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2025-2026学年 九年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~4章。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
又 ∵ ，
∴ ．
故选：A．
2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（ ）
A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转
C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转
【答案】C
【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为；
绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，
故旋转方式是绕点逆时针旋转．
故选：C．
3．将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴，
故选：A．
4．下列说法正确的是（ ）
A．所有半径都相等
B．过圆心的直线是圆的直径
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的两条弧是等弧
【答案】C
【详解】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，A选项错误；
直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，B选项错误；
圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故 圆既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确；
等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，D选项错误．
故选：C．
5．下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视，正在播放动物世界
B．转动抽奖转盘（转盘分为“谢谢参与”与“小礼品”两区），停下一定能转到“小礼品”
C．从装有黑球和红球的不透明口袋中任意摸一个球，摸不到黄球
D．经过红绿灯路口时，遇到红灯
【答案】C
【详解】A．打开电视可能播放其他节目，不是必然事件；
B．转盘可能转到“谢谢参与”，不是必然事件；
C．口袋中只有黑球和红球，没有黄球，∴ 摸不到黄球是必然事件；
D．可能遇到绿灯或黄灯，不是必然事件．
故选：C．
6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为6，则的周长为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．18
【答案】B
【详解】解：，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
和的周长比等于位似比是，
的周长为6，
的周长为15．
故选：B．
7．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意及图，得
，，
∵，
∴，
∴，
即．
故选D．
8．跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为寻找更为有利的起跳条件，小西利用红外摄像仪记录得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度S（米）与滑行时间t（秒）之间的关系式为，若起跳后的飞行高度为13米，则滑行的时间为（）
A．1秒 B．11秒 C．秒 D．12秒
【答案】B
【详解】解：∵，且，
∴，
整理得：，
两边乘以：，
解方程：，
∴或，
∵时间不能为负，
∴秒．
故选：B．
9．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵是弧的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC=，
∵OE≥EC-OC
即OE≥-2，
的最小值为，
故选：D．
10．已知二次函数 (a 为常数，且) ．下列五个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，y 随x的增大而减小；
③该函数图象与x 轴有两个不同的公共点；
④若，则关于x 的方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于x 的方程的正数根只有一个．
其中正确的个数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】C
【详解】∵ ，
① 当时，，
∴ 图象经过点，故①正确；
② 当 时，，
对称轴 ，
∵ 开口向下，
∴ 当 时，随增大而减小，
又 ∵ ，
∴ 当 时，随增大而减小，故②正确；
③ ，
当 时，，有两个不同公共点；
当 时，，有一个公共点，
∴ 不一定有两个不同公共点，故③错误；
④ 当 时，由①知 是根，设另一根为，
则 ，解得，
∵ ，
∴ ，即有一个根在0和1之间，故④正确。
⑤ 当 时，方程 即或，
时，，
，解得或，无正根；
时，，
∵ 开口向上，且当时，，
∴ 方程有一个正根和一个负根，
∴ 只有一个正根，故⑤正确；
综上，正确结论有①②④⑤，共4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割．已知，则的长为 ．（结果保留根号）
【答案】/
【详解】解：点C分线段近似于黄金分割点，
，
故答案为：．
12．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．
【答案】1.6
【详解】解：∵五边形与五边形相似，且相似比为，，
∴，
∴，
故答案为：1.6．
13．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，且，两点同时出发，用表示移动的时间，当 时，与相似．
【答案】或
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴只存在和这两种情况，
当时，则，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴；
综上所述，或时，与相似．
故答案为：或．
14．如图，是半圆O的直径，将绕点A逆时针旋转得到线段，若，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【详解】解：如图，交半圆于点，过点作于点，连结，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴
故答案为：．
