3.1圆 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.1 圆 同步训练
一、单选题
1．已知的半径为2，点到圆心的距离为4，则点（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．无法确定
2．已知的半径是，线段的长为，则点P（ ）
A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定
3．点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知的半径为2，若点在圆上，则 2（填“”、“”、“”）．
9．的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程，则点P与的位置关系为 ．
10．如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ．(填“外”“内”或“上”)
11．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ．
12．平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为 ．
三、解答题
13．如图，一只狗被一根米长的绳子拴在一建筑物的墙角上，这个建筑的平面图是边长为米的正方形，狗不能进入建筑物内活动．求狗所能活动到的地面部分的面积．（精确到平方米，取）
14．在矩形中，，．
(1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　．
15．如图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置．小圆盘在 、、位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图．
16．一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．
(1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积关于半径的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；
②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3）．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，点P到圆心O的距离大于圆的半径时，点P在圆外．
【详解】解：∵的半径为2，点P到圆心O的距离为4，且，
∴点P在外．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小来判断．
【详解】解：∵的半径，，且，
∴点P在内．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立．
【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外，
∴，即．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有种，熟知设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：在中，，，，
∴ ，
∵当点在内且点在外，
∴，
∴的值可能是．
故选：．
5．A
【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键．
【详解】解：圆中的弦有：、，共两条，
故选：．
6．A
【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值．
【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；
∵矩形中，，圆A的半径为1，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为4，
故选：A．
7．C
【分析】连接，取的中点，连接，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得到，由三角形三边关系定理得到，即可得到线段的最大值．
【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示：
∵，
，
，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
的半径为1，
，
∴，
由三角形三边关系可知，，
∴线段的最大值是，
故选：C．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及点与圆的位置关系、坐标与图形、三角形中位线的判定与性质、三角形三边关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理，掌握圆中动点最值问题的基本解法，构造出，进而由三角形三边关系得到是解决问题的关键．
8．
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可根据“当点到圆心的距离时，则点在圆外，当点到圆心的距离时，则点在圆上，当点到圆心的距离时，则点在圆内”可进行求解．
【详解】解：由题意得：；
故答案为：＝．
9．在圆上
【分析】本题主要考查了判断点与圆的位置，解一元二次方程，先解一元二次方程得到点P到圆心O的距离，再根据圆的半径即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∴点P到圆心O的距离为5，
∵的半径为5，
∴点P在圆上，
故答案为：在圆上．
10．内
【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系.
先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点D在圆C内．
故答案为：内．
11．
【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【详解】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直角三角形，
在直角中，，
∴，
由图可知，的取值范围为：，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论．
【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为；
当点M在圆外时，的直径长为，半径为；
即的半径长为或，
故答案为：或．
13．平方米
【分析】本题考查了圆的面积公式．
根据题意可知：狗的运动范围是以12米为半径的圆的面积的，加上2个以米为半径的圆的面积的，利用圆的面积公式：，把数代入计算即可．
【详解】如图所示，
（平方米）．
14．(1)点B在内，点C在外，点D在上
(2)
【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
（1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴点在内，
∵，
∴点在上，
∵，
∴点在外；
（2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴的半径r的取值范围是．
15．见解析
【分析】本题考查了圆的周长公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键．
根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：到转了（圈），
到转了（圈），
作图如下：
．
16．(1)平方米
(2)①；②平方米
【分析】本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，解题的关键是先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
（1）根据面积公式计算即可；
（2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
【详解】（1） ，
隧道截面上部半圆O的半径，
隧道截面上部半圆O的面积为（平方米）；
（2）① ，，
，
；
②由①知，，
又23，
，
．
由①知，，
，
函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，
又 ，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，
故当时，S有最大值，最大值为平方米．