4.7相似三角形的性质 同步练习（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.7 相似三角形的性质
一、单选题
1．已知，且与的相似比为3，若，则为（ ）
A．2 B．4 C．9 D．18
2．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线交点上，点分别是边与网格线的交点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，与相交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，分别交于点．与四边形的面积比为．若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图，在中，，于点，若，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，则下列式子中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的中线、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．如图所示，，，，若，则 ．
9．如图，在中，正方形的两个顶点E、F在上，另两个顶点G、H分别在、上，，边上的高是10，则正方形的边长为 ．
10．如图，在中，，，，D为线段上一定点，且，则的长为 ．
11．如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ．
三、解答题
12．如图，，与交点E，连接，若，，．
(1)求的长；
(2)求证：．
13．如图，矩形中，、分别在、上，将四边形沿沿折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
(1)求证：．
(2)若P为中点，且，，求长．
14．如图，四边形是平行四边形，交于点F，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
15．如图，线段，与交于点E．
(1)求证：；
(2)过点E作，交于点F，如果，，求的长．
《4.7 相似三角形的性质 2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案
1．A
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵，相似比为3，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，解题关键是先利用网格与勾股定理求出的长度，再结合的条件，得到，再利用相似三角形的性质计算出的长．
【详解】解：在中，，
，
，，
，
，
即，
．
故选：．
3．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
先证明，再由推出，再由共高三角形面积比等于底之比求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
4．B
【分析】本题考查三角形相似的判定与性质．得到，再由相似三角形性质：面积比等于相似比的平方得到，据此计算即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
与四边形的面积的比为，
，
解得，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．A
【分析】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．
首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长．
【详解】解：中，，，
，
又于，
，
，
，
，
．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A，B，C正确，D错误．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：在中，中线、相交于点，
∴是的中位线，
∴，故①正确；
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∴，
不能证明，故②错误；
故选：B．
8．
【分析】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴
∴AD=．
故答案为：．
9．6
【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，过点作于点，交于点，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
过点作于点，交于点，如图所示：
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
即正方形的边长为6；
故答案为6．
10．15
【分析】本题考查了“勾股定理的应用”“相似三角形的性质与判定”，通过作辅助线利用到角，借助方程思想求解是解题关键．
过点C作的垂线，借助角求出垂线段的长度，利用对顶角得到相似三角形，再通过勾股定理列方程即可求出答案．
【详解】解：如图，过点C作，交的延长线与点E．
又∵，
∴是等腰直角三角形，．
在中，．
∵，，
∴．
∴，即．
∴．
∴，．
∴．
故答案为： 15．
11．24
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．先证，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：在矩形中，，是高线，
,
令交于点，
，
，
解得，，
故答案为：24．
12．(1)16
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法．
（1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果；
（2）证明，再根据，即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定及性质，解题的关键是利用折叠性质得到相等的角与边，结合相似三角形的判定定理证明相似，并利用相似性质计算线段长度．
（1）利用矩形的直角性质与折叠的角相等性质，推导角的等量关系折叠，从而证明三角形相似；
（2）先根据折叠与矩形性质设设，则，用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质计算，进而求出．
【详解】（1）证明：∵矩形中，，
∴
由折叠知，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵P为中点，且，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
解得．
∴，．
∵，
∴，，
∵，
∴．
14．(1)见解析
(2)的长为．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，平方根，解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．
（1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又由公共角，可证得；
（2）先求出，，再根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
即
∴或（不符合题意，舍去）．
答：的长为．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）由可得、，易证，再根据相似三角形的性质即可证明结论；
（2）先证明可得，进而得到，再证明可得，然后代入数据求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．