言强化记忆。
2. 新情境设问：PPT展示情境——考古学家在遗址中发现一块三角形文物碎片，测得碎片的一个边为5cm，这条边的两个邻角分别为60°和70°，如何依据这些数据复原完整的三角形文物？提问：“确定‘两角及其夹边’，能否保证两个三角形全等？这与‘SAS’有什么不同？”
3. 引出课题：明确本节课主题——探究“两角及其夹边分别相等的两个三角形”是否全等，进而提炼新的判定定理。
设计意图：通过旧知回顾建立认知基础，以考古复原的实际情境激发探究需求，同时通过与“SAS”的对比，明确本节课的探究方向。
环节二：探究新知——ASA判定定理的推导（18分钟）
本环节延续“SAS”的探究思路，通过“明确概念—动手作图—验证猜想—定理总结”，层层递进构建“ASA”定理，突破“夹边”识别的难点。
1. 概念辨析：明确“两角及其夹边”的含义
教师在黑板画△ABC，标注BC=5cm，∠B=60°，∠C=70°，解释：“这里的‘两角’是∠B和∠C，‘夹边’是这两个角的公共边BC，即两个角的顶点都在这条边上，区别于‘一角及其对边’。”
即时练习：展示△DEF，标注∠D=50°，∠E=60°，DE=4cm，提问：“∠D和∠E的夹边是哪条？”（答案：DE），强化“夹边是两角公共边”的认知。
2. 动手操作：构造两角及其夹边相等的三角形
活动1——“全等三角形复原”实验，学生分组按以下步骤作图，教师巡回指导规范操作：
1. 作线段BC=5cm（用直尺量取，标注端点B、C）；
2. 在BC的上方，以B为顶点作∠ABC=60°（用量角器画角，射线标注为BA）；
3. 以C为顶点作∠ACB=70°（射线标注为CA），两条射线交于点A，得到△ABC；
4. 另取硬纸板，重复上述步骤，作△DEF，使EF=5cm，∠E=60°，∠F=70°。
3. 验证猜想：叠合与推理双重验证
活动2——学生完成双重验证并记录结果：
- 直观验证：将△ABC与△DEF沿夹边叠放，观察顶点A与D是否重合，确认两三角形是否完全重合；
- 推理验证：已知∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，结合三角形内角和为180°，可推得∠A=∠D，再结合“SAS”的探究经验，判断三边对应相等，进而确认全等。
学生总结：“两角及其夹边分别相等的两个三角形能够完全重合”，初步形成猜想。
4. 定理总结：ASA判定定理的规范表述
教师结合学生探究结果，给出定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简称为“角边角”或“ASA”）。
符号语言规范：如图，在△ABC和△DEF中，若∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，则△ABC≌△DEF（ASA）。
对比强调：通过表格梳理“ASA”与“SAS”的区别，明确“ASA”核心是“两角夹边”，“SAS”核心是“两边夹角”，均需满足“夹”的位置关系。
判定方法
核心元素
位置关系
ASA
两角、夹边
夹边是两角的公共边
SAS
两边、夹角
夹角是两边的公共角
设计意图：通过“概念辨析—操作验证—对比总结”，让学生自主构建“ASA”定理认知，同时通过与“SAS”的对比，突破“夹边”“夹角”的易混淆点。
环节三：范例解析——ASA定理的应用（12分钟）
通过基础与进阶范例，示范“ASA”定理的应用场景，强化“找夹边—列条件—写证明”的逻辑，同时渗透三角形内角和的辅助作用。
1. 基础范例：直接应用ASA证明全等
例题1：如图，已知AB∥CD，AF=CE，∠A=∠C，求证：△ABF≌△CDE。
教师示范解题流程：
1. 找对应元素：由AB∥CD得∠B=∠D（内错角相等）；已知∠A=∠C，AF=CE（一组夹边相等），需确认AF与CE是对应夹边——AF是∠A与∠AFB的夹边，CE是∠C与∠CED的夹边，结合∠A=∠C、∠B=∠D，对应关系成立。
2. 规范证明：
证明：∵ AB∥CD（已知），∴ ∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）。在△ABF和△CDE中，$\left\{ \begin{array}{l} ∠A=∠C\ \ \ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ AF=CE\ \ \ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ ∠AFB=∠CED\ \ \text{（对顶角相等）} \end{array} \right.$∴ △ABF≌△CDE（ASA）。
3. 易错提醒：需先利用平行线性质挖掘隐含角相等，再确认夹边对应，避免混淆“对边”与“夹边”。
2. 进阶范例：ASA与内角和的综合应用
例题2：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。
学生分组讨论，教师引导突破：
1. 转化角相等：由∠3=∠4，得∠ACB=∠ADB（等角的补角相等）；已知∠1=∠2，公共边AB=AB（夹边相等），符合ASA条件。
2. 完整证明：
证明：∵ ∠3=∠4（已知），∴ 180°-∠3=180°-∠4（等式性质），即∠ACB=∠ADB。在△ABC和△ABD中，$\left\{ \begin{array}{l} ∠1=∠2\ \ \ \ \ \ \ \text{（已知）} \\ AB=AB\ \ \ \ \ \ \ \text{（公共边）} \\ ∠ACB=∠ADB\ \ \text{（已证）} \end{array} \right.$∴ △ABC≌△ABD（ASA）。
3. 思路提炼：当直接角不满足时，可利用内角和、补角/余角性质转化角，再应用ASA判定。