15．如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，，则的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
．
故答案为：．
16．如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接、．给出下面4个结论：
①；②；③；④．以上结论中，正确的序号有 ．
【答案】①②③
【详解】解：①是角平分线，
，
，
，
，
，故①正确；
②，
，
，
是的垂直平分线，
，
，故②正确；
③是中线，
,
为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，故③正确；
④设，则，
，
，
，G为的中点，
，
，
，，
，
和不会相似，故④错误；
综上，结论正确的序号有①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知．
(1)如果，求a的值；
(2)求代数式的值．
【答案】（1）解：∵，
∴设，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴设，
∴．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出关于轴对称的，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标；
(2)以点为位似中心，在原点右侧将放大为原来的2倍，得到，请画出，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，点的坐标为；
（2）解：如图所示，点的坐标为．
19．（8分）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀．
(1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ；
(2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明．
【答案】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是，
故摸出的小球上的数字是的频率是．
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种，
故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：，
∵，
∴这个游戏规则对两人不公平．
20．（8分）综合与实践
打卡“晋泉之声”雕塑．
【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳．
【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度．
【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）．
【答案】解：[测高]如图，延长，交于M，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
解得，
答：雕塑顶部距离地面的高度为；
[应用]延长，交于T，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
过Q作于S交于R，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：此时相机镜头距离地面的高度约为．
21．（8分）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴
，
解得：，（舍去），
∴，
∴．
22．（10分）如图，在中，，点为的中点，连接．过点作的平行线，交的延长线于点，连接．过点作，交的延长线于点．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，求的长．
【答案】（1）证明：点为的中点，
.
，
.
又，
.
.
又，
四边形为平行四边形.
又四边形为菱形.
（2）解：，
．
四边形为菱形，
，即.
在Rt中，根据勾股定理得.
，
．
又，
.
，即
．
.
23．（10分）对于二次函数（a，b，c是常数，且），给出如下新定义：若，则该函数是“精致函数”．例如：“精致函数”，这里，其中，即．
根据该定义，完成下列各题．
(1)填空：二次函数______“精致函数”；（选填“是”或“不是”）
(2)求证：“精致函数”（a，b，c是常数，且）的图象与直线总有两个不相同的交点；
(3)当时，若“精致函数”的最大值与最小值的和为2n，求n的值．
【答案】（1）∵，
∴，
∴，，
∴，
∴二次函数是“精致函数”．
故答案为：是；
（2）∵是“精致函数”，
∴
当时，，
．
∵，
∴，
∴“精致函数”的图象与直线总有两个不相同的交点．
（3）∵是“精致函数”，
∴，
解得，
∴，
∴该函数图象的对称轴为直线，顶点为．
分以下3种情况讨论：
①当，即时，
∴当时，；
当时，．
∵函数最大值与最小值的和为2n，
∴，
整理，得，
解得或（舍去）．
②当，即时，
∴当时，；当时，．
∵函数的最大值与最小值的和为2n，
∴，
解得（舍去）．
③当时，
∴当时，；
当时，．
∵函数的最大值与最小值的和为2n，
∴，
整理，得，
解得（舍去），（舍去）．
综上所述，n的值为．
24．（12分）给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．
证明：
（1）如图1，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形；
探究：
（2）如图2，在对余四边形中，，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由．
拓展：
（3）已知，在中，，，为外一点，且四边形为对余四边形，试求出对角线的最大值．
【答案】解：（1）连结MB、NB，
∵MN为直径，
∴∠MBN=90°，
∴∠BMN+∠BNM=90°，
∵∠BCN=∠BMN，∠BAM=∠BNM，
∴∠BCN+∠BAM=∠BMN+∠BNM=90°，
∴四边形是对余四边形；
（2）过D作ED⊥CD于D，截取ED=AD，连结AE，
∴∠EDA+∠ADC=90°，
∵四边形ABCD为对余四边形，
∴∠ABC+∠ADC=90°
∴∠EDA=∠ABC，
又∵AB=BC，ED=AD，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴△ABD∽△ACE，
∴即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在Rt△EDC中，由勾股定理，
∴；
∵AD=DE，
∴
（3）过AC中点为圆心O，以AC为直径作圆，过O作OF⊥AC交⊙O于F，连结AF、CF，则∠AFC=90°，过F作FG⊥BA交延长线于G，
∵∠OAG=∠AOF=∠AGF=90°，
∴四边形AOFG为矩形，
又∵OA=OF，
∴四边形AOFG为正方形，
∵四边形ABCD为对余四边形，
∴∠ABC+∠ADC=90°，
