6.2反比例函数的图象与性质 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

6.2 反比例函数的图象与性质
一、单选题
1．若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B．6 C． D．
2．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数，y随x增大而增大，则a的取值范围（）
A． B． C． D．
4．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若，则
5．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数（）的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
6．下列图象中，是反比例函数的大致图象的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
8．如图，直线与轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ）
A． B．5 C． D．4
二、填空题
9．点、都在函数 图象上，则a，b的大小关系为 ．
10．若反比例函数的图象位于第二、四象限，那么a的取值范围是 ．
11．如图，点是反比例函数图象上的两点，轴于点，轴于点，连结，若点，，，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中点，的面积为5，则的值是 ．
13．已知函数，下列结论中，不正确的是 ．
（1）它的图象分布在一、三象限
（2）当时，
（3）若点在它的图象上，则也在图象上
（4）点、是图象上的两点，若，则
三、解答题
14．（）画出函数的图象．
①列表：
②描点并连线．
（）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”）
15．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8．
(1)求的值；
(2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围．
16．如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点．
(1)根据图象，直接比较的大小： （填“”，“”或“”）；
(2)若四边形的面积为，求的值．
17．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
18．已知反比例函数，其中是常数．
(1)若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求的取值范围；
(2)当取什么值时，在每个象限内随的增大而减小？
《6.2 反比例函数的图象与性质 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案
1．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象．
将代入反比例函数解析式，直接计算k的值即可．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴，
∴．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，通过将各点的x坐标代入反比例函数解析式，计算出对应的y值，然后比较大小．
【详解】解：∵点在上，∴；
∵点在上，∴；
∵点在上，∴；
∵
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在的范围内，随的增大而增大．由此建立不等式求解．
【详解】解：∵反比例函数（）中，随增大而增大，
∴，
∴．
因此，的取值范围是，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质用排除法解答．根据反比例函数 中比例系数 的性质，判断各选项的正确性即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 图象在第二、四象限内，C正确；
当 时，，
∴ 图象必经过点 ，A正确；
当 时，图象在第四象限， 随 增大而增大，且 从 趋近于 ，
∴ ，即 ，D正确；
对于B，，在第二和第四象限内， 随 的增大而增大，但选项未指定象限，表述不完整，故B不正确；
故选：B
5．A
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质；
先根据反比例函数的图象得到，再根据一次函数的图象与性质解答即可.
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限；
故选：A.
6．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象性质进行判断解答即可．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
故选：．
7．A
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形性质，熟练掌握反比例函数值几何意义是关键．
设点，则点，点，点，根据值的几何意义，可得、的值，求出的值，得到的值，即可求出k的值．
【详解】解：设点，则点，点，
点．
，在反比例函数，
．
，
．
．
．
．
点在反比例函数的图象上，
．
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质，设直线l与y轴交于点C，连接，根据平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义求出，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C，连接，
∵直线l与x轴平行，
∴，轴，
∴，
∵直线与反比例函数和的图象分别交于点和点，
∴，
∴，
故选：A．
9．/
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式得到反比例函数的函数图象在一三象限，从而根据点，所在的象限判断，的符号，即可比较其大小．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在一三象限，
∵点、都在函数的图象上，
∴点A在第三象限，点B在第一象限，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案．
【详解】解：反比例函数的图像位于第二、四象限，
，
解得．
故答案为：．
11．9
【分析】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练运用反比例函数性质是解题的关键．
先求长度，再求点坐标，进而得出函数解析式，可求得面积；
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
∴该反比例函数的表达式为：，
∴．
故答案：9．
12．
【分析】本题考查了反比例函数、三角形的面积公式和两点之间的距离，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
设点A的坐标为和为，则，先根据是的中点并结合题意，可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得k的值．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵A在反比例函数上，
∴．
∵轴，
∴，的长度为，
∵A在第二象限，
∴，．
设（，C在轴负半轴），
∵是的中点，
∴的坐标为，
∵在轴上，纵坐标为0，
∴，
∴，
∴，
∵、在y轴上，
∴．
∵是直角三角形，
∴其面积为：
，
∵面积为5，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（2）（4）
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．根据反比例函数的图象及性质，逐一判断各选项是否正确．
【详解】函数 是反比例函数，比例系数 ，
选项 (1)：由 时，得反比例函数图象分布在一、三象限，故该说法正确；
选项 (2)：当 时，则或，故该说法错误；
选项 (3)：若点 在图象上，则，可得，所以点 也在图象上，故该说法正确；
选项 (4)：取点 和 ，满足 ，但，不满足 ，故该说法错误；
故答案为：(2) （4）．
14．（）①见解析，②见解析；（）上升，变大．
【详解】（）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象；
（）根据反比例函数的图象即可求解；
本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质，正确画出反比例函数的图象是解题的关键．
解：（）①列表：
②描点并连线：
（）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当由小变大时随之变大．
故答案为：上升，变大．
15．(1)8
(2)或
【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值；
（2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8，
∴，
，
反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
；
（2），
∴反比例函数的表达式是，
∵点在该反比例函数的图象上，
，
，
点在第一象限．
分情况讨论：
①当点在第一象限时，
随的增大而减小，
当时，；
②当点在第三象限时，，
，符合题意，此时．
综上所述，的取值范围是或．
【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），已知反比例函数的增减性求参数，解题关键是理解反比例函数k的几何意义．
16．(1)
(2)4
【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，根据图形面积求比例系数（解析式），根据矩形的性质与判定求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）将两点横坐标代入函数，求出，再根据比较大小；
（2）先四边形是矩形，再说明，，然后四边形的面积为，求出的值．
【详解】（1）解：∵点，在函数的图象上，
∴，，
，
∴，
即，
故答案为：；
（2）∵轴，垂足为，轴，垂足为，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，，
∵四边形的面积为，
∴，解得：，
∴，
又在函数的图象上，
∴．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解．
（1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值；
（2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值．
【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，
点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，
，
，
，
，
，
；
（2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，
，
由（1）知，
，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
（1）根据反比例函数的性质求解即可；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
解得：；
（2）解：∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴，
∴．