1.5三角函数的应用 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.5 三角函数的应用 同步训练
一、单选题
1．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（ ）．
A． B． C． D．
2．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，且，则点与地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　）
A．2.1 B．1.9 C．1.8 D．1.6
4．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．如图，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为，则玲玲的身高约为 m．（精确到）（参考数据：，，）．
9．如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，
10．校园安全体现在每个方面，校园安全无小事．校内相关部门提醒校内行车司机；为了安全请勿超速；并在进一步完善各类监测系统．如图，在校内某直线路段内限速16米/秒，为了检测车辆是否超速，在路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了14秒钟，已知米，则此车 （“有”或者“没有”）超速；
11．如图，小明和小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置上升时，这时小红离地面的高度是 ．
三、解答题
12．如图，海岸线l上有两个的观察点A，B，点B在点A的正东方向，，从观察点A，B望海岛C，测得海岛C分别在点A的北偏东和点B的北偏东的方向上，求海岛C到A，B观察点所在海岸线l的距离．
13．如图是一款智能化路灯灯杆的示意图，由灯臂，灯柱以及圆锥形的灯罩构成，灯罩的轴线与灯臂垂直．其工作原理是：通过改变灯臂与灯柱间的夹角的大小及灯柱的高度（如：夹角增大，灯柱的高度减小）来调节照明效果，当灯罩的轴线通过马路的路面中心线时，照明效果最佳．已知，路面宽．当为时，为使照明效果达到最佳，灯柱C的高度应调整至多高？（结果保留根号）
14．随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：）
(1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度；
(2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到）
15．如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距1800m．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距800m，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方．
(1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号）
(2)甲以每分钟90米的速度从D出发，沿路线D→A→B跑步前进，与此同时，乙以每分钟60米的速度从D出发，沿路线D→E→C→B步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（结果精确到）（参考数据：，，）
16．苏州水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度为，倾斜角为，右边滑梯的高度为，倾斜角为，支架都与地面垂直，，都与地面平行，两支架之间的距离为（点，，在同一条直线上）
(1)求两滑梯的高度差；
(2)两滑梯的底端分别为，求的长．（结果精确到．参考数据：，tan40°）
《1.5 三角函数的应用 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册》参考答案
1．A
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
如图：过点A作于点C，解三角形求出的长度，进而完成解答．
【详解】解：如图：过点A作于点C，
在中，
∴车门边缘的点A处与墙的距离为．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得， ，
在中，，
如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
∴，
∴，
点O为跷跷板的中点，
∴，
是的中位线，
，
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案．
【详解】解：过点作于点．
∵ ，，
∴ 是直角三角形，．
在中，，，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可．
【详解】解：过点A作，垂足为．
，
，
．
，
在中，
，
．
，
依题意，
则
在中，
，
，
．
故选：C
5．C
【分析】本题考查了三角函数的应用．
根据正弦值得到，，进而根据跷跷板长为4米，计算即可．
【详解】解：在中，，
，
同理可得：，
米，
，
解得：米，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据三角形的外角性质得到，再根据等腰三角形的判定定理得到，最后再利用正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：由题意知，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
∴．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键．
过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
由题意得：，
∴，，
，
由题意得，，
，
∴．
故选：C．
8．1.70
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得玲玲的身高为，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：玲玲的身高为；
故答案为1.70．
9．75
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案．
【详解】解：如图所示标注字母，
根据题意得，，，海里，
，，
，
在中，，
（海里），
即：此时与灯塔的距离约为75海里．
故答案为：75．
10．没有
【分析】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出的长是解题关键．
根据题意结合锐角三角函数关系得出的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．
【详解】解：此车没有超速．理由如下：
过点作于点，
，
，
∵，米，
则，
解得：米，
，
∴车速为．
∵，
∴此车没有超速，
故答案为：没有．
11．35
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，利用全等三角形的性质进行线段等量代换．
先证明，得出，再结合支点到地面的距离，计算出小红离地面的高度为．
【详解】解：跷跷板的支点是中点，
．
又 ，（对顶角相等），
．
由全等三角形的性质可知，．
已知小明上升了，即，
．
支点到地面的距离是，
小红离地面的高度为．
故答案为：．
12．海岛C到海岸线l的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角的问题，过C作交延长线于D，根据三角形的外角性质求出，再根据等腰三角形的性质求出，并通过解直角三角形的应用得到答案．
【详解】解：如图，过C作交延长线于D，
∴，
根据题意得，，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
即海岛C到海岸线l的距离为．
13．灯柱C的高度应调整至．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，作于点，先证明四边形为矩形，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再在中，利用正切函数求解即可．
【详解】解：作于点，作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵与灯臂垂直，
∴，
在中，，
∴，
即灯柱的高度应调整至．
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．
（1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解；
（2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴端点D距离地面的高度为；
（2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
15．(1)C、E两地间的距离为
(2)甲先到达B地
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握作辅助线构造适当的图形是解题的关键．
（1）先证是等腰直角三角形，求出的长度，再过E点作交于点F，得到等边和平行四边形，利用边的转换即可求解．
（2）利用路程除以速度得到甲乙两人前进的时间，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，可知，
是等腰直角三角形，
m，
如图，过E点作交于点F，
又，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，
．
（2）根据题意，可知
甲所需时间为（分），
乙所需时间为（分），
，
甲先到达B地．
16．(1)两滑梯高度差为；
(2)长．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．
（1）通过解，求出，再通过即可求出两滑梯的高度差．
（2）通过解，求出，通过解，求出，再通过 ，代入数值计算即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∴，
答：两滑梯高度差为；
（2）解：在中 ，
，，
∴，
在中，
，，
∴，
∴
答：长．