第二十二章二次函数章节练习题（含详解）2025-2026学年人教版九年级上册数学

九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》章节练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于二次函数的说法中，正确的是（ ）
A．其图象开口向上 B．当时，函数的最大值是
C．其图象的对称轴是直线 D．其图象与轴有两个交点
4．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（　）
A． B． C． D．
5．如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，将沿射线方向匀速平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移距离为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象最符合与之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是等腰直角三角形，，，点为边上一点，过点作，，垂足分别为，，点从点出发沿运动至点．设，，四边形的面积为，在运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
B．y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
C．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
D．y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
7．已知函数图象如图所示，则关于x的方程根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
8．小丽借助之前学习的画出函数的图象，你认为正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若是以为自变量的二次函数，则 ．
12．已知一元二次方程有两个实数根，，则二次函数的对称轴是直线 ．
13．已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
14．在平面直角坐标系中，点是直线的一个动点，且有最小值，则的值为 ．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）抛物线的对称轴是直线 ．
（2）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是 ．
16．某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高 元时，可以使每天的销售利润最大．
17．函数（，）的图象是由函数（，）的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ．
①；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
18．若二次函数（a是不为0的常数）的图像与x轴交于A，B两点．若线段上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式．
20．已知二次函数的图像经过，两点．
(1)求和的值；
(2)试判断点是否在此函数图像上？
21．已知抛物线的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)当时，函数值的最大值与最小值的和为6，求的值；
(3)当时，抛物线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
22．已知函数．
(1)当函数是二次函数时，求的值：
(2)当函数是一次函数时，求的值．
23．已知函数
(1)指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______；
(2)当x______时，y随x的增大而增大；
(3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
24．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为．
(1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
(2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
25．如图1，抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点C．
(1)直接写出直线和抛物线的解析式；
(2)设直线与抛物线交于D，E两点（D在E左边），与射线交于点F，若，求m的值；
(3)如图2，点M在第四象限的抛物线上运动，点N与点M关于y轴对称，直线分别交直线，x轴于P，Q，G三点，若，求t的值．
26．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
(3)设M为直线l上的动点，以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
试卷第1页，共3页
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《九年级数学上册人教版第二十二章《二次函数》章节练习题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D D A D A B B
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数．牢记“二次项系数不为0，未知数最高次为2”是解题关键．
【详解】A、因为未知数最高次为1，是一次函数，故A不符合题意；
B、因为未知数最高次为1，是一次函数，故B不符合题意；
C、因为未知数最高次为2，二次项系数不为0，是二次函数，故C符合题意；
D、因为是分式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据抛物线的顶点式直接确定顶点坐标．
【详解】题目中的抛物线方程为，顶点坐标为，对应选项A．
故选：A．
3．B
【分析】根据二次函数，，可得函数图象的开口向下，对称轴为直线，当时，函数的最大值是，当时，即，可得图象与轴没有交点，从而可得答案．
【详解】解：二次函数，，
∴函数图象的开口向下，对称轴为直线，当时，函数的最大值是，
当时，即，
∴方程无解，则图象与轴没有交点，
∴A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选B
4．D
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、正比例函数图像的性质，根据各函数的解析式，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、正比例函数的图像，随的增大而增大，
故此选项不符合题意；
B、一次函数的图像，随的增大而增大，
故此选项不符合题意；
C、二次函数的图像，开口向上，对称轴为轴，
当时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；
