14.2.4 其他判定两个三角形全等的条件-课件-数学沪科版（2024）八年级上册

(共31张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第14章 全等三角形
14.2.4 其他判定两个三角形全等的条件
思考：到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？
能够完全重合的两个三角形全等.
定义
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
边角边(SAS)
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
角边角(ASA)
三边分别相等的两个三角形全等.
边边边(SSS)
A
B
C
在三角形的六个基本元素中选择三个元素对应相等，除了可以配成SAS，ASA，SSS外，还可以配成哪些情况？
AAA
SSA
AAS
这三种情况能判定三角形全等吗？
14.2.4 其他判定两个三角形全等的条件 教学课件
一、教学基本信息
授课对象：七年级学生（已掌握全等三角形定义、性质及“SSS”“SAS”“ASA”判定定理，具备几何推理与动手操作能力）
核心目标：1. 理解“角角边（AAS）”和“斜边直角边（HL）”的含义，掌握这两种全等三角形判定定理；2. 能根据不同图形条件，灵活选择AAS或HL证明三角形全等，规范书写推理过程；3. 经历“推导—验证—应用”的探究过程，深化逻辑推理能力，构建完整的全等判定知识体系。
教学重难点：重点为AAS和HL判定定理的推导与应用；难点为HL定理的适用场景辨析及全等判定方法的综合选择。
教学准备：PPT课件、硬纸板、直尺、圆规、量角器、剪刀、探究任务单、直角三角形纸片若干。
二、教学过程设计（45分钟）
环节一：旧知衔接，引出新探（5分钟）
1. 知识回顾：提问“我们已学哪些全等三角形判定方法？请用符号语言表述ASA定理”，引导学生回答并板书：SSS（三边）、SAS（两边夹角）、ASA（两角夹边），强调ASA的核心是“两角及夹边对应相等”。
2. 问题迁移：展示△ABC和△DEF，标注∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（∠A与∠B的夹边是AB，∠D与∠E的夹边是DE，BC是∠A的对边），提问：“已知两角及其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等吗？它与ASA有什么关系？”
3. 特殊情境设问：展示两个直角三角形纸片，标注斜边AC=DF，直角边BC=EF，提问：“直角三角形有一个角是直角，已知斜边和一条直角边对应相等，能否判定它们全等？这种情况与普通三角形的判定有何不同？”引出本节课主题——探究其他全等判定条件。
设计意图：通过旧知回顾建立认知基础，以“ASA的延伸”和“直角三角形的特殊性”为切入点，激发探究欲望，明确本节课的两个核心探究方向。
环节二：探究新知一——角角边（AAS）判定定理（15分钟）
本环节以ASA定理为基础，通过“推理推导—动手验证—定理总结”，自主构建AAS定理，明确其与ASA的关联。
1. 定理推导：从ASA到AAS
教师引导逻辑推理：已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF（如图）。
∵ ∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），∴ ∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E（等式性质）。
又∵ ∠A=∠D，∠B=∠E（已知），∴ ∠C=∠F（等量代换）。
此时△ABC和△DEF满足∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，符合ASA判定条件，故△ABC≌△DEF。
结论：由ASA定理可推导出“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”。
2. 动手验证：强化直观认知
活动1——学生分组按以下步骤操作：① 作∠A=50°，∠B=60°，BC=4cm；② 作∠D=50°，∠E=60°，EF=4cm；③ 将两个三角形叠放，观察是否完全重合。
学生发现：两三角形完全重合，验证AAS推导结论的正确性。
3. 定理总结：AAS的规范表述
教师给出定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简称为“角角边”或“AAS”）。
符号语言规范：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS）。
对比辨析：通过表格明确ASA与AAS的区别与联系：
判定方法
核心条件
关键区别
联系
ASA
两角及夹边对应相等
相等的边是两角的夹边
均可由两角及一边对应相等推导，AAS是ASA的推论
AAS
两角及其中一角的对边对应相等
相等的边是其中一角的对边
设计意图：通过逻辑推理让学生理解AAS的由来，结合动手操作强化直观认知，对比表格帮助学生精准区分ASA与AAS，突破易混淆点。
环节三：探究新知二——斜边直角边（HL）判定定理（15分钟）
本环节聚焦直角三角形的特殊性，通过“问题引导—动手作图—验证总结”，推导HL定理，明确其适用范围。
1. 问题引导：直角三角形的特殊性
教师提问：“直角三角形有一个角是90°，若已知斜边和一条直角边对应相等，能否用已学判定方法证明全等？”引导学生发现：直角三角形的直角是固定的90°，但斜边和直角边的夹角并非直角，无法直接用SAS或ASA判定，需探究新方法。
2. 动手操作：构造直角三角形并验证
活动2——学生分组用尺规作直角三角形：① 作∠C=90°，AC=3cm，AB=5cm（斜边）；② 作∠F=90°，DF=3cm，DE=5cm（斜边）；③ 测量BC和EF的长度，将两个三角形叠放观察是否重合。
学生结果：测量得BC=EF=4cm，两三角形完全重合，初步猜想“斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等”。
想一想，满足下面三组条件中任一组的两个三角形，即
（1）三个角分别相等；
（2）两边和其中一边的对角分别相等；
（3）两角和其中一角的对边分别相等.
能判定这两个三角形全等吗？若不能判定，请举出反例；若能判定，请说明理由.
（1）三个角分别相等
A
B
C
A′
B′
C′
结论：三个内角分别相等的两个三角形不一定全等.
