3.1探索勾股定理 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

3.1 探索勾股定理 同步训练
一、单选题
1．如图，以的三条边分别为边向外作正方形，已知两个小正方形的面积分别为25，64，则大正方形的面积（阴影部分）为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（ ）
A．7 B．33 C．231 D．569
3．一个外轮廓为长方形的机器零件剖面示意图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得出两圆孔中心A，B之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，那么的值为（　　）
A．12 B．13 C．25 D．36
5．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E．则的长为（ ）

A． B． C．1 D．
二、填空题
7．如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为 ．
8．文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖 ．
9．如图，在中，，AD平分，交BC于点D，且，，则点D到AB的距离是 ．
10．欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．在中，，以为边分别向外作正方形、正方形、正方形．若的面积为，正方形的面积为13，则的长为 ．
三、解答题
11．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
12．如图，在中，，，分别是，边上的高，与相交于点，的延长线交于点．
(1)问与全等吗？请说明理由；
(2)若，，求的长．
13．在山西平遥古城的遥控赛车趣味赛中，终点为点A．小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于10米时，遥控信号会相互干扰，米，米．出发5秒钟时，遥控信号是否会相互干扰？
14．如图，在中，，点P，D分别在边上且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
(1)证明：；
(2)若，求线段的长．
15．中国数学会第十四届全国数学文化论坛于2025年7月1日在河南省郑州市举行．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计，既展现了中国古代数学的辉煌成就，又通过直观图形激发数学学习兴趣．勾股定理的证明方法至今约有500多种，如图也是勾股定理的一种证明方法，已知四边形是直角梯形，点在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了勾股定理，根据以的三条边分别为边向外作正方形，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵以的三条边分别为边向外作正方形，
∴
即大正方形的面积（阴影部分）为，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案．
【详解】在中，由勾股定理可得，
同理可得，
所以．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了勾股定理，根据图中信息，先运算得出，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：观察图中的数据，得出
在中，,
故选：B
4．C
【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及勾股定理的运用，由图形可知大正方形的边长即为直角三角形的斜边长，利用勾股定理得到的值，再根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，得到，最后结合完全平方公式即可得出答案．
【详解】解：大正方形的面积是13，
大正方形的边长，即直角三角形的斜边长为，
直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，
，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，
，
即，
，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【详解】解：由勾股定理可得，
由题意，可得，
，
所以
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．
连接，由线段垂直平分线的性质推出，设，由勾股定理得到，求出，得到．
【详解】解：连接，

∵垂直平分，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
先利用勾股定理求得，设 ，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
设 ，
依题意，，，，
∴，，
在中，
即，
解得：，即，
故答案为：．
8．13
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，
即要挖到该文物至少要挖，
故答案为：．
9．3
【分析】本题考查角平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到线段相等，再结合勾股定理和三角形面积公式求解．
先利用勾股定理求出的长度，再根据角平分线的性质可知点到的距离等于的长度，利用三角形面积公式建立等式求解．
【详解】解：如图所示，过点D作于，
∵平分，，，
∴，
∵在中， ，，
，
解得
故答案为：3．
10．
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中的应用，设设，，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到和，由勾股定理得，而的长为，利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：设，，
∵在中，，且的面积为，
∴，
∴
∵正方形的面积为13，
∴，
在 中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
如图所示，，
故答案为：．
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论．
【详解】（1）证明：在等腰中，，在等腰中， ，
，，，
，
．
．
（2）由（1）知，
∵在等腰中，，
．
，
．
．
，
．
12．(1)与全等，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据“”证明即可；
（2）根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：与全等
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，分别是，边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．不会，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键．
根据题意可分别求出出发5秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发5秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于10米作比较即可得出答案．
【详解】解：设出发5秒钟时两个赛车分别到达点，，如图所示，
此时（米），（米）
因为米，米，
所以（米），（米）．
所以（米）
因为，所以出发5秒钟时，遥控信号不会相互干扰．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据等边对等角和线段垂直平分线的性质得到，，根据直角三角形两锐角互余可推出，则由平角的定义可得，据此可得结论；
（2）利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
∵垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴．
15．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理得证明．证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可．
【详解】解：因为，
所以．
所以．
因为，
所以．
所以．
因为的面积分别为和，梯形的面积为
所以．
所以，
即．