D、二次函数的图像，开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，故此选项符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点作于，由为等腰直角三角形，，可设，可得，，然后分情况讨论：当时，当时，分别求出关于、的函数，再数形结合即可求解．
【详解】解：过点作于，
为等腰直角三角形，，
，
设，
，，
当时，设交于点，交于，
，
由平移知，，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
当时取得最大值，故排除A、B选项
当时，交于点，交于点，
，
，
又，
为等腰三角形，
，
为等腰三角形，
，
，
即当时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C选项
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，一次函数和二次函数的定义，二次函数求最值．由等腰直角三角形的性质可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四边形是矩形，进而可得y与x的关系，再根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，化为顶点式，即可得到最值．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，，
和是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，，
，
即，
y与x满足一次函数关系，
，最大值为1，
S与x满足二次函数关系，且S存在最大值．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了抛物线与轴交点的知识，此题涉及一元二次方程的根的情况，先看函数的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案，此题难度不大．根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时的值．
【详解】解：的图象与轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是，
方程，
时，即是求的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选：D．
8．A
【分析】本题考查函数图象，抛物线与坐标轴的交点，绝对值的意义，根据绝对值的意义分三种情况：当时，当时，当时，求出函数图象与坐标轴的交点坐标，即可判断．确定函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
【详解】解：当时，函数表达式为，
当时，得：，
解得：（舍去）或，
此时函数图象与轴的交点为；
当时，函数表达式为，
当时，得：，
解得：（舍去）或，
此时函数图象与轴的交点为；
当时，，
此时函数图象与轴的交点为；
∴函数图象与轴有两个交点且关于原点对称，与轴一个交点且在原点上方．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：，
故选B．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断．
【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9，
∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小；
①当时，当时，y随的x增大而增大，
那么时取得最小值，时取得最大值，
最小值为，最大值为，
已知最大值与最小值的差为12，
则可列出方程- ，
解得，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当时，
此时 时取得最大值，时取得最小值，
最大值为9，最小值为，
此时最大值与最小值的差为12，
符合题意；
③当时，
此时时取得最大值，时取得最小值，
最大值为9，最小值为，
已知最大值与最小值的差为12，
则可列出方程，
解得，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去．
∴综上，得到n的取值范围为：．
故选：B．
11．3
【分析】根据是不为0的常数）是二次函数，可得答案．
【详解】解：是关于的二次函数，则且．，
解得：或且，
所以．
故答案为：3．
12．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：二次函数与轴的交点分别为：，,
∴二次函数的对称轴是直线，
故答案为：．
13．
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，
∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
14． 或
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解一元二次方程，理解二次函数的性质是解答关键．
根据题意先表示出，利用得到，利用有最小值来求解．
【详解】解：点是直线的一个动点，
，
．
有最小值，
且，
整理得，
解得，，
经检验，，都是方程的根，符合题意．
故答案为：1或．
15．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（）由题意直接求解即可；
（）分当时和当时两种情况结合图象即可求解．
【详解】解：（）∵抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上，
∴点与点关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
（）如图，当时，
在中，令得，
∴，
∵，，
∴点在线段上，而，
由图可知，当点在点下方（包括点）时，抛物线与线段恰有一个公共点，
∴，解得，
∴；
如图，当时，同可知，点在线段上，，
∵，
∴，即点在点下方且在抛物线内部，
∴抛物线与线段无公共点，
综上所述，抛物线与线段恰有一个公共点时，，
故答案为：．
16．4
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设销售价提高元时，每天的销售利润为元，根据利润（销售价进价）销售量建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：设销售价提高元时，每天的销售利润为元，
由题意得：
，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
即销售价提高4元时，可以使每天的销售利润最大，
故答案为：4．
17．①②④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，求二次函数解析式，根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由图象可得，当时，，可判段②；由函数图象与y轴的交点坐标为，的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知，故③错误；求出翻折前的二次函数解析式，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：与x轴的两个交点的横坐标为和3，
∴对称轴为直线，即，
∴整理得：，故①正确；
