1.1锐角三角函数 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.1 锐角三角函数 同步训练
一、单选题
1．在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知为锐角，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．2
4．如果把锐角的各边长都扩大到原来的4倍，那么锐角A的正切值（ ）
A．扩大到原来的4倍 B．缩小到原来的
C．没有改变 D．无法判断是否发生改变
5．在中，，，，那么的正切值是（ ）
A． B． C． D．
6．对于题目：“如图，，上存在两点M，N，，P为上一点，当为等腰直角三角形时，求的值．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：或．则正确的是（ ）
A．只有甲答案对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
7．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，都在这些小正方形的格点上，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
8．已知在中，，，，则 ．
9．已知中，，，，那么的长为 ．
10．将，，用“＞”号连接起来为 ．
11．如果等腰三角形三边之比为3：3：4，那么底角的正弦值为 ．
12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为 ．
三、解答题
13．在中，，根据下列条件求出和的正弦、余弦的值：
(1)；
(2)，．
14．如图，已知中，，求边的长．
15．如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求：
(1)的余弦值；
(2)边的长．
16．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，分别是边与网格线的交点，连接．点均为格点．
(1)求的长；
(2)求．
17．如图，在中，已知，，
(1)求的长；
(2)求的面积．
参考答案
1．B
【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义逐一判断各选项．
【详解】在中，，，，
，
，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出的值，再根据锐角三角函数的定义得出，代入即可得出答案．
【详解】解：在中，，
，
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了正弦函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．即．
根据α是锐角，判断出的取值范围，进而完成解答．
根据α是锐角，判断出sinα的取值范围，即可判断出sinα的值不可能为选项中的哪个数．
【详解】解：∵ α为锐角，
∴，
∴．
∴选项A、B、C符合题意，选项D的值为，即的值不可能为2．
故选D．
4．C
【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，在锐角中，是边上的高，根据正切的定义可得，设锐角的各边长都扩大到原来的4倍后得到的三角形为（其中A、B、C分别与对应），为的边上的高，证明，，可得 ，则可求出，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，在锐角中，是边上的高，
∴；
设锐角的各边长都扩大到原来的4倍后得到的三角形为（其中A、B、C分别与对应），为的边上的高，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴锐角A的正切值没有改变，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据正切的定义求解即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：
∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：A．
6．C
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
依题意，当为等腰直角三角形时，有以下三种情况：①当时，则，此时；②当时，则， ，此时；③当时，过点作于点，则，，此时；综上所述即可得出答案．
【详解】解：依题意，当为等腰直角三角形时，有以下三种情况：
①当时，如图1，
∵为等腰直角三角形，
．
在，．
②当时，如图2，
∵为等腰直角三角形，
．
，
．
在中，．
③当时，过点作于点，如图3，
∵为等腰直角三角形，
．
，
．
在中，．
综上所述，或或．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，首先利用勾股定理求出三角形三边的长度，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案．
【详解】解：由图可知，，，
，
，
，
故选：C．
8．/0.8
【分析】本题考查了求余弦值，勾股定理．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
9．6
【分析】此题考查利用正切值求线段的长，根据正切函数的定义，等于的对边与邻边的比值，即，由此求出的长．
【详解】在中，，，
∵，，
∴，
解得 ，
故答案为6．
10．
【分析】本题考查了已知角度比较三角函数值的大小．通过互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再利用正弦函数在锐角范围内的性质进行比较大小，即可作答．
【详解】解：依题意，，，
∵在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大，且，
∴，
即，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了三角函数的定义，结合勾股定理和等腰三角形的性质计算是解题的关键．
根据等腰三角形的三边比例，确定腰和底边的长度，通过作高构造直角三角形，利用勾股定理求高，再根据正弦定义求解．
【详解】由等腰三角形三边之比为，可设腰长为，底边长为，如图所示，
作底边上的高，则，，
，
，
；
故答案为 ．
12．
【分析】本题考查勾股定理及逆定理，求一个角的正弦值，如图，连接，根据勾股定理及逆定理判断出是直角三角形，最后根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得，，，
，
是直角三角形，
，
故答案为：．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查求角的正弦值和余弦值，熟练掌握正弦和余弦的定义是解题的关键：
（1）勾股定理求出，根据定义进行求解即可；
（2）勾股定理求出，根据定义进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∴．
14．
【分析】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键；过点A作于点D，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．(1)的余弦值为
(2)边的长为
【分析】此题考查勾股定理，三角函数，
（1）过点作，由勾股定理得，求出即可求出的余弦值；
（2）由勾股定理求出，在中，利用特殊角的正弦值求出边的长．
【详解】（1）解：过点作，垂足为．
在、中，
，，
．
，
．
，即．
．
．
所以，的余弦值为．
（2）解：由（1）知，，
在中， ．
在中，
， ．
答：边的长为．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，余弦的定义，勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）如图，根据网格的特征证明，得到，求出，再证明，得到，求出，由即可求解；
（2）由（1）知，即可求出，利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．(1)15
(2)
【分析】本题考查了锐角三角函的应用，等腰直角三角的性质，勾股定理的应用，特殊角的三角函数值一定要熟记．
（1）延长，过点B作，E为垂足，求出，根据三角形内角和得到，根据三角函数求出，根据计算即可；
（2）根据勾股定理求出，则，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，延长，过点B作，E为垂足，
在中，已知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在中根据勾股定理得，，
，
的面积是