5.1投影 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

5.1 投影 同步训练
一、单选题
1．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用幕布进行表演的民间戏剧，是中国民间古老的传统艺术．在表演过程中，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定
2．下列投影现象属于中心投影的是（ ）
A．陶渊明“采菊东篱下”时，菊花在日光下的影子 B．苏轼“把酒问青天”时，酒杯在月光下的影子
C．王维“大漠孤烟直”时，归雁在落日下的影子 D．匡衡“凿壁偷光”时，书卷在灯光下的影子
3．某校的校本课程——皮影，是中国民间古老的非物质文化遗产传统艺术．在古代，皮影戏的光源通常使用一盏煤油灯，因此其投影属于（ ）
A．平行投影 B．中心投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定
4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？则竹竿的长为（ ）
A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸
5．如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）.
A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③
6．一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（ ）

A．变长 B．变长 C．变短 D．变短
二、填空题
8．匡衡“凿壁借光”借灯光读书的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”）
9．如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是 ．
10．如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应 （填“增加”或“减少”） 米．
11．如图，小明利用影长测量学校旗杆的高度，先测出小明身高，他的影长，再测出旗杆落到地面上的影长，则旗杆的高度为 ．
三、解答题
12．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙．
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；
(2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．
13．通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的投影称为中心投影． 如图，河对岸有一灯杆， 在灯光下，小明在点 D 处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长 ． 已知小明的身高为 ，求灯杆的高度．
14．如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯．
(1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；（不写作法，请保留作图痕迹，并写出结论）
(2)如果灯杆高，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度．（请写出完整的求解过程）
15．九天楼矗立于塔子山公园内，是成都市地标建筑之一、在一个阳光灿烂的午后，小明来到公园游玩，目睹了气势恢宏的九天楼，其垂直于水平地面，他萌生了测量该建筑高度的想法．他观察到阳光下建筑的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为86米，坡面上的影长为12米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米．（参考数据）
(1)求点到水平地面的距离；
(2)求小明测得的九天楼高度（结果精确到1米）
《5.1 投影 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案
1．B
【分析】本题考查中心投影，根据中心投影的特点，光源离物体越远，影子越小，进行判断即可．
【详解】解：由题意，当光源离人物剪影越来越远时，落在幕布上的皮影会逐渐变小；
故选B．
2．D
【分析】本题考查投影，中心投影的光线从一点（投影中心）发出，平行投影的光线互相平行．根据选项描述的光源类型判断是否为中心投影即可．区分中心投影和平行投影的关键是看光源：点光源产生中心投影，平行光源产生平行投影．
【详解】解：∵ 日光、月光、落日阳光均为平行光，其投影为平行投影；
∵ 灯光为点光源，其投影为中心投影；
∴ 选项D中灯光下的影子属于中心投影．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可．
【详解】解：∵皮影戏的光源是一盏煤油灯，属于点光源，
∴光线从一点发出，形成中心投影．
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了考查平行投影，根据同一地点，同一时刻物高与影长对应成比例，通过建立比例方程求解竹竿长度即可．
【详解】解：设竹竿长为x寸．
∵竹竿影长150寸，标杆高15寸，标杆影长5寸，
∴
∴
∴
故竹竿长为450寸，
故选B．
5．A
【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．太阳从东边升起，西边落下，则建筑物的影子先向西，再向北偏西、北偏东，最后向东，于是根据此变换规律可对各选项进行判断．
【详解】解：按时间先后顺序排列为③④①②．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了中心投影下的相似性质，解题的关键是确定对应线段的相似比．
【详解】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即．
已知，，则相似比为；
又，故．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题．
证明，，即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意得，，

∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
解得，
∴，
故选：A．
8．中心
【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键．
【详解】解：匡衡借用的灯光是从一点发出的，光线呈放射状，因此形成的影子属于中心投影．
故答案为：中心．
9．圆、矩形
【分析】本题考查了正投影的定义，解题的关键是掌握正投影的定义．
根据正投影的定义，确定圆锥和圆柱在平行光线下垂直投影的形状即可．
【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆；
因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形；
故答案为：圆、矩形．
10． 增加 1
【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则，
，
，
，
，
，
，
令，则，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图，
即，
，即，
，
∴光源与小明的距离应增加米，
故答案为：增加，1．
11．8
【分析】本题主要考查了平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长的比值一定可得，据此代值计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：8．
12．(1)见解析
(2)旗杆的影子落在墙上的长度为
【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确地构造直角三角形．
（1）连接，过点作的平行线即可；
（2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．
【详解】（1）解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子．
（2）过作于，
设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：，
∴，
又∵，，
，
∴，
解得：，
答：旗杆的影子落在墙上的长度为米．
13．
【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据相似三角形的判定与性质分别得出比例式，进而得出，求出，即可得到答案．
【详解】解：由题意，可知：，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
把代入，
解得：．
14．(1)见解析
(2)小亮影子的长度为
【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似，利用其相似比作为相等关系求出所需要的线段．
（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端；
（2）根据中心投影的特点可知，利用相似比即可求解．
【详解】（1）解：连接并延长交地面于点C，线段就是小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）解：在和中，
，
，
，
，
，
小亮影子的长度为．
15．(1)点到水平地面的距离为6米；
(2)小明测得的九天楼高度为米．
【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）过C作交延长线于H，根据含角直角三角形的性质求解即可；
（2）过H作交于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出的长，进而求解即可．
【详解】（1）解：过C作交延长线于H，
在中，，
∴（米）；
答：点到水平地面的距离为6米；
（2）解：过H作交于E，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形
∴米
在中，，
（米）
（米）
∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米，
∴，即
解得，
∴（米）．
答：小明测得的九天楼高度为米．