设计意图：基础范例强化定理直接应用，进阶范例体现角的转化思想，培养学生挖掘隐含条件的能力，衔接三角形内角和知识。
环节四：巩固练习，分层提升（7分钟）
设计梯度练习，覆盖“基础应用—定理辨析—综合拓展”，针对性强化“ASA”定理的理解与灵活运用。
1. 基础题：补充条件证全等
如图，已知∠A=∠D，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，还需添加的条件是______（写出一个即可），并证明。
答案提示：∠B=∠E（夹边AB与DE的对应角相等），证明略（利用∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，用ASA判定）。
2. 辨析题：ASA与“角角边”的初步认知
展示△ABC与△DEF，其中∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，提问：“这两个三角形全等吗？依据是什么？”引导学生发现：由内角和得∠C=∠F，转化为“ASA”判定，初步感知“角角边”与“ASA”的关联（为下节课铺垫）。
3. 综合题：ASA与SAS的融合应用
如图，已知AD=AE，∠ADC=∠AEB，∠1=∠2，求证：BD=CE。
提示：先证△ADC≌△AEB（ASA：∠1=∠2，AD=AE，∠ADC=∠AEB），得AB=AC，再由AD=AE得AB-AD=AC-AE，即BD=CE，证明过程略。
设计意图：基础题巩固定理应用，辨析题铺垫后续知识，综合题强化定理融合，提升学生的逻辑推理与知识迁移能力。
环节五：总结升华，拓展延伸（3分钟）
1. 知识梳理：引导学生用思维导图总结：
ASA定理：两角及其夹边分别相等→两三角形全等；
2. 核心要点：夹边是两角公共边，与SAS的“夹”位置不同；
3. 解题技巧：缺角补角、缺边补边，利用内角和转化角。
4. 思想提炼：强调“转化思想”（角的转化、定理的灵活转换）与“严谨思想”（对应关系的准确判断）。
5. 课后任务：
必做：教材对应习题，完成“ASA证明—性质应用”类题目；
6. 选做：结合本节课情境，设计“利用ASA测量河流宽度”的方案，画出示意图并说明原理。
三、板书设计
14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形
一、回顾与引入
1. SAS：两边及其夹角→全等
2. 新问题：两角及其夹边→全等？
二、ASA判定定理
1. 内容：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
简称：角边角（ASA）
2. 符号语言：
在△ABC和△DEF中
$\left\{ \begin{array}{l} ∠B=∠E（已知） \\ BC=EF（已知） \\ ∠C=∠F（已知） \end{array} \right.$
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
3. 与SAS对比：
ASA：两角夹边；SAS：两边夹角（均需“夹”关系）
三、应用要点
1. 找：夹边（两角公共边）、对应角（含隐含角）
2. 转：利用内角和、补角等转化角
3. 证：规范书写“已知—推证—结论”
四、思想方法：转化思想、严谨思想
四、教学反思（课后填写）
1. 学生对“夹边”的识别是否准确？在无公共边的复杂图形中，能否快速定位两角的夹边？
2. 学生能否灵活运用三角形内角和、补角性质转化角？常见的转化误区有哪些？
3. “ASA”与“SAS”的综合应用中，学生是否能根据已知条件选择合适的判定方法？需加强哪些对比练习？
推进新课
思考：到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
能够完全重合的两个三角形全等.
定义
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为“边角边”或“SAS”
边角边(SAS)
“角边角”呢？
已知：如图，△ABC.
求作：△A'B'C'，使∠B'=∠B，B'C'=BC，∠C'=∠C.
A
B
C
(2) 在B'C'的同侧，分别以B'，C′为顶点作∠MB'C'=∠B，∠NC'B'=∠C，B'M与 C'N交于点A'.
作法：
(1)如图，作线段B′C′=BC；
则△A'B'C' 就是所求作的三角形．
B′
C′
A′
N
M
思考：将所作的△A′B′C′ 剪下来，放到△ABC 上，看看它们能否完全重合.由此你能得到什么结论？
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”.
由上可得如下的基本事实：
A
B
C
B′
C′
A′
N
M
B′
A′
C′
B
A
C
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A′B′C′ . (ASA)
∠B=∠B'，
BC=B'C'，
∠C=∠C'，
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”.
想一想：如图，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由.
A
B
C
D
不全等，因为 BC 虽然是公共边，但不是对应边.
易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，对应角相等，否则不能判定.
例3 已知：如图，点 A，B，E在同一直线上， ∠1＝∠2，∠ 3＝∠4.
求证：DB＝CB.
B
C
D
1
2
3
4
A
E
分析：求证DB=CB
证明△ADB≌△ACB
∠1=∠2 (已知)
AB=AB (公共边)
∠ABD=∠ABC
∠3＝∠4
例3 已知：如图，点 A，B，E在同一直线上， ∠1＝∠2，∠ 3＝∠4.
