第二十一章一元二次方程章节测试题（含详解）2025-2026学年人教版九年级上册数学

九年级上册数学人教版第二十一章《一元二次方程》章节测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（ ）
A． B． C．x D．1
3．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．某市经济发展势头进一步向好，年第一季度该地区生产总值约为亿元，第三季度生产总值约为亿元，设二、三季度平均每季度增长率为，依题意列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．如图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或3
8．已知关于方程的根都是整数，且满足等式，则满足条件的所有整数的和是（　　）
A． B． C． D．
9．从一块腰长为的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上．若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
二、填空题
11．一元二次方程的根是 ．
12．若是方程的解，则的值为 ．
13．已知，是一元二次方程的两个根，则 ．
14．对于实数a，b定义运算“”如下：，若，则 ．
15．将方程化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则 ．
16．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m＝ ．
17．据调查，某村 2022年的人均收入为30000元，2024年的人均收入为 36 300元．若从 2022 年到 2024年该村人均收入的平均增长率不变，按此平均增长率预测 2025 年该村的人均收入是 元．
18．如图，在梯形中，，，，为直线上一点，为中点，且在梯形内部不在边上．若为等腰三角形，则
三、解答题
19．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
20．已知关于的方程
(1)为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
21．关于的方程．
(1)若方程有实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值．
22．某化工企业4月份第一周排放生产废水400吨，该企业积极转型，对生产设备进行改造升级，朝着绿色化工方向发展，4月份第三周排放生产废水324吨，若该企业4月份每周的污水排放量的减少率相同，求该企业4月份每周的污水排放量的减少率．
23．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”．
例如：，即，解得
，是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
(1)方程 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____
(3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值．
24．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的式子：．
实例：分解因式：．
(1)尝试：分解因式：．
(2)应用：请用上述方法解方程：．
25．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？
26．如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由．
27．问题背景
如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，沿规定路线移动．
问题探究
(1)若点从点沿向终点移动，点从点沿向点移动，点随点的停止而停止，问经过多长时间，两点之间的距离是？
(2)若点沿着移动，点从点移动到点停止，点从点沿向点移动点随点的停止而停止，试探求经过多长时间的面积为？
试卷第1页，共3页
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《九年级上册数学人教版第二十一章《一元二次方程》章节测试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C B B A D C B
1．D
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
移项，得，
因式分解，得，
即，
得或，
解得：，
故选：D．
2．A
【分析】根据一元二次方程定义可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得结果．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项是6，
∴，，
解得：，
把代入原方程可得，
∴一次项是，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
根据题意列方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意列方程得，，
故选：A ．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设二、三季度平均每季度增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设二、三季度平均每季度增长率为，
根据题意得，，
故选：．
5．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键．
根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客万人次，则2024年五一期间接待游客万人次，列出方程即可．
【详解】解：∵该县接待游客15万人次，年平均增长率为x，
∴2023年增长到人次，
2024年增长到人次，
∵2024年增长至46万人次，
∴．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零．
由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可．
【详解】解：∵是方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍）或；
故选A．
8．D
【分析】根据，利用二次根式有意义的条件可得出，然后分或两种情况解方程，可得出所有符合条件的整数的值，最后求和即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
当时，原方程为，
解得：，
当时，，
∵
∴，
∴，，
∵方程的根都是整数，且为整数，
∴或或或，
∴或或或，
又∵，
∴可取或或，
综上所述，满足条件的整数为：或或或，
∴．
故选：D．
9．C
【分析】中，，，分两种情况，一是矩形的边在上，顶点、分别在、上，可证明≌，得，设，则，可求得，或，；二是矩形的边在上，在上，顶点在上，设，则，可求得，或，，这两个矩形全等，所以有种不同的裁法，于是得到问题的答案．
【详解】解：中，，，则，
如图，矩形的边在上，顶点、分别在、上，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
矩形的面积是，，
，
解得，，
或，
，或，，
如图，矩形的边在上，在上，顶点在上，
，
，
，
设，则，
解得，，
或，
，或，，这两个矩形全等，
有种不同的裁法，
故选：C．
10．B
【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可．
本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故，
又与是“同族二次方程”．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，取得最小值，且为2020，
故选：B．
11．
【分析】用配方法求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
12．1
【分析】此题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出p的值．
将代入题目中的方程，即可求得p的值，本题得以解决．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
