15.3.2角的平分线的性质与判定-课件-数学沪科版（2024）八年级上册

(共39张PPT)
【2025新教材】沪科版数学 八年级上册
第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3.2角的平分线的性质与判定
1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
学习目标
15.3.2 角的平分线的性质与判定 教学课件
一、教学目标
1. 知识与技能：理解角的平分线的性质与判定定理的内容，能准确表述定理；掌握定理的证明方法，并能运用定理解决几何问题。
2. 过程与方法：通过动手操作、小组讨论等探究活动，培养几何直观和逻辑推理能力；体会“观察—猜想—验证—证明”的数学研究过程。
3. 情感态度与价值观：感受数学知识的严谨性和实用性，激发对几何学习的兴趣；在合作探究中培养团队协作意识。
二、教学重难点
- 重点：角的平分线的性质与判定定理的理解及应用；区分性质与判定的联系与区别。
- 难点：定理证明过程中辅助线的添加思路；在复杂几何情境中灵活运用两个定理解决问题。
三、教学准备
多媒体课件、直尺、圆规、量角器、练习本。
四、教学过程
（一）复习回顾，引入新课（5分钟）
1. 旧知回顾
提问1：什么是角的平分线？请结合图形用几何语言表示。
引导学生回答：从角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线叫做角的平分线。如图1，若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC；反之，若∠AOC=∠BOC，则OC平分∠AOB。
提问2：如何用尺规作图作出已知角∠AOB的平分线？
请一名学生口述步骤，教师在课件上同步演示：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于两点；②分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于∠AOB内部一点C；③作射线OC，OC即为∠AOB的平分线。
2. 情境设疑
在所作的角平分线OC上任意取一点P，过P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。请大家用刻度尺测量PD和PE的长度，猜想它们的数量关系。（学生测量后发现PD=PE）
追问：这个猜想是否普遍成立？反过来，如果一个点到角的两边距离相等，这个点是否在角的平分线上？今天我们就深入探究这两个问题——角的平分线的性质与判定。
（二）探究新知，证明定理（15分钟）
1. 角的平分线的性质定理
（1）猜想与验证
引导学生结合刚才的操作提出猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
组织学生分组讨论：改变点P在OC上的位置，重复“作垂线—测量距离”的操作，观察PD与PE的关系是否始终相等。学生分享结果后，教师总结：无论P在OC上的哪个位置，PD都等于PE，猜想具有普遍性。
（2）严谨证明
已知：如图2，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。
求证：PD=PE。
引导学生分析：要证明两条线段相等，常用方法是证明它们所在的三角形全等。这里PD和PE分别在△PDO和△PEO中，可通过全等证明。
师生共同书写证明过程：
∵OC平分∠AOB（已知），∴∠DOP=∠EOP（角平分线定义）。
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）。
在△PDO和△PEO中：
∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，OP=OP（公共边），
∴△PDO≌△PEO（AAS）。
∴PD=PE（全等三角形对应边相等）。
（3）定理总结与几何语言
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
易错提示：定理的应用必须满足“角平分线”“垂直距离”两个前提，仅知道点在角平分线上，无垂直条件时，不能直接得出线段相等。
2. 角的平分线的判定定理
（1）逆向思考，提出问题
提问：性质定理说“角平分线上的点到两边距离相等”，反过来，“在角的内部，到角的两边距离相等的点，是否在这个角的平分线上？”
（2）探究与证明
已知：如图3，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。
求证：点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）。
学生自主尝试证明，教师巡视指导，重点关注辅助线添加（连接OP）和全等判定方法。
指名学生板演证明过程，教师点评完善：
连接OP（构造公共边）。
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义）。
在Rt△PDO和Rt△PEO中：
OP=OP（公共边），PD=PE（已知），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）。
∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上。
（3）定理总结与几何语言
判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，且点P在∠AOB内部（已知），∴点P在∠AOB的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
易错提示：“在角的内部”是关键条件，若点在角的外部，即使到两边距离相等，也不在角的平分线上。
（三）对比辨析，深化理解（5分钟）
通过表格形式引导学生对比性质与判定定理，明确两者的区别与联系：
名称
条件
结论
作用
逻辑关系
性质定理
点在角的平分线上；点到角两边的距离（垂直）
距离相等
证明线段相等
互为逆命题，都与角平分线和点到边的距离相关
判定定理
点在角的内部；点到角两边的距离相等（垂直）
点在角的平分线上
证明点的位置（点在角平分线上）
口诀记忆：性质“知位置（角平分线）得数量（距离相等）”，判定“知数量（距离相等）得位置（角平分线）”。
（四）例题解析，巩固应用（12分钟）
例1：性质定理的直接应用
如图4，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=10cm，AC=8cm，△ABC的面积为45cm ，求DE的长度。
解题步骤：
1. 由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据性质定理得DE=DF（设DE=DF=x）。
2. △ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，即$\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×AC×DF = 45$。
