3.5确定圆的条件 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.5 确定圆的条件 同步训练
一、单选题
1．三角形的外接圆的圆心一定在三角形的（ ）
A．内部 B．外部 C．边上 D．以上说法都不准确
2．已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　）
A．可作一个 B．可作两个
C．可作无数个 D．不能作出
3．在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．下列条件中，只能确定一个圆的是（　　）
A．过定点A
B．过定点A、B，且半径为R
C．过不在同一直线上的三点
D．过不在同一直线上的四点
5．根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点、，使得的外心为，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、填空题
8．命题“直角三角形的外心是其斜边的中点．”是 命题．（填“真”或“假”）
9．在中，，则外接圆的半径为 ．
10．已知：A点坐标为，B点坐标为，若过A、B、C三点不能确定一个圆，写出一个满足要求的C点坐标 ．（写出一个就行）
11．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ．
12．将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
三、解答题
13．已知线段．
(1)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
(2)画半径为的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画几个？
(3)能画出半径为的圆，使它经过A，B两点吗？
14．实践与操作：
已知：．求作：，使它经过点B和点C，并且圆心O在的平分线上．
（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
15．如图，在平面直角坐标系中，点．
(1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______；
(2)的半径为_____，的度数为_____．
16．如图，四边形内接于，平分．
(1)在图中画出圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的基础上，连接，若，求的度数．
《3.5 确定圆的条件 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册》参考答案
1．D
【分析】本题考查了三角形的外接圆的圆心，熟记三种三角形的外接圆的圆心的位置是解题的关键．
先明确三角形的外心的定义，再分情况讨论直角、锐角、钝角三角形的外接圆的圆心位置，即可得解．
【详解】解：因为锐角三角形的外接圆的圆心在三角形的内部；直角三角形外接圆的圆心在三角形的边上；钝角三角形的外接圆的圆心在三角形的外部，
所以A、B、C均错误．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆．
【详解】解：∵圆经过A、B两点且半径为，
∴圆心O满足，，
∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点，
又∵，且两圆半径均为，
∴两圆圆心距，半径和，半径差，
∴两圆相交，有两个交点，
∴这样的圆可作两个．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答．
【详解】解：设直线的解析式为：
则，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点在直线上，
，， 三点可以确定一个圆时，，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可．
【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意；
B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意；
C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意；
D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意．
故选C．
5．A
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义．
根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可．
【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，
∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线的三点确定一个圆是解题的关键．直线上任意两个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：过以下三点可以画出一个圆：、、；、、；、、；、、；、、；、、．
∴最多可画出圆的个数为个．
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵的外心为O，
．
，
，
、是方格纸格线的交点，
、的位置如图所示，
．
故选：D．
8．真
【分析】此题考查了直角三角形外心的位置．直角三角形的外心是其外接圆的圆心，由于直角三角形的斜边是外接圆的直径，因此外心位于斜边的中点．据此进行判断即可．
【详解】解：在直角三角形中，直角所对的边是斜边．根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此直角三角形的斜边是其外接圆的直径．外心是外接圆的圆心，圆心是直径的中点，故直角三角形的外心是斜边的中点．因此该命题是真命题．
故答案为：真．
9．4或5
【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．
根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可．
【详解】解：当为斜边时，，
是直角，
三角形外接圆直径，
半径是4；
当为斜边时，
为直角，
，
，
三角形外接圆直径为
半径是5；
综上所述：半径为4或5．
故答案为：4或5．
10．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质及圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；设直线的解析式为，则根据待定系数法得出函数解析式，然后根据A、B、C三点不能确定一个圆可知：A、B、C三点共线，进而问题可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，由题意得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵A、B、C三点不能确定一个圆，
∴A、B、C三点共线，
∴点C的坐标只需满足在直线上即可，例如：，等等；
故答案为（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接、，则，
，
，
，即，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，取的中点O，连接、、，根据勾股定理分别求出、、，得到答案．
【详解】解：取的中点O，连接、、，
由题意得：，
由勾股定理得：，，，
∴，
∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为，
故答案为：．
13．(1)一个
(2)两个
(3)不能
【分析】本题考查圆的确定，掌握通过作线段垂直平分线，结合半径与线段一半的长度关系确定圆的个数是解题的关键．
（1 ）由圆半径为，，即可判断圆心是中点；
（2 ）由圆半径为，，即可判断圆心在线段的垂直平分线上；
（3 ）由圆半径为，，即可判断不能画出半径的圆．
【详解】（1）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画一个，圆心是的中点；
（2）画半径为的圆，使它经过A，B两点，，这样的圆能画两个，圆心在线段的垂直平分线上圆心到A点的距离是；
（3）由于，故不能画出半径为的圆，使它经过A，B两点．
14．见解析
【分析】此题主要考查了尺规作图，圆的基本性质，熟练掌握常见尺规作图是解题的关键．
作圆，即需要先确定其圆心，先作的角平分线，再作线段的垂直平分线相交于点，即点为圆心．
【详解】解：如图，即为所求．
（1）作出的角平分线，
（2）作出线段的垂直平分线交于，
（3）以点为圆心，为半径，作圆，如下图所示：
即为所求的圆．
15．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了三角形的外心，利用网格求线段长度，勾股定理逆定理等，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．
（1）的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标．
（2）通过点坐标可求出长度，即为半径，然后再求出长度，进而通过勾股定理逆定理即可求得．
【详解】（1）解： ，
的垂直平分线所在直线上，
圆心在直线上，设，
，
，
解得，
故答案为：．
（2）解：∵圆心D点坐标为：，
∴半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为直角三角形，，
故答案为：，．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查圆的综合知识，基本作图、圆周角定理、内接四边形对角互补，角平分定义等相关知识，得出是解题关键
（1）作、的垂直平分线，垂直平分线交于点O，则点O为外接圆的圆心，作图即可；
（2）由四边形内接于，可得，则，有同弧所对圆周角相等可得的度数．
【详解】（1）解：如图（画法不唯一）；
（2）解：连接，
∵四边形内接于，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．