24.3正多边形和圆课时练习题（含答案）2025-2026学年人教版九年级上册数学

九年级数学上册人教版第24.3节《正多边形和圆》课时练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
2．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A．B． C． D．
3．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A． B． C． D．
4．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　）
A．3 B．12 C．4π D．12π
5．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A． B． C． D．a，b大小无法比较
6．如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（ ）
A． B．3 C．6 D．
7．如图，若干个全等的正五边形围绕紧密排列一周，图中所示的是其中个正五边形的位置，正五边形与的交点分别记作，顺次连接，所得图形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形
8．如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ）

A．4 B． C．6 D．
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ．
12．苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形．如图所示，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为 ．
13．如图，延长正五边形各边，使得，若，则的度数为 ．

14．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ．
15．如图，的半径为，以的内接正八边形的一边为边在内作正方形，则正方形的面积为 ．
16．如图，为等边三角形的中心，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于外一点，连接，，若，则四边形的面积为 ．
三、解答题
17．如图，已知．
(1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的半径为，求它的内接正方形的边长．
18．如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．

19．如图，的周长等于，正六边形内接于．
(1)求圆心到的距离．
(2)求正六边形的面积．
20．如图，正方形内接于，M为弧中点，连接．
(1)求证：；
(2)连接，求的度数．
21．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、．
(1)图①中的度数是_____；
(2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____；
(3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____．
22．【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：；
【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明．
【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积．
23．正方形的四个顶点都在上，E是上一动点．
(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数；
(2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值．
试卷第1页，共3页
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《九年级数学上册人教版第24.3节《正多边形和圆》课时练习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D B A B C B B A
11．10
12．/60度
13．/36度
14．3
15．
16．
17．（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形．
（2）因为的半径为，四边形是正方形，
所以，，
所以．
故的内接正方形的边长为．
18．解：如图，连接作于点M，

根据正方形的性质可得．，
∴是的直径．
在中，．
∴．
∵，
∴．
∵是正三角形，
∴，
∴．
∴．
∴．
在中，，，
∴，．
∴，即正三角形的边长为．
19．（1）解：如图，连接，过点作于点，则，
∵的周长等于，
∴半径，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即圆心到的距离为；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
20．（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵M为的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）连接．
∵四边形是正方形，
∴．
∵M为弧的中点，
∴，
∴．
21．（1）解：如图1中，连接．
，
分别为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图②，连接，
为正方形，
，
同（1）中的证明方法可得，
，
；
如图③，连接，
为正五边方形，
，
同（1）中的证明方法可得，
，
，
故答案为：，；
（3）在图①中，，
在图②中，，
在图③中，，
故在正n边形中，的度数为，
故答案为：．
22．[给出问题]证明：四边形是正方形，
，
是的中点，
；
[深入思考] ，理由如下，
过点作交于点，取圆心，连接，，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，即
[拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，
，，
点在上，
，，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
在中，，
在中，，
解得：（负值舍去）
，
矩形的面积．
23．（1）解：连接，
∵正方形，
∴，
当点E在优弧AD上时，，
当点E在劣弧AD上时，，
综上，的度数为或；
（2），理由如下，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点，
∴，
∵四边形与四边形关于直线对称，
∴，，
∴当边上的高最小时，面积取得最小值，
∴当点与点A重合，此时点E与点D重合，
∴边上的高就是的长，
∴面积的最小值为．
答案第1页，共2页
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