3. 代入数据：$\frac{1}{2}×10x + \frac{1}{2}×8x = 45$，解得$9x=45$，$x=5$。
4. ∴DE的长度为5cm。
例2：判定定理的直接应用
如图5，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。
解题思路：要证AD平分∠BAC，需证点D到AB、AC的距离相等（即DF=DE）。
证明过程：
∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°（垂直定义）。
在△BFD和△CED中：
∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BD=CD（已知），
∴△BFD≌△CED（AAS）。
∴DF=DE（全等三角形对应边相等）。
又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC（判定定理）。
例3：综合应用
如图6，在四边形ABCD中，BC⊥AB，BC⊥CD，M是BC的中点，AM平分∠DAB。求证：DM平分∠ADC。
提示：过M作ME⊥AD于E，利用角平分线性质得BM=ME，再结合中点条件得ME=CM，最后用判定定理证明DM平分∠ADC。（学生独立完成，教师点评）
（五）随堂练习，反馈提升（5分钟）
1. 如图7，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，PC=4，则PD=（ ）（答案：2）
2. 在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=3，则点D到AB的距离为______（答案：3）
3. 求证：角的内部到角两边距离相等的点的集合是这个角的平分线（结合两个定理说明）。
（六）课堂小结，梳理知识（2分钟）
1. 两个定理：角的平分线的性质定理（知位置得数量）和判定定理（知数量得位置）。
2. 核心思想：数形结合、逆向思考（性质与判定的互逆关系）。
3. 易错点：忽视“垂直距离”和“角的内部”这两个前提条件。
（七）布置作业，拓展延伸（1分钟）
1. 教材习题15.3第4、5、6题（基础巩固）。
2. 拓展题：如图8，某工厂要在∠AOB内部建一个仓库，使仓库到OA、OB两条公路的距离相等，且到公路旁两个仓库C、D的距离相等，试确定仓库的位置（尺规作图，保留痕迹）。
五、板书设计
15.3.2 角的平分线的性质与判定
一、性质定理 二、判定定理
1. 内容：角平分线上的点到角两边距离相等 1. 内容：角内部到两边距离相等的点在角平分线上
2. 几何语言： 2. 几何语言：
∵OC平分∠AOB，P在OC上， ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE（P在∠AOB内）
PD⊥OA，PE⊥OB ∴P在∠AOB的平分线上
∴PD=PE
3. 作用：证线段相等 3. 作用：证点在角平分线上
三、区别与联系 四、例题解析（例1、例2）
互逆命题，都需“垂直”和“角内部”
如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000）
D
C
S
解：作夹角的角平分线 OC，
截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求.
O
新课导入
角平分线的性质
思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OE 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点 C，D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗？证明你的猜想.
A
O
B
P
C
D
E
新课讲解
证明 ∵ OP平分∠AOB，（已知)
∴ ∠COP=∠DOP.（角平分线的定义)
又∵ PC⊥OA，PD⊥ OB ，(已知)
∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义)
如图, OE 平分∠AOB，P 是 OE 上的任一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD⊥OB于点 D .求证：PC = PD.
A
O
B
P
C
D
E
∵在 △ PCO 和 △ PDO中，
∠COP =∠DOP ， ( 已证 )
∠PCO =∠PDO，( 已证 )
OP = OP， (公共边)
∴△PCO≌△PDO. (AAS)
∴ PC = PD
新课讲解
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
定理的作用：
证明线段相等.
B
A
D
O
P
E
C
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
推理的条件有三个，必须写完全，不能少.
要点归纳
判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)，
所以 BD ＝ CD .
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
×
B
A
D
C
(2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)，
所以 BD ＝CD.
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
×
B
A
D
C
新课讲解
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，
DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DE = DF，
BD = CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
∴ EB = FC.
例题讲解
变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14.
(1) 则点 P 到 AB 的距离为_____；
(2) 求 △APB 的面积.
A
B
C
P
D
4
温馨提示：存在一条垂线段 —— 构造应用
故 AB · PD = 28.
解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4，
新课讲解
1. 应用角平分线的性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2. 联系角平分线的性质：
面积
周长
条件
角平分线的性质
方法归纳
思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题.
