3.3垂径定理 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.3 垂径定理 同步训练
一、单选题
1．如图，的半径为5，弦，点C是的中点，连接，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在中，，若，，则的半径是（ ）
A．3 B． C． D．4
3．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，的半径是4，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）
A． B． C．5 D．10
5．如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
6．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的半径为10，弦和弦垂直于同一条直径：，，则与之间的距离（ ）
A．2或14 B．6或8 C．6或10 D．12或16
二、填空题
8．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为C，下列结论：
①，②，③，④上述结论中，正确的有 （填序号）
9．图1是某化学实验室的一个装有液体的圆底烧瓶，其底部球形的截面示意图如图2所示，液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为
10．流沙钥匙扣挂件多受女孩喜欢（如图左图）．如图右图是它的坠体截面示意图，嘉嘉用直尺测量了圆的半径为，流沙所在的水平面长，则圆心到的距离为 ．
11．已知在中，半径，、是两条平行弦，且，，则弦的长为 ．
12．图是某游乐园的摩天轮，，两位同学坐在摩天轮上的示意图如图，摩天轮半径为米，两同学的直线距离为米，当同学旋转到最高位置，此时两位同学的高度差为 米．
三、解答题
13．如图是一个蔬菜大棚的横截面，它的“拱顶”部分是以点为圆心的圆的一部分，已知的半径为，横梁的长为，点为的中点，连接交于点．
(1)求拱高的长；
(2)若要在离蔬菜大棚中心处安装一支撑柱，且支撑柱垂直于横梁，求支撑柱的长．
14．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某地古典园林的一个圆弧形门洞，已知门洞所在圆的圆心为点，地面入口弦．
(1)请在图中画出线段，用其长度表示门洞的最高点到地面的距离；
(2)若（1）中所画的，求该门洞（）的半径．
15．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连接交于点G，连结．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
16．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，在制作过程中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”．如图①为其示意图，制壶艺人王师傅把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．如图②，O为紫砂壶的壶口，通过测量得知，，若这批紫砂壶的制作要求壶口直径不超过，请你通过计算判断王师傅制作的该紫砂壶是否符合要求．
《3.3 垂径定理 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册》参考答案
1．C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长．
【详解】解：∵点C是的中点，
∴，
∵弦，
∴，
∵的半径为5，
在中，由勾股定理得，．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理；能熟练利用垂径定理，勾股定理进行求解是解题的关键．过圆心作交于点，交于点，连接、，由垂径定理得，由圆的基本性质得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：过圆心作交于点，交于点，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
设半径为，则，
，
，
，
解得，
故的半径是，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，
∵，经过圆心，
∴，
∵，
∴，
∴
∴（舍去负值），
∴
故选：C．
4．B
【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，含的直角三角形，连接，则，过点O作交于点D，则可计算出，利用勾股定理求出，进一步利用垂径定理即可求出弦的长．
【详解】解：连接，则，过点O作交于点D，
∵，
∴，
，
∴．
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过等腰直角三角形得到是解题的关键．
先求出的度数，再结合垂径定理证是等腰直角三角形，求出的长度，即可求解．
【详解】解：
的直径垂直于弦
又
．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键．由，且点为的中点，可得，，设，则，然后通过勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：，且点为的中点，，
，，
设，则，
，
，
解得，
大摆锤的长度为．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理，注意弦在直径同侧或异侧时距离的计算方式不同．
两条弦均垂直于同一条直径，故相互平行；利用垂径定理及勾股定理求出圆心到每条弦的距离，再根据弦在直径同侧或异侧计算两弦间的距离．
【详解】解：如图，为直径，设于点E，于点F，连接．
∵，则．
∴．
同理，∵，则．
∴．
若和在直径同侧，则距离为．
若和在直径异侧，则距离为．
∴ 与之间的距离为2或14．
故选：A．
8．①②③
【分析】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
根据垂径定理对各小题进行逐一分析即可．
【详解】解：∵在中是直径，是弦，且，
∴，，，故①②③正确；
∵不一定过的中点，
∴与的大小关系不能确定．
故答案为：①②③．
9．5
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用．
由垂径定理得到，设的半径为x cm，则，在中，根据勾股定理计算即可解答．
【详解】解：如图，连接，
，
，
设的半径为x cm，则，
，
在中，，
即，
解得：，
的半径为
故答案为：
10．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于点，可得，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
则，，
∵，
∴，
∴圆心到的距离为，
故答案为：．
11．或或
【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据垂径定理，过圆心作平行弦的垂线，利用勾股定理计算弦心距，再根据两弦的相对位置（同侧或异侧）和端点选择，分类讨论的长度。
【详解】解：过圆心作于E，交于，
由垂径定理，，，在中，；在中， ，
当与在圆心同侧时，；

当与在圆心异侧时，，
从作于，则，，
为点到的距离，可能为或，
则 ；
如图1，则，，所以；
如图2，则，，所以；
如图3，则，，所以；
如图4，则，，则．
故的长为或或，
故答案为：或或．
12．
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理并结合三角形面积法求线段长度是解题的关键。
通过作垂线构造直角三角形，利用三角形面积公式求出直角边长度，再结合勾股定理计算线段长度，从而得到两位同学的高度差。
【详解】解：当同学旋转到最高位置时，过点作于点．令交于，
由题意可得，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
（米），
∴此时两位同学的高度差为米．
故答案为：．
13．(1)拱高的长为
(2)支撑柱的长为
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角是解答本题的关键．
（1）由垂径定理得，由勾股定理得，即可求出的长；
（2）过点作于点，连接则．可得四边形是矩形，设，则，在中，由勾股定理得，求解方程即可．
【详解】（1）解：∵的半径为，
∴．
∵点为的中点，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
答：拱高的长为．
（2）解：过点作于点，连接则．如图，
设，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，．
在中，，，，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴．
答：支撑柱的长为．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理的应用．
（1）过点画出的垂线，垂足为，交于点；
（2）设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，表示门洞的最高点到地面的距离；
（2）解：如图，连接，
设圆的半径为，
依题意，，，，
中，，即，
解得．
答：该门洞的半径为．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是圆心角、弧和弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键．
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可；
（2）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴
，
解得：，（舍去），
∴，
∴．
16．符合要求，见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线，根据垂径定理构造出直角三角形是解决问题的关键．
根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理即可求出半径，即可解答．
【详解】解：如图，连接，设圆O的半径为，
∵，，，
∴，，，
根据勾股定理得，，
即，
解得
∴圆的直径为．
故该紫砂壶符合要求．