3.4圆周角和圆心角的关系 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.4 圆周角和圆心角的关系 同步训练
一、单选题
1．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（ ）
A．5 B． C． D．2
2．如图，，，三点在圆上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的内接四边形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，半径为6的经过原点O和点，点B是轴左侧优弧上一点，则为（ ）
A． B． C． D．
6．以O为中心点的量角器与等腰直角三角板按如图方式摆放，量角器的O刻度线与斜边重合．作射线交边于点D，交量角器的外边缘于点E．若点E所对应的读数为，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ．
9．如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为 ．
10．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若， 则的度数是 ．
11．如图，是的直径，，是上两点，若，则的度数为 ．
12．如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，是的直径，，是圆上的两个点，连接，，，，．若，求证：．
14．如图，是的直径，是的中点，连接，，．
(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．
15．如图，为的直径，且于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求弦的长．
16．如图，四边形内接于，连接和，，在的延长线上．
(1)若，求的度数．
(2)求证：平分．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得．
【详解】解：如图，在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
又∵，，三个顶点均在圆上，
∴为圆的直径，
∴圆的半径为，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了等边对等角、圆周角定理，连接，由等边对等角得出，，求出，再由圆周角定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接，
由题意可得：，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
3．D
【分析】此题考查了圆周角定理．注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．由，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
【详解】解：∵点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上，，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
设交轴于，连接，则是直径，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可．
【详解】解：设交轴于，连接，则是直径，
在中，，，
，
由圆周角定理得，，
则，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是运用圆周角定理得出与的关系．
由圆周角定理得出，进而得出，再由外角的性质得出，代入计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
点所对应的读数为，
，
为直径，，
点在上，
，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
是的外角，
，
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵点是劣弧的中点，
∴，
∴．
故选：B
8．
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，由圆周角定理得是圆形镜面的直径，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵，且是圆周角，
∴是圆形镜面的直径，
∵，，
∴，
故答案为：．
9．/70度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质等，连接，由圆内接四边形的性质和补角性质可得，即得，又由得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形内接于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．/34度
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据直径所对的圆周角是直角得出，利用圆内接四边形的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴
∵，
∴
∴
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等），熟练掌握圆周角定理的相关性质是解题的关键．
先利用直径所对圆周角为直角得到，再求出的度数，最后根据同弧所对圆周角相等得出的度数．
【详解】解：连接．
∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角是直角），
∵在中，，
∴，
∵和都对应弧，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】连接，，过点作，垂足为，由圆内接四边形对角互补可得，由圆周角定理可得，再由可得，由角所对直角边等于斜边的一半可得长，利用勾股定理求出，由垂径定理得，即可得出．
【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形性质，角所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
13．见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
先根据，得出，由圆周角定理得，即可求证．
【详解】证明：，
．
，
．
．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，平行线的判定只能即可；
（2）连接，交于点E，利用垂径定理，勾股定理解答即可．
本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接．
是的中点，
，
，
，
，
．
（2）解：连接，交于点E．
半径是5，
，
是直径，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
在中，．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理及勾股定理．
（1）先根据圆周角定理得到，再利用等角的余角相等得到，然后利用得到；
（2）先根据垂径定理得到，再计算出，，则利用勾股定理可计算出，从而得到的长．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
．
，
，
，．
在中，，
．
16．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，关键是利用弧的度数求圆周角，结合等腰三角形与外角性质证角平分线，易错点是弧与圆周角的对应关系混淆；
（1）由弧的度数得圆周角，结合等腰求，再用同弧所对圆周角相等求；
（2）利用圆内接四边形外角等于内对角，结合同弧圆周角相等证．
【详解】（1）解：
为等腰三角形，
，
，
，
，
（2）证明：四边形为的内接四边形，
∴，
又，
，
，
，
即平分．