∵AB=BC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ADC=90°-∠ABC=45°，
∴点D在以点F为圆心，AF长为半径的圆弧优弧上运动，
∴当DB过圆心F时，BD最大，
∴OA=OC=OF=FG=AG=2，
∵FA=FD=FC=
在Rt△BGF中，由勾股定理
∴BD最大=BF+FD=+．
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级数学上册第1~4章。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（ ）
A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转
C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转
3．将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．所有半径都相等
B．过圆心的直线是圆的直径
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的两条弧是等弧
5．下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视，正在播放动物世界
B．转动抽奖转盘（转盘分为“谢谢参与”与“小礼品”两区），停下一定能转到“小礼品”
C．从装有黑球和红球的不透明口袋中任意摸一个球，摸不到黄球
D．经过红绿灯路口时，遇到红灯
6．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为6，则的周长为（ ）
A．9 B．15 C．12 D．18
7．如图，手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好落在墙上的点E处．灯泡到墙的水平距离为，灯泡到地面的高度为，灯泡到平面镜的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角（即），图中点A，B，D在同一水平面上，则点E到地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为寻找更为有利的起跳条件，小西利用红外摄像仪记录得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度S（米）与滑行时间t（秒）之间的关系式为，若起跳后的飞行高度为13米，则滑行的时间为（）
A．1秒 B．11秒 C．秒 D．12秒
9．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数 (a 为常数，且) ．下列五个结论：
①该函数图象经过点；
②若，则当时，y 随x的增大而减小；
③该函数图象与x 轴有两个不同的公共点；
④若，则关于x 的方程有一个根大于0且小于1；
⑤若，则关于x 的方程的正数根只有一个．
其中正确的个数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割．已知，则的长为 ．（结果保留根号）
12．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．
13．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，且，两点同时出发，用表示移动的时间，当 时，与相似．
14．如图，是半圆O的直径，将绕点A逆时针旋转得到线段，若，则图中阴影部分的面积是 ．
15．如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点，若，，则的度数为 ．
16．如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接、．给出下面4个结论：
①；②；③；④．以上结论中，正确的序号有 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）已知．
(1)如果，求a的值；
(2)求代数式的值．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请画出关于轴对称的，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标；
(2)以点为位似中心，在原点右侧将放大为原来的2倍，得到，请画出，其中点，的对应点分别为点，，并写出点的坐标．
19．（8分）小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀．
(1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ；
(2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明．
20．（8分）综合与实践
打卡“晋泉之声”雕塑．
【了解】如图1，原山西太原五一广场的“晋泉之声”雕塑是一组群雕，主体为一对背靠背的青年男女，一对小鹿在主雕的脚下，体现了人、动物与自然的和谐相处．站在“晋泉之声”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳．
【测高】（1）如图2，小明在距离“晋泉之声”雕塑底部A处的地面上垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B处．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度．
【应用】（2）如图3，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）．
21．（8分）如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．（10分）如图，在中，，点为的中点，连接．过点作的平行线，交的延长线于点，连接．过点作，交的延长线于点．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，求的长．
23．（10分）对于二次函数（a，b，c是常数，且），给出如下新定义：若，则该函数是“精致函数”．例如：“精致函数”，这里，其中，即．
根据该定义，完成下列各题．
(1)填空：二次函数______“精致函数”；（选填“是”或“不是”）
(2)求证：“精致函数”（a，b，c是常数，且）的图象与直线总有两个不相同的交点；
(3)当时，若“精致函数”的最大值与最小值的和为2n，求n的值．
24．（12分）给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．
证明：
（1）如图1，是的直径，点、、在上，，相交于点．求证：四边形是对余四边形；
探究：
（2）如图2，在对余四边形中，，、为对角线，，试探究线、和之间的数量关系，并说明理由．
拓展：
（3）已知，在中，，，为外一点，且四边形为对余四边形，试求出对角线的最大值．
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