4.6利用相似三角形测高 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.6 利用相似三角形测高 同步训练
一、单选题
1．小杰身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为24米，则教学大楼的高度为（ ）
A．18米 B．20米 C．22米 D．30米
2．“中国第一高树”云南黄果冷杉高度为，相当于28层楼高．小明同学想测量公园内某棵冷杉的高度，如图，他调整自己的位置，设法使自制的直角三角形纸板的斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则冷杉的高为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点处水平放置一平面镜（平面镜的厚度忽略不计），光线从点出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米
5．有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：1丈尺，1尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长x尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ）
A． B． C． D．
7．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
8．如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为 ．
9．如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上，则旗杆的高度为 ．
10．一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米．
11．如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子，其中竹竿，它的影长，竹竿的影子有一部分落在墙上，．竹竿的长为 m．
12．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ．
三、解答题
13．景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？
14．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为；
②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；
③调整D，E的位置，使，记录下的距离为；
④测量出之间的距离大约为．
数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．
15．某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动．
甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪．
任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）．
工具：简易测高仪、卷尺．
实践活动
实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示．
示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，．
解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度．
16．塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度．
【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角；
【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度；
【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部．
①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）；
②经测量，，求塔刹的高度（精确到）．
《4.6 利用相似三角形测高 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案
1．A
【分析】本题考查相似三角形的应用，在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．
【详解】解：设教学大楼的高度为米，
在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，
，
解得
则教学大楼的高度为18米．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键．根据即可求得的长，进而求得树高．
【详解】解：依题意，，，
，
，
cm，cm，m，m，
，
．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知，，则，根据性质的，然后代入即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意知：，，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
故选：．
4．C
【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
根据题意得出，利用相似比即可得出古城墙的高度．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
米，米，米，
米，
该古城墙的高度是15米．
故选C．
5．B
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可列出方程．
【详解】解：若设竹竿的长度为尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意并利用相似三角形的判定与性质求解是关键．先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可．
【详解】解：，，
，
，，
解得．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知，得到，根据相似三角形的性质得到，即可求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴
解得：．
故选：C．
8．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
9．13.5
【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，从而得出的长即可．
【详解】解：过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
经检验，是上述分式方程的解，
∴，
答：旗杆的高为．
10．7.5
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解．
【详解】解：设米，则米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的长为米．
∴米，
设米，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的长为米．
11．
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：m，m，然后根据同一时刻的物高与影长成正比例可得比例式，从而进行计算即可解答．
【详解】解：如图，过点N作于点．
由题意，得，
．
又，，
，
．
故竹竿的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
解得：，
故答案为：．
13．10米
【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案；
【详解】解：，
，
，
，
，
，
米．
14．能测出树A与树B之间的距离为18米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答．
【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：能测出树A与树B之间的距离为18米．
15．凉亭的高度为
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．先证明，求出，再证明四边形是矩形，得到，即可求得答案．
【详解】解：由题意知，，，
，
，
，
，
解得，
，，，
四边形是矩形，
，
，
凉亭的高度为．
16．探索活动：北寺塔的高度为；解决问题：①见解析；②塔刹的高度为
【分析】
本题考查了图形的相似和尺规作图，解题的关键在于读懂题意，正确作图．
[探索活动]由题意知，，，可知∽，进而求解；
[解决问题]①根据题意作图即可；
②根据题意可知，∽，利用相似求解．
【详解】
解：[探索活动]由题意知，，，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
故北寺塔的高度为；
[解决问题]①如图，
②由[探索活动]同理得，，
∴，
解得，
，
故塔刹的高度为．