3.6直线和圆的位置关系 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.6 直线和圆的位置关系 同步训练
一、单选题
1．已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交
2．如图，四边形内接于．过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，点，在上，连接，，，，过点作的切线，交的延长线于点，若的直径为4，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，、分别与相切于、两点，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、填空题
9．如图，是的切线，是切点，连接，．若，，，则的长为 ．
10．如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 （用含的式子表示）．
11．如图，已知点M在y轴正半轴上，与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，点P在点Q的下方，且点P的坐标是，则的长为 ．
12．如图，是的切线，点B为切点，连接．若，，，则的长度为 ．
13．如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是 ．
三、解答题
14．如图，中，，以为直径的交的延长线于点E，连接，是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求CD的长．
15．如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为4，，求的长．
16．如图，四边形内接于，且为直径，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且平分
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求、的长．
17．如图，在中，，为上一点，与相切于点，连接，经过点、的分别交、于点、，连接交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径及的长度．
《3.6 直线和圆的位置关系 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册》参考答案
1．C
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．设点到直线的距离为，根据垂线段最短，可得，根据直线与圆的位置关系即可得答案．
【详解】解：设点到直线的距离为，
∵点在直线上，且，
∴，（垂线段最短），
∵的半径为，
∴当时，直线与相交；
当时，直线与相切；
∴直线与的位置关系是相交或相切．
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了圆的切线性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及圆周角定理．连接、，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】如图，连接，，
是的切线，切点为C，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
3．D
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
连接，如图，先根据切线的性质得到，利用勾股定理可计算出，再根据圆周角定理得到，然后证明，于是利用相似比可求出的长．
【详解】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
的直径为4，
，，
在中，，，
，
是的直径，
，
∵，
∴，
∵
，
而，
，
，即，
解得．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含角的直角三角形可得的长，进而可得的面积．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，
点为的内心，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理等，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长与交于点G，连接，可得四边形、四边形和四边形都是矩形，即得，进而得到，即得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长，与交于点G，连接，
则，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形和四边形是矩形，
，
，
，
，
半径为3，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了四边形内角和定理、切线的性质、圆周角定理．首先连接、，根据切线的性质可知，根据四边形内角和定理可以求出，根据点在圆上的位置，求的度数．
【详解】解：连接、，
∵、分别与相切于、两点，
∴，
又∵，
∴
当在劣弧上时
当在优弧上时
故选A.．
7．D
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、直角三角形两锐角互余、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
如图：连接，由切线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，最后再根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选D．
8．A
【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算．
连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值．
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
根据勾股定理，
∴最短时，取得最小值，
∵当时，线段最短，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．
连接，根据切线的性质得到，再判断为等腰直角三角形，从而得到，最后利用勾股定理求的长即可．
【详解】解：连接，如图，
∵是的切线，是切点，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．
连接，利用切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，即可利用圆周角定理求出的度数．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
11．3
【分析】本题考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理，过点作轴，连接，设，在中，利用勾股定理进行求出半径，在中，利用勾股定理进行求出，最后根据垂径定理求解即可．
【详解】解：过点作轴于点N，，连接，过点M作于点H，
∵，
∴，，
∵与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交于P、Q两点，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
在中，由勾股定理，得：，
∵，
∴，
故答案为：3．
12．
【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，连接，由 的正切值求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，点B为切点，
∴，
在中，，
又∵ ，
∴，
在中，，，
∴ ，
故答案为：．
13．
【分析】设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，则有，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质可得，又由，为圆F的直径，可得点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆F的直径，再利用的面积即可求解．
【详解】解：如图，设圆心为点F，圆F与的切点为D，连接、、，
∵圆F与相切，，
，
∴为直径，点F是中点，
，，
又，
，
，为圆的直径，
∴当点在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，即为圆的直径，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系及三角形的面积公式，根据题意可知当点F在直角三角形的斜边的高上时，有最小值是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）连接，根据圆的切线得到，而，再由互余关系即可证明，则；
（2）设的半径为.在中，由勾股定理得；在中，由勾股定理得，再由，得到方程，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∴.
又∵，
∴.
在中，，即，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为.
在中，，
即.
在中，，
即.
∵，
∴，
解得.
在中，
∴．
15．(1)直线与相切，理由见详解
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据切线的判定定理得到直线与相切；
（2）根据三角函数的定义得到，设，求得，根据勾股定理得到结论．
【详解】（1）解：直线与相切，
理由：如图，连接，
∵，
∴，
又 ∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
故直线与相切．
（2）解：∵，，
∴，
∵的半径为4，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
即，解得，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键．
（1）利用角平分线的概念，证明，即可得到，即可解答；
（2）证明四边形是矩形，再结合勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
交的延长线于点H，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：作于点E，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
、的长分别是20、.
17．(1)见解析
(2)，
【分析】本题主要考查切线的性质和角平分线的性质，三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题的关键．
（1）先连接，再利用切线的性质进一步得出，最后倒角即可；
（2）先连接，再根据可求出的半径为，再利用三角函数进一步得出，最后利用平行判定相似三角形即可．
【详解】（1）证明： 如图，
连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：如图，
连接，
在中，
设半径为，则，，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为．
∵为的直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
即，
∴．
答：的半径为，的长度为．