解得，，
故答案为1．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
故答案为：．
14．或/4或
【分析】利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
或，
所以．
故答案为：或．
15．
【分析】先化为一般形式，根据一元二次方程的一般形式，得出的值，进而即可求解．
【详解】解：
整理得，
∴，
∴，
故答案为：．
16．/
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出列方程求出m的值即可．掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，解得：．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
设年到年该地区人均收入的年平均增长率为，则年的人均收入为元，年的人均收入为元，再由年的人均收入为元列出方程求解即可．
【详解】解：设年到年该地区人均收入的年平均增长率为，
根据题意，得，
解得 ，（不合题意，舍去）．
∴2025 年该村的人均收入是（元）
故答案为：．
18．或
【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，解一元二次方程，分三种情况分别画出图形，分别讨论，即可求解．
【详解】解：①当时，如图所示，当时，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，则是等腰三角形，
∵，，
∴
∵
∴
∴，则，
同理可得，
∴，
∴当时，；
②如图，当时，交于点，以为原点，所在直线为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
由①可得
∴设，则
∵
∴
解得：或（舍去）
∴
由①可得，则
∴
∴当时，
如图，当重合时，，为的中点，则，且
∴
不存在的情形，
综上所述，或
故答案为：或．
19．(1)，
(2)，
(3)，
(4)当 时，；当 时，见解析
【分析】（1）用配方法求解；
（2）用公式法求解；
（3）用公式法求解；
（4）分、两种情况讨论，分别求解，当时，再根据的符号求解．
【详解】（1）解：，
移项，得，
两边同时加上，得，
即，
开平方，得，
解得：，；
（2），
，，，
，
所以，
即，；
（3），
，，，
，
所以，
即，；
（4），
当 时，原方程可化为，
所以；
当 时，
，，，
令，
解得：，，
若，则或，
此时方程有实数根为
若，则，
此时方程没有实数根．
20．(1)
(2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为
【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
（1）利用一元一次方程的定义判断即可；
（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．
【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
由题意得：，
．
当时此方程是一元一次方程；
（2）由题意得：，
．
当时，此方程是一元二次方程．
此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m.
21．(1)
(2)3
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用．解题关键在于理解根的判别式与根的关系，利用判断根的情况并求解参数范围；同时掌握求根公式，通过对根的表达式分析及代入验证来确定满足条件的参数值．
（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，已知方程有实数根，所以，通过构建关于的不等式求解的取值范围．
（2）先利用求根公式得出方程的根的表达式，再结合第一问的取值范围确定正整数可能的值，然后通过代入逐一验证根是否为整数，从而确定符合条件的值．
【详解】（1）解：∵方程有实数根，
∴．
∴．
解得．
即的取值范围是．
（2）解：解方程，得．
∵，
∴正整数的值为1，2，3．
当时，，不合题意，所以舍去；
当时，，不合题意，所以舍去；
当时，，得到方程的根为，，都是整数．
∴正整数的值是3．
22．该企业4月份每周的污水排放量的减少率为
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据减少率正确列方程是解题关键．设该企业4月份每周的污水排放量的减少率为，根据“企业4月份第一周排放生产废水400吨，第三周排放生产废水324吨”，列方程求解即可．
【详解】解：设该企业4月份每周的污水排放量的减少率为，
则，
解得：，（不符合题意舍去）
答：该企业4月份每周的污水排放量的减少率为．
23．(1)不是
(2)或
(3)m的值为或或．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“韦达定理”计算即可判断；
（2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解；
（3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴方程不是“和积方程”，
故答案为：不是；
（2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，，
∴，
当时，解得；
当时，解得；
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵方程是“和积方程”，
∴，
当时，
整理得，
解得（舍去）或；
当时，
整理得，
解得或；
∴m的值为或或．
24．(1)3，4
(2)，
【分析】（1）利用“十字相乘法”进行因式分解即可；
（2）首先将方程左边用“十字相乘法”进行因式分解，进而求解即可．
【详解】（1）；
（2），
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
25．(1)道路的宽为米；
(2)每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元．
【分析】
（）由道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可；
（）设月租金上涨元， 根据题意得，然后解方程即可；
本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】（1）
解：根据道路的宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米；
（2）
解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元．
26．(1)
(2)宽为5米，长为米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米，
∴另一边的长为米，
故答案为：；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
∵墙的最大可用长度为米，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下：
设花圃的一边长为米，
则，
根据题意可得：，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为平方米．
27．(1)或；
(2)秒或秒．
【分析】本题考查了几何动点问题、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程、一元一次方程．
过点作于，根据四边形，均为矩形可得，，据此即可求解；
分类讨论①当点在线段上和②当点在线段上两种情况即可求解．
【详解】（1）解：如下图所示，过点作于，
则四边形和四边形均为矩形，
，
设秒后，点和点的距离是，
，，
，
由题意得：，
，，
由题意知点的运动时间为，即，
和均符合题意，
经过或，、两点之间的距离是
（2）解：由点从点移动到点停止知，点运动的时间为
设经过后的面积为
当点P在线段上时，如下图所示，连接，
即时，
可得：，
，
即，
解得：；
当点在线段上时，如下图所示，连接，
即时，
则，，
则，
解得：，（不符合题意，舍去），
综上所述，经过秒或秒时，的面积为
答案第1页，共2页
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