1.6利用三角函数测高 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.6 利用三角函数测高 同步训练
一、单选题
1．如图，小丽从点A出发，沿坡度为的坡道向上走，若她沿垂直方向升高了20米到达点B，则她在水平方向走了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若 米，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，老师带领数学小组测量河里面一颗大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某旅游景区的路标旁有一段坡路，坡度为，太阳照射下，路标的影子落在地面和斜坡上，同一时刻测得斜坡上的影长，地面上的影长．已知，若没有斜坡，此刻该路标的影子的长（在同一竖直平面内）为（ ）m
A．6 B． C． D．
二、填空题
7．如图，在离铁塔底部米的处，用测角仪从点处测得塔顶的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米．
8．如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且、、三点在同一直线上，他们通过测量的长度计算出这棵树的高度是米，则测量的的长度是 米．
9．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米．
10．如图，、为两个建筑物，建筑物的高度为米，从建筑物的顶部A测得建筑物的顶部C点的俯角为，测得建筑物的底部D点的俯角为，则建筑物的高度是 米．（结果带根号形式）
三、解答题
11．如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离．
12．某校为检测师生体温，在校门口安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”的截面示意图．身高米的嘉嘉做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．如果测得嘉嘉的有效测温区间的长度是米，那么测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到，，）
13．万凤塔位于陕西省延安市洛川县，塔身雕饰富丽，融合唐宋至明代建筑特点，是陕西北宋塔的代表．小辉和几位同学准备测量万凤塔的高度，小辉在点处直立一根2米的标杆，小明在点处发现A，E，C三点共线，经测量的长度为6米，，已知，，并且C，F，B三点在一条水平线上，请你帮助他们求出万凤塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，）
14．学习小组为测量学校三号楼的高度，设计了以下测量方案：小志站在五号楼一层的C处（小志身高），看到三号楼楼顶的A处，此时测得仰角为，随后上到三楼，在E处看到三号楼楼顶的A处仰角为，两视线之间的距离，（、D、E在同一直线上且垂直于地面），请根据测量数据求三号楼的高度（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
15．“大搬快聚”让老百姓过上了幸福的生活．如图①是丽水市政府给某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，）
(1)求屋顶到横梁的距离；
(2)求这栋房屋高．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意得：米，
，
米
她在水平方向走了米，
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，米，，，在直角三角形中，利用正切值，求出，米，
在中，米，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
由题意可知，米，，，
米，，
在中，（米），
在中，（米），
（米），
（米），
故选：D．
3．B
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：在中，，，如图，
∵，
∴米，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
在中，，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定及解分式方程，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据题意可得，，，，，根据，得出是等腰直角三角形，设，根据的正切函数可得，解方程求出的值，根据即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，
由题意得：，，，，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
设，
∵，
∴，
解得，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用．过点D作的延长线于点F，设，则，利用勾股定理列式计算求得，再证明，据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：如图，过点D作的延长线于点F．
∵坡度为，，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
故选：C．
7．
【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形．
如图所示，过点作，则四边形为矩形，米，米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作，
则四边形为矩形，
∴米，米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
故答案为：．
8．/
【分析】此题考查了三角函数的应用，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
首先根据得到，然后利用得到，利用即可求解．
【详解】解：由题意得：，米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
米，
故答案为：．
9．/
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．过点作于点，分别解和，求得和，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
依题意，，，，
∴（米），
（米），
∴（米），
故答案为：．
10．
【分析】本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质．过点C作于F，则四边形为矩形，因此，，得到，．在中，米，在中，米，根据线段的和差求得，进而即可求解．
【详解】解：过点C作于F，如图所示：
则四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，，
∴在中，（米），
∴米，
∴在中，（米），
∴（米），
∴在矩形中，（米）．
故答案为：．
11．A，B两点间的距离为．
【分析】此题考查了解直角三角形、含的直角三角形的性质等知识．过点A作于点H，则，证明是等腰直角三角形，则，在中，，即可得到答案．
【详解】解：过点A作于点H，则，
由题意可得，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
即A，B两点间的距离为．
12．测温门顶部A处距地面的高度约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点E，设为x米，在中，，在中，，然后根据，列出方程，即可得出答案．
【详解】解：延长交于点E，设为x米，由题意可知，，，
在中，，
∴米．
在中，，
∴米．
∵，
∴，
，
∴，
∴米．
答：测温门顶部A处距地面的高度约为米．
13．万凤塔的高度约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，证明，得到，解直角三角形得到，把数据代入求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，，
，
又，
，
，
，
在中，，，
∴，
，
，
解得：，
(米)，
答：万凤塔的高度约为米．
14．三号楼的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，过A作于H，则，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过A作于H，
则，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
答：三号楼的高度AB约为
15．(1)米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
（1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论；
（2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
（米）；
答：屋顶到横梁的距离约为米；
（2）过作于，
设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
米，
，
解得：，
∴米，
（米），
答：房屋的高约为米．
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