3.8圆内接正多边形 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.8 圆内接正多边形 同步训练
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
2．如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形内接于，P是圆上任意一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正八边形中，连接，，，，与交于点O，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的半径等于6，其内接正六边形中，交于点交于点，则四边形的面积是（ ）
A．36 B． C． D．24
6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（ ）
A． B．3 C．3.14 D．3.13
7．如图，是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个半径为的圆上，数字0对应圆心．使用方法：以的顺序顺着箭头方向移动眼球，移动一圈后再回到圆心，反复进行．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等，则该线段的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ．
9．如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为 ．
10．如图，正九边形的两条邻边分别与相切于点、，点在上，连接、，则的度数为 ．
11．如图，在正边形中，，则的值是 ．
12．如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为、，连接，则的长为 ．
三、解答题
13．请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求；
(2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求．
14．如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．

15．如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形．
(1)求的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
16．请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，已知正七边形，分别画出一个以为边的平行四边形和为边的菱形；
(2)在图2中，若正七边形的外接圆为，画出的中点P，过点A作的切线．
参考答案
1．D
【分析】本题考查了命题，正多边形的定义和性质．正多边形必须各边相等且各角相等；中心对称性取决于边数；圆内接多边形各角相等不一定为正多边形；正多边形的半径即其外接圆半径，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意；
B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意；
D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意；
故选：D
2．C
【分析】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和是解题的关键．
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解： 五边形为正五边形，
，
，
，
，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键．连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案．
【详解】解：连接、，如图所示：
正六边形内接于，
，
P是圆上任意一点，，
根据圆周角定理，，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握正八边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．
根据正八边形的性质以及圆周角定理进行计算即可．
【详解】解：如图，由正八边形的对称性可知，点是正八边形的中心，
所以，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了内接于圆的正六边形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理和含的直角三角形的性质，熟练运用以上知识点是解决本题的关键．
如图，连接，根据内接正六边形的性质可得，是等边三角形，则，进而根据含的直角三角形的性质可得，最后结合菱形的判定和性质进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，
六边形是正六边形，
，，，
是等边三角形，
∴，
∵是的直径，
，
，
，
，
同法可得，
四边形是菱形，
四边形的面积．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质．
根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出三角形的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可．
【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴正十二边形的面积为，
即的面积为3，
此时．
故选：B．
7．A
【分析】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可．
【详解】解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，
由图可得，线段的长与其他的都不相等，
∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，
∴，
∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴这条线段的长为．
故选：A．
8．//
【分析】本题主要考查了正多边形的性质、含30度直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
如图，连接，由题意可得 ，；根据等边对等角以及三角内角和定理可得；再是等边三角形可得、，易得，然后根据含30度直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵点O为正六边形的中心，正六边形的边长为3，
∴ ，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
9．/72度
【分析】此题考查了正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，解题的关键是掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系．
连接，，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数．
【详解】解：如图，连接，，，
∵正五边形内接于，
∴，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】根据正九边形的性质求出内角的度数，再根据切线的性质得到，由三四边形的内角和是求出的度数，由周角的定义以及圆周角定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，，
正九边形的两条邻边分别与相切于点、，
，
又正九边形的一个内角，
，
，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆，圆周角定理，中心角，掌握正多边形与圆的关系是解题的关键；
先标字母，为正边形的外接圆，再根据圆周角定理求出，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数．
【详解】解：如图所示，标记点，点，点，正边形的中心，为中心角，为正边形的外接圆，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接，设与相交于点，则，，由正六边形的性质得是等边三角形，即得，，利用勾股定理求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，设与相交于点，则，，
∵多边形是正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：．
13．(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，圆周角定理；熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接，，交点即为圆心．
（2）延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求．
【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求．
（2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求．
14．
【分析】本题考查圆与等边三角形的综合题，正方形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接作于点M，先求出，继而推导出，，可求出，则有， 即可解答．
【详解】解：如图，连接作于点M，

根据正方形的性质可得．，
∴是的直径．
在中，．
∴．
∵，
∴．
∵是正三角形，
∴，
∴．
∴．
∴．
在中，，，
∴，．
∴，即正三角形的边长为．
15．(1)
(2)
【分析】本题侧重考查有关圆内接多边形的题目，需要掌握圆内接多边形的性质以及等腰三角形的性质．
（1）在等腰中易得顶角的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角的度数；
（2）根据正六边形中心角的度数及同圆半径相等得到为等边三角形，设正六边形的边长为，从而得到的长；利用面积公式求出正六边形的面积以及正方形的面积，进而得到正六边形与正方形的面积比．
【详解】（1）解：连接，
∵的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形．
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：过作于，设正六边形的边长为．
∵为正六边形的中心角，
∴．
∵，
∴是边长为的等边三角形，
∴， ，
∴正方形的面积为，
∴，
正六边形的面积为，
∴正六边形与正方形的面积比为．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了几何作图，包括平行四边形、菱形、切线的作法等，解题关键是理解正多边形的性质以及平行四边形、菱形和圆的相关性质．
（1）连接，交于，交于，则四边形是平行四边形；延长，交于点，则四边形为菱形；
（2）连接并延长，交于点，即为所求；连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交延长线于点，连接并延长，交延长线于点，作射线，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，四边形为平行四边形，四边形为菱形；
（2）如图所示，点P为的中点，为的切线．