（2）两边和其中一边的对角分别相等
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
A
B
C
D
A
B
C
D
结论：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
（3）两角和其中一角的对边分别相等
A
B
C
A′
B′
C′
这里的条件与ASA有什么相同点和不同点？
能证明全等
三角形内角和等于180°
∠C=∠C′
两角及其夹边分别相等
得到
转化
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A′B′C′ . (AAS)
∠A=∠A′，
∠B=∠B′，
BC=B'C'，
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”.
B′
A′
C′
B
A
C
“ASA”与“AAS”的区别与联系是什么？
角边角(ASA)
角角边(AAS)
这里的“S”指的是两角的夹边.
这里的“S”指的是其中一角的对边.
联系：由三角形内角和定理可知，“ASA”与“AAS”可相互转化.
注意：书写的时候，一定不要把顺序弄错“ASA”与“AAS”.
归纳：三角形全等的判定方法
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边及其夹角分别相等
两角及其夹边分别相等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
例6 已知：如图，点B，F，C，D在一条直线上，AB=ED，AB// ED，AC// EF.
求证：△ABC≌△EDF.
F
D
E
B
A
C
证明：∵ AB∥ED，AC∥EF，(已知)
∴∠B＝∠D，∠ACB＝∠EFD．
(两直线平行，内错角相等)
在△ABC 和△EDF 中，
∠B＝∠D ，(已证)
∠ACB＝∠EFD ，(已证)
AB＝ED ，(已知)
∴ △ABC≌△EDF.(AAS)
∵
1.如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D、E. 求证：(1) △BDA≌△AEC；
证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°
∴∠CAE+∠BAD=90°，
即∠ABD=∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD=∠CAE，
AB=AC，
∴△BDA≌△AEC.（AAS）
1.如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D、E. 求证：(2) DE=BD+CE.
证明：（2）∵△BDA≌△AEC，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AE+DA=BD+CE.
方法总结：利用全等三角形可以建立线段之间的等量关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化.
2.如图，在△ABC中，D是AC边上一点，AE平分∠BAC交BD于点E，EF//BC交AC于点F，∠ABE=∠C.
(1)求证:△ABE≌△AFE；
证明：(1)∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE.
∵EF //BC，
∴∠AFE=∠C.
∵∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠AFE.
在△ABE和△AFE中，
∠ABE=∠AFE，
∠BAE=∠FAE，
AE=AE，
∴△ABE≌△AFE.（AAS）
2.如图，在△ABC中，D是AC边上一点，AE平分∠BAC交BD于点E，EF//BC交AC于点F，∠ABE=∠C.
(2)若BD=8，AB=7，AD=5，则△DEF的周长为______.
∵△ABE≌△AFE，
∴BE=FE，AB=AF，
∴AF=7.
又∵AD=5，
∴DF=7－5=2.
△DEF的周长=DE+EF+DF
=DE+BE+DF
=BD+DF
=8+2=10
10
1.分别写出下列两题中符合已知条件的全等三角形，并说明全等的依据.
(1)如图(1)，点C在BD上，∠B=∠D=90°，且AB=CD，∠1=∠E；
解：(1)△ABC≌△DCE.
∠B=∠D，
∠1=∠E，
AB=CD，
∴△ABC≌△DCE.(AAS)
【教材P104 练习 T1】
随堂演练
【教材P104 练习 T1】
1.分别写出下列两题中符合已知条件的全等三角形，并说明全等的依据.
(2)如图(2)，AB =DB，∠C= ∠E，∠ABC= ∠DBE.
(2)△ABC≌△DBE.
AB=DB，
∠ABC=∠DBE，
BC=BE，
∴△ABC≌△DBE.(SAS)
2.在下列情况下，还要添加什么条件可以使△ABC和△DEF全等？
(1)AB=DE，∠B=∠E；
(2) ∠A= ∠D，∠C= ∠F.
【教材P105练习 T2】
解：(1) BC=EF 或∠A= ∠D或∠C= ∠F.
(2)AC=DF 或 AB=DE 或 BC=EF.
知识点1 判定三角形全等的推论“角角边”
1. 已知，， ，则判定
的依据是( )
A
A. B. C. D. 不确定
返回
2. 如图，能够判定全等的两个三角形是( )
D
A. ①和② B. ②和④ C. ①和③ D. ③和④
返回
3.如图，中，是上一点，，，， 三点
共线，请添加一个条件 ________________________，使得
.（只添一种情况即可）
（答案不唯一）
返回
4. 如图，在中, ，作
，且使，作，交 的延长线于点
.求证： .
【证明】, ，
.
, ,
.
, , .
在和中，
.
返回
知识点2 “角角边”判定三角形全等的应用
5. 如图，已知，， ,
相交于点 ，下列结论：
； ；
.
其中正确的结论有( )
D
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
返回
（第6题）
6. 如图，在中，是高和
的交点，且，已知 ，
，则 的长为( )
B
A. 5 B. 7 C. 8 D. 11
返回
（第7题）
7. ［2025宿州 桥区校级模拟］如图
是小丽在公园里荡秋千的示意图，在起
始位置处摆绳 与地面垂直，摆绳长
，位置到地面距离为 ,向前荡
起到最高点处时，摆动水平距离 为
，然后向后摆到最高点 处.若前
A
A. B. C. D.
后摆动过程中绳始终拉直，且与成 角，则小丽在
处时距离地面的高度是( )
【点拨】如图，过点作 于
点，则 ，
，
.由题意可
知， ，
， .
，
，
.
在和 中，
，
， ，
即小丽在 处时距离地面的高度是
.
返回
三角形全等的判定方法“角角边”
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简记为“角角边”或“AAS”.
B′
A′
C′
B
A
C
谢谢观看！