这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
角平分线上的点到角两边的距离相等
逆
命
题
思考：这个结论正确吗？
角平分线的判定
新课讲解
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
证明：
作射线 OP，
∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
(全等三角形的对应角相等).
OP = OP (公共边)，
PD = PE (已知)，
B
A
D
O
P
E
∵ PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL).
∴ ∠DOP =∠EOP
新课讲解
角平分线判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE.
∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上.
方法归纳
例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
例题讲解
O
N
M
A
B
P
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示：
例题讲解
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分 ∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
新课讲解
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
三角形的内角平分线
新课讲解
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一
量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的 垂线段相等
你能证明这个结论吗？
新课讲解
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，
求证： (1) 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是 △ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD = PE. 同理 PE = PF.
∴PD = PE = PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明结论：
新课讲解
(2) 连接 AP，求证：AP 平分∠BAC.
由 (1) 得， PD = PF (已证).
又∵ PD⊥AB，PF⊥AB，
∴ AP 平分∠BAC
(角平分线上的点到角两边的距离相等).
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
新课讲解
变式1：如图，在直角 △ABC 中，AC ＝ BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM ＝ 4，
(1)求点 O 到 △ABC 三边的距离和.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
温馨提示：不存在垂线段 — — 构造应用
12
新课讲解
解：连接 OC，
(2)若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
S△ABC = S△AOB＋S△BOC＋S△AOC，
新课讲解
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
1.应用角平分线的判定与性质：
判定角平分线
距离问题
条件
要点归纳
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
课堂练习
3. 在 Rt△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E，则：
(1) 哪条线段与 DE 相等？为什么？(2) 若 AB＝10，
BC＝8，AC＝6，求 BE，AE 的长和 △AED 的周长.
解：(1) DC＝DE.
理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2) 在 Rt△CDB 和 Rt△EDB 中，DC = DE，DB = DB，∴ Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴ BE＝BC＝8.∴ AE＝AB - BE＝2.
∴△AED 的周长为AE + DE + DA＝
AE + DC + DA= AE + AC = 2 + 6＝8.
E
D
C
B
A
6
8
10
课堂练习
4. 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. 求证：CM ＝ CN.
证明：∵ OD 平分∠POQ，
∴∠AOD = ∠BOD.
在△AOD 与△BOD 中，
OA = OB，
∠AOD =∠BOD，
OD = OD，
∴△AOD≌△BOD (SAS).
又∵ CM⊥AD ，CN⊥BD ，
∴ CM = CN.
∴∠ADO =∠BDO.
课堂练习
5.如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
证明：过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M.
∵点 F 在∠BCE 的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH.
∴FG＝FH.
∴点 F 在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
课堂练习
知识点1 角平分线的性质
1. 如图，为 的平分线，
，，垂足分别是点, ,
则下列结论不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线
的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B. 2 C. 3 D.
返回
（第3题）
3. ［2024天津］如图， 中，
, ，以点 为圆心，
适当长为半径画弧，交于点，交
于点；再分别以点, 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧（所在圆的
B
A. B. C. D.
半径相等）在的内部相交于点；画射线，与 相
交于点，则 的大小为( )
（第3题）
【点拨】 , ，
.
由作图知，平分 ，
.
.
返回
（第4题）
4. 如图，在
中，以点 为圆心，任意长
为半径作弧，分别交, 于点
,；分别以点， 为圆心，大
12
于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点 .
若,,的面积为8，则 的面积为____.
返回
知识点2 角的平分线的判定
（第5题）
5. 如图，， ，垂足分别
为，，，相交于点 ，若
，则与 的大小关系是( )
A
A. B.
C. D. 无法确定
返回
（第6题）
6. ［2025东莞期中］小明将两把完全
相同的长方形直尺（单位： ）如图
放置在 上，两把直尺的接触点为
，边 与其中一把直尺边缘的交点为
，点, 在这把直尺上的刻度读数分
别是2和5，则 的长度是( )
A
A. B. C. D.
返回
易错点 因考虑问题不全面而漏解
7.如图，直线,, 表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选
择的地址有___处.
4
返回
8.［2025宿州校级模拟］如图，钝角三角形 的面积为14，
最长边，平分，点，分别是， 上的
动点，则 的最小值为___.
4
（第8题）
【点拨】如图，过点作于点 ，
交于点，过点作于点 ，
此时有最小值. 平分
面积为14，， ，
，即 的最小值为4.
，，， ，
三角形 的
返回
角平分线的性质及判定
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
重要结论
三角形的角平分线相交于内部一点
课堂小结
谢谢观看！