由图象可得，当时，，故②正确；
∵与y轴的交点坐标为，函数在的部分是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成的，
∴，故③错误；
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∴函数在的最大值为4，
∵将函数向上平移1个单位后，函数在的最大值为5，
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
18．
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
先求出抛物线的顶点坐标，从而得出对称轴和，再根据线段上有且只有5个点的横坐标为整数，可分析临界点函数值的取值范围进行求解．
【详解】解：由得，，
∴顶点坐标为，对称轴为直线，
根据抛物线与轴交点情况得，，
∵线段上有且只有5个横坐标为整数的点，
∴这些整数为：，
当时，，解得；
当时，，解得；
所以，a的取值范围是，
故答案为：．
19．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，将，代入函数解析式中求出、即可求解．
【详解】解：抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式是．
20．(1)
(2)不在
【分析】
（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值；
（2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上．
【详解】（1）
解：把，两点代入二次函数得
，
解得，；
（2）
解：由（1）得，
把代入，得，
点在不在此函数图象上．
21．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据对称轴公式，进行计算即可解答；
（2）由函数的开口方向和对称轴可得函数的最大值为，最小值为，由函数值的最大值与最小值的和为6，可得，求解即可得到答案；
（3）分①，②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，则当时，，当时，；分别求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，
，
；
（2）解：，对称轴为，
当时，，当时，，
函数值的最大值与最小值的和为6，
，
解得：，
（3）解：由（1）得抛物线为：，
抛物线与轴有且只有一个交点，
①，
解得：，
②当时，抛物线与轴有且只有一个交点，
，
解得：，
的取值范围为或．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键．
（1）由题意知，，计算求出满足要求的解即可；
（2）由题意知，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：∵函数是二次函数，
∴，
解得，，，，，
∴；
（2）解：∵函数是一次函数，
∴，
解得，，，，
∴．
23．(1)向下，直线，
(2)
(3)向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移规律，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
（1）根据二次函数的图象与系数的关系得出开口方向，根据顶点式得出对称轴及顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可以解答本题；
（3）根据平移的规律：左加右减，上加下减，可以解答本题．
【详解】（1）解：∵函数，，
∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是，
故答案为：向下，直线，；
（2）解：∵函数，
∴当时，y随x的增大而增大，
故答案为：；
（3）解：将抛物线向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度就可以得到抛物线．
24．(1)
(2)4条
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键．
（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为（为常数，且），
将点的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为，
当时，，
解得或，
可设计赛道的宽度为，
，
最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
25．(1)，
(2)3或
(3)3或5
【分析】（1）把代入，即可得，，，设直线的解析式为，运用待定系数法即可作答；
（2）设直线与y轴交于点G，点F的坐标为，分两种情况：当时，由，得，得E的坐标为．得，解得；当时，得，得E的坐标为．得解得；
（3）设M的坐标为，N的坐标为，直线的解析式为，得，解得，得．得得点P的坐标为，同理，直线的解析式为，得点Q的坐标为．当时，由，得，解得；当时，，解得．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，
∴，
∴，
∴，
当时，；
当时，或，
∴，，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为．
（2）解：设直线与y轴交于点G，
则点F的坐标为．
当时，
∵，
∴，
∴由中点坐标得点E的坐标为．
∴，
整理得，
解得或（舍去）；
当时，
∵，
∴，
∴点E的坐标为．
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
综上所述，m的值为3或．
（3）解：设点M的坐标为，
则点N的坐标为，
而，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴．
与直线联立，
得点P的坐标为，
同理，可得直线的解析式为：，
点Q的坐标为．
当时，，
由，
解得；
当时，，
由，
解得．

综上所述，t的值为3或5．
26．(1)
(2)18
(3)，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，平行四边形的性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）先求出点，再利用待定系数法，即可求解；
（2）设点，可得，,从而得到，，进而得到，即可求解；
（3）根据以为平行四边形的一边，可得，，设点，则，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线过点A，
∴，
又∵，
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：如图，
设点，
∵轴，轴，
则，，
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴，
∴，
，
∴．
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为18．
（3）由（1）可求，
∵是所求平行四边形的一边，
∴，设点，则，
由题意知：，即．
化简得：或，
解得：（舍去），，，．
则符合条件的M点有三个：，．
答案第1页，共2页
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