求证：DB＝CB.
B
C
D
1
2
3
4
A
E
证明：∵∠ABD 与∠3 互为邻补角，
∠ABC 与∠4 互为邻补角，(已知)
又∵ ∠3＝∠4，(已知)
∴∠ABD＝∠ABC. (等角的补角相等)
在△ADB 和△ACB 中，
∠1＝ ∠2，(已知)
AB＝AB，(公共边)
∠ABD＝∠ABC，(已证)
∴ △ABD≌△ABC. (ASA)
∴ DB＝CB .
(全等三角形的对应边相等)
∵
例4 如图，点 A，B 位于河岸两侧，且 AB 垂直于河岸MN. 要测量 A，B 两点之间的距离，可以在 MN 上取两点 C，D，使 BC = CD，再过点 D 作 MN 的垂线 DE，使点 A，C，E 在同一直线上，这时测得 ED 的长就可得到 A，B 两点之间的距离，请说明这种测量方法的依据.
分析：题目要证明的是AB=DE
证明△ABC≌△EDC
∠ABC=∠EDC=90°(垂直定义)
BC=CD (已知)
∠ACB=∠ECD (对顶角相等)
我们在找相等的角时，注意隐含的条件——对顶角相等.
在△ABC 和△EDC 中，
∠ABC＝∠EDC，(已证)
BC＝DC，(已知)
∠ACB＝∠ECD ，(对顶角相等)
∴ △ABC≌△EDC. (ASA)
∴ AB＝ED. (全等三角形的对应边相等)
证明：AB⊥MN，ED⊥MN，(已知)
∴ ∠ABC＝∠EDC＝90°. (垂直的定义)
∵
练一练
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线. 求证：CF = C′F′.
∠A = ∠A′ ，
AC = A′C′，
∠ACF =∠A′C′F′ ，
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∠A =∠A′，
∠ACB =∠A′C′B′.
∴ AC = A′C′，
∴ CF = C′F′.
又∵CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线，
∴ ∠ACF =∠A′C′F′.
在 △ACF与△A′C′F′ 中
∴ △ACF≌△A′C′F′ .(ASA)
【教材P99 练习 T1】
1.已知：如图，∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠DCB.
求证：△ABC≌△DCB.
证明：
在△ABC 和△DCB 中，
∠ABC=∠DCB ，(已知)
BC=CB ，(公共边)
∠ACB=∠DBC，(已知)
∴△ABC≌△DCB . (ASA)
2.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，∠BAD=∠CAD.
求证：△ABD≌△ACD.
【教材P100 练习 T2】
证明：
在△ABD 和△ACD 中，
∠BAD=∠CAD，(已知)
AD = AD，(公共边)
∠ADB=∠ADC， (已证)
∴△ABD≌△ACD . (ASA)
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.(垂直定义)
3.两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别对应相等，求证这两个三角形全等.
【教材P100 练习 T3】
解：如图所示，已知：在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，
∠C= ∠C'=90°，AB=A'B'，∠A= ∠A'.
求证:△ABC≌△A'B'C'
证明：在△ABC和△A'B'C'中，
∠B=180°- ∠C- ∠A，∠B'=180°-∠C'-∠A'，
∵∠C= ∠C'=90°，∠A= ∠A′，
∴∠B=180°-∠C'-∠A'= ∠B'.
∠A=∠A′，(已知)
AB = A′B′，(已知)
∠B=∠B′， (已证)
∴△ABC≌△A′B′C′ . (ASA)
知识点1 判定三角形全等的条件：角边角
（第1题）
1. 如图,， 相交于点
，，要使 ，添加
一个条件是________________________.
（只写一个）
（答案不唯一）
返回
（第2题）
2. 如图，某同学把一块
三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到
玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么
最省事的办法是( )
C
A. 带①去 B. 带②去
C. 带③去 D. 带①和②去
返回
3.如图，在中，，动点 ，
，分别在边，， 上移动，移动过
程中始终保持， ，请你
分析是否存在始终与 全等的三角开有，
并说明理由.
【解】存在始终与 全等的三角形，
.理由如下：
,
, .
, .
在和中，， ,
,
.
返回
知识点2 “角边角”判定三角形全等的应用
（第4题）
4. 如图，在和 中，
，，且，则
的长是( )
A
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
返回
5.［2025六安校级模拟］如图，要测量水池的宽度 ，可从
点出发在地面上画一条线段，使，再从点 观测，
在的延长线上取一点，使 ，这时量得
，则水池宽是_____ .
160
（第5题）
返回
6.如图，点在线段上，在
和中，, ,
.试说明： .
【解】在和中，
, .
返回
7.如图，点,，, 在同一直线上，点
,在异侧，, ,
.
（1）求证： ;
【证明】, .
在和中，
.
（2）若, ,求 的度数.
【解】, , .
,, .
.
返回
三角形全等的判定方法“角边角”
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”.
B
A
C
B′
A′
C′
谢谢观看！