3.7切线长定理 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.7 切线长定理 同步训练
一、单选题
1．如图，、、是⊙的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1.5
2．如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．5
4．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（ ）
A．14 B．24 C．28 D．
5．如图，于C，，，，与直线都相切，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．随直线的变化而变化
7．如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
二、填空题
8．如图，切⊙O于点A、B，，那么弦的长是 ．
9．如图，、是切线，切点为、，、在上，若，则为 ．
10．如图，过点A作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点D作的切线，交，于点E，F．若，的周长为2，则的长为 ．
11．如图，在四边形中，，，，分别与扇形相切于点A与点E．当时，的长为 ．
三、解答题
12．如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点．
(1)判断与半圆的位置关系，并说明理由．
(2)若，求．
13．如图，P为外一点，，是的切线，A，B为切点，点C在上，连接，，，．
(1)求证：；
(2)连接，若，的半径为5，，求的长．
14．如图，是的直径，，分别与相切于点A，C，交的延长线于点D，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．如图，在中，，以为直径的交于点D，点Q为延长线上一点，延长交于点P，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求的长．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．由于 、、是⊙的切线，则，，求出的长即可求出 的长．
【详解】解：∵、为⊙的切线，
∴，
∵、为⊙的切线，
∴ ，
∴．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案．
【详解】解：连接，
∵是的两条切线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：设，
的内切圆与分别相切于点，
，，，
，，，
，，
，
，
解得：，
即，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：连接，，
是的内切圆，切点分别为，，，
，，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形，
，
设，则，，
在中
，
解得：，，
，，或，，
．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了切线长定理的应用，是基础知识要熟练掌握．设与的切点分别为D、F、E；由切线长定理可得：，，；可用分别表示出的长，根据，得出的表达式；连接；易证得四边形是正方形，即，由此可求出的半径．
【详解】解：设与的切点分别为D、F、E；连接，
、是的切线，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，即，
设，则，
由切线长定理，得，
则，，即，故的半径为．
故选：B．
6．C
【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、，
的周长为，，
，
，，
，
，
，，
，
剪下的三角形的周长为，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线长定理得到，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵的周长为26，
∴，
∵，
∴，
∵与三边分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵分别与相切于点E，F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
故选：C．
8．8
【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，据此即可得，推出是等边三角形，即可求解；
【详解】解：由题意得：，
∵
∴是等边三角形；
∴，
故答案为：
9．/度
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据切线长定理得出：，则，根据角的和差即可求出答案．
【详解】解：连接，
、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，
四边形是的内接四边形，
，
、是的切线，切点为A、D，
根据切线长定理得出：，
，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键，
利用切线长定理得出，，，再根据三角形周长等于2，可求得，从而利用勾股定理可求解．
【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，，
∴，
∵、是的切线，切点是D，
∴，，
∵的周长为2，即，
∴，
∵，
∴.
故答案为：．
11．9
【分析】连接，作于点H，根据题目所给条件可得：，，再由勾股定理求得的长，证明四边形是矩形；在中，根据勾股定理列式求解即可．
【详解】解：如图，连接，作于点H，则，
分别与扇形相切于点A，E，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
解得：．
故答案为：9．
【点睛】此题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键．
12．(1)与半圆相切，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）设半圆的圆心为，连接，，通过证明得到，再利用切线的判定定理即可得出结论；
（2）根据正方形的性质得到，推出是半圆的切线，根据切线长定理得到，设，根据勾股定理列出方程，求出的值即可解答．
【详解】（1）解：与半圆相切，理由如下：
如图，设半圆的圆心为，连接，，
四边形是正方形，
，
在与中，
，
，
，
是半圆的半径，
与半圆相切；
（2）解：四边形是正方形，
，，
是半圆的直径，
是半圆的切线，
由（1）得，与半圆相切，
，
设，
，
，
，
解得，
．
13．(1)证明见详解；
(2)；
【分析】（1）延长交于点D，连接，根据切线得到，从而得到，根据直径得到，即可得到，结合圆周角定理得到证明；
（2）过O作交于点E，延长交于点F，先根据垂径定理得到，得到，再根据垂直、平行及切线得到四边形是矩形，从而得到，结合勾股定理即可得到答案；
【详解】（1）证明：延长交于点D，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过O作交于点E，延长交于点F，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的切线，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，是的切线，
∴，
在中，
，即，
解得：，
在中，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，切线的性质，切线长定理，垂径定理，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用,锐角三角函数等知识点，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．
（1）根据切线的性质得，，证得，进而得证；
（2）连接，令交圆于点F，利用，可求出，再证明，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出，的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵，与分别相切于点A，C，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：令交圆于点F，
∵，与分别相切于点A，C，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由（1）知，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，由于，得到，根据余角的性质得到，于是得到结论；
（2）连接，根据切线的判定定理得到是的切线，求得，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据三角形的中位线的性质得到，根据射影定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
，
∴是的切线；
（2）解：连接．
∵为半径，
∴是的切线，
∴，
，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．