3.9弧长及扇形的面积 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.9 弧长及扇形的面积 同步训练
一、单选题
1．小军用下图的方法测量一个圆锥的高，量出长度是厘米，圆锥实际的高（ ）．
A．小于厘米 B．大于厘米 C．等于厘米 D．不能确定
2．一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D ，E 分别在上，点 C 在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图； 四边形内接于 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点的位置，求的长．（ ）
A． B． C． D．
8．如图，扇形的半径是1，以为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，圆锥的底面半径r为，高h为，则圆锥的侧面积为 （结果保留）．
10．李冰用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为，扇形的弧长是，那么这个圆锥的高是 ．

11．学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ．
12．如图，圆锥的底面，侧面展开图扇形的圆心角为，则此圆锥的高 ．
13．如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ．
三、解答题
14．如图，是的直径，点M，N均在上，，弦．
(1)求直径的长；
(2)求劣弧的长．
15．如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点．
(1)求证：是的切线；
(2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积．
16．如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，，求图中阴影部分的周长．
17．某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开．
(1)绿地的面积为______平方米；(用含有a，b，π的式子表示)
(2)若米，米，铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？(用含有π的式子表示)
18．（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____；
（2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积：
（3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）．
参考答案
1．A
【分析】本题主要考查了圆锥的高的定义及测量方法，解答本题的关键是掌握圆锥高的含义．从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，根据圆锥高的含义结合圆锥高的测量方法进行解答即可．
【详解】解：如图，
圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，
图中小军斜着测量得到的是圆锥的母线长度，量出长度是厘米，
所以圆锥实际的高小于厘米，
故选：．
2．C
【分析】本题考查的圆锥的侧面积计算．由圆锥的面积公式直接可以得到答案．
【详解】解：因为圆锥的侧面积，
又因为，
所以圆锥的侧面积．
故选:C．
3．C
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可．
【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为；
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查的是扇形面积、30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，根据勾股定理求得的长是解题的关键．
连接，过点作，垂足为点．根据菱形性质可得，，在中，可求，，然后利用在中可求得，最后由阴影部分的面积扇形的面积求解即可．
【详解】解：连接，过点作，垂足为点．
∵在菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，扇形的面积，
∴，
，
∵在菱形，，
∴，解得：，
∴，
阴影部分的面积扇形的面积 ．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查圆内接四边形，求扇形的面积，解直角三角形，作，等边三角形的性质结合圆内接四边形的性质，求出，三线合一，解直角三角形，求出的长，利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，
∴ ，
∴，
如图；作 ，
则：，
∴ ，
∴阴影部分的面积为；
故选：D．
6．B
【分析】连接，过点O作于点E,先得到是等边三角形，则，，由等腰三角形的性质得到，然后解，求出，，最后由求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点E．
∵为四边形的外接圆，，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的与四边形的综合题，涉及圆周角定理，圆的内接四边形，扇形面积公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点．
7．D
【分析】这道题主要考查初中数学中 “圆” 章节的核心知识点，弧长公式，平面直角坐标系，勾股定理，图形的旋转，解题的关键点在于确定半径和圆心角，易错点在于弧长公式记错或代入错误；根据点的坐标求出的长度，以及圆心角度数，代入公式即可．
【详解】过点作轴于点．
∵点，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
即，
则．
∵在中，
，
∴．
故选D．
8．B
【分析】本题考查了扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据阴影部分的面积的面积半圆的面积扇形的面积计算即可．
【详解】解：根据题意可知：，，
，
阴影部分的面积
，
故选：．
9．
【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式，是解题的关键．首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．
【详解】解：由题意得：，，
设圆锥母线长为l，由勾股定理得：
，
圆锥的侧面积为：
．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理，设圆锥底面圆的半径是，根据扇形的弧长可求出圆锥底面圆的半径，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵扇形的弧长是，
∴圆锥的底面周长是，
设圆锥底面圆的半径是，
∴，解得：
∴圆锥的高是
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可求解．
【详解】解：，，
山水画所在纸面的面积： ．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了求圆锥的母线长．圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
【详解】解：∵圆锥的底面半径是2，
∴圆锥的底面圆周长为，
∴侧面展开后所得的扇形的弧长是，
∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为
∴侧面展开后所得的扇形的半径为：
∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径，
∴圆锥的母线长度为，
∴此圆锥的高
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵是的中垂线，
∴，，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为：．
14．(1)
(2)
【分析】该题考查了圆周角定理，弧长公式，直角三角形的性质．
（1）根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质即可求解．
（2）连接，求出，根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴的直径为；
（2）解：如图，连接，
则，
∴的长为．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式，熟练掌握切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式是解题的关键；
（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）连接，，，由题意易得，则有，然后可得是等边三角形，进而根据扇形面积公式及等积法可进行求解．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，，，
点是劣弧的中点，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及扇形面积的求法，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据切线的定义可知，由圆周角定理可知，为斜边中点；
（2）根据正方形的性质和弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）连接、，如图，
是的切线，
，
，
点是的中点，点为的中点，
，
，，
，
，
，
在和中，
．
，
，
为的半径，
为的切线；
（2）解：由（1）可知与是直角三角形
若，
，，，
四边形为正方形，
，
图中阴影部分的周长 ．
17．(1)
(2)美化这块长方形区域共需 元
【分析】此题考查列代数式，整式的化简计算，解题的关键是根据题意，建立合适的表达式．
（1）利用圆的面积公式计算即可；
（2）列式计算即可．
【详解】（1）根据题意得：绿地的面积为（平方米）
故答案为：；
（2）米，米时，种草的费用（元），
铺设五彩石费用（元），
合计：（元），
答：美化这块长方形区域共需元．
18．（1）54；（2）；（3）
【分析】本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式．
（1）直接利用扇形的面积公式计算即可；
（2）设，根据弧长公式得到，进而求出，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积，则可计算出扇环的面积；
（3）设梯形的高为h，由（2）得，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论．
【详解】解：（1）该纸筒的侧面积为；
故答案为：54；
（2）设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴扇环的面积为
，
∵，
∴扇环的面积为；
（3）设图形的高为h，
由（2）得，
∵等于的长，等于的长，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．