6.3反比例函数的应用 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

6.3 反比例函数的应用 同步训练
一、单选题
1．矩形面积为20，则长y与宽x的函数关系图象是（ ）
A．第一象限的双曲线 B．第一象限的直线
C．第二象限的双曲线 D．全体象限的直线
2．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的值是（ ）
A． B．20 C．30 D．40
3．设反比例函数的函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
… …
… …
则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（ ）
A．点A与点B关于原点中心对称 B．
C．的周长等于的周长 D．
7．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为 ，若，则关于的函数图象是（ ）
B．
C． D．
二、填空题
8．已知反比例函数，当自变量时，函数值y的取值范围是 ．
9．小军驾驶汽车从A地去B地，他以的平均速度用了到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间的函数关系式是 ．
10．某电路的电源电压Ｕ（单位：V），电阻R（单位：Ω），电流I（单位：A）三者之间的关系为，且电源电压Ｕ恒定不变，则电阻R和电流I这两个量成 关系．
11．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，线段交反比例函数的图象于点，则的面积为 ．
12．如图①，在区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间段的平均行驶速度v（）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于．若小明的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间为，则m的值可能是 ．（写出一个m的可能的值即可）
三、解答题
13．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．
(1)求出这个函数的解析式；
(2)当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应满足什么条件？
14．如图，点，在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，连接，．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)若点P是反比例函数图象上一点，且，请求出点P的坐标．
15．某品牌热水器中，原有水的温度为20℃，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到80℃时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至30℃时，热水器又自动以相同的功率加热至80℃……重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由80℃降至30℃．
(1)求当时，水温与开机时间分钟的函数表达式；
(2)求的值；
(3)求开机45分钟时热水器中水的温度．
16．如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点B，且．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标；
(3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
《6.3 反比例函数的应用 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案
1．A
【分析】根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断即可．
【详解】解：∵ 矩形面积=长×宽，
∴ ，
此为反比例函数，图象为双曲线．
又∵ （长和宽均为正数），
∴ 函数图象仅位于第一象限．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键．
先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可．
【详解】解：由题意设关于的函数解析式为，
代入点得：，解得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了反比例函数，根据反比例函数定义，利用已知点求比例系数k，再计算各函数值，最后比较大小．
【详解】解：把，，代入，
∴，
解得，
∴ 反比例函数为，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
∵ ，
∴，
故选：A．
4．C
【分析】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
利用待定系数法求出函数表达式即可；
【详解】解：由题意设：，
把时，，代入，
得；
∴关于的函数表达式为；
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的交点问题，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线与反比例函数图象的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：由题意可知，点与点B关于原点对称，
点的坐标为，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了反比例函数与一下函数的综合，掌握反比例函数，一次函数与几何图形的交点坐标得到线段的关系是解题的关键．
由反比例函数图形课判定A选项；设，则，可得直线的解析式为，则，分别得到线段的值，结合几何图形面积，周长的计算课判定B，C，D选项，由此即可求解．
【详解】解：∵反比例函数图象关于原点对称，直线与双曲线交于两点，
∴点A与点B关于原点中心对称，故A选项正确，不符合题意；
设，则，
∵轴于点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，，
∴B，D选项正确，不符合题意；
∴，，，
∴的周长为，
的周长为，
∴，即的周长不等于的周长，故C选项错误，符合题意；
故选：C ．
7．A
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由题可得剪去的是两个一样的矩形，两个矩形的面积和为， 则有， 然后根据即可求解， 解题关键是正确的列出函数的关系式．
【详解】解：∵剪去的是两个一样的矩形，两个矩形的面积和为，
∴，
∴是的反比例函数，
∵，
∴函数图象为选项，
故选：．
8．
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数的性质，当时，在第三象限内，随的增大而减小，由，结合函数解析式求的取值范围即可．
【详解】解：对于反比例函数，
当时，函数图象在第三象限，随的增大而减小，
当时，，
因此，当时，函数值的取值范围是，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了根据实际情况列函数关系式，找准各量之间的关系是解题的关键．
先求出A地到B地的路程，再根据速度等于路程除以时间可得函数关系式．
【详解】解：由题意，A地到B地的路程为．
返回时，速度与时间满足，其中．
故答案为：．
10．反比例
【分析】此题考查了反比例关系，
根据欧姆定律，电源电压恒定下，电阻与电流的乘积为定值，故成反比例关系．
【详解】∵，且电源电压Ｕ恒定不变，
∴电流与电阻的乘积为常数，
∴电阻R和电流I这两个量成反比例关系．
故答案为：反比例．
11．
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活应用k的几何意义．
根据反比例函数k的几何意义和的面积为的面积减去的面积即可解决问题．
【详解】解：∵轴，点A是反比例函数的图象上一点，
点B是反比例函数的图象上一点，
∴，
∴，
故答案为：2．
12．0.3（满足的任意一个值即可）
【分析】本题主要考查反比例函数；由题意可设，将代入，得到，结合题意得到，即可求出结果．
【详解】解：由题意可设，
将代入得，，
∴，
∵最高车速为，
∴在最高车速下的行驶时间，
同理可得，在最低车速下的行驶时间为，
∴通过段限速区间的行驶时间m应该在之间，
∴，
∵，
故答案为：0.3(答案不唯一)．
13．(1)函数的解析式为
(2)气球内的气压是120千帕
(3)为了安全起见，气球的体积应不小于
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键；
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）将代入（1）中的函数式求即可；
（3）将代入（1）中的函数式求即可解答．
【详解】（1）解：设这个函数的解析式，则有：，
解得：，
∴这个函数的解析式；
（2）解：当时，千帕，
答：气球内的气压是120千帕．
（3）解：根据题意，当时，为安全范围，
∴，
解得，，
故为了安全起见，气球的体积应不小于．
14．(1)，点B的坐标为；
(2)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求出的面积，再利用面积公式求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得；
∴点B的坐标为；
（2）解：∵轴，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
解得或，
当时，；当时，，
∴点P的坐标为或．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间．
（1）设函数表达式，结合图象点，代入即可得到答案；
（2）反比例函数表达式为，将点代入求出m，将代入即可得到答案；
（3）先求出直线关系式，再求出时函数值即可．
【详解】（1）解：设水温与开机时间分钟的函数表达式，当时，将点，代入，得
，
解得，
∴水温与开机时间分钟的函数表达式为；
（2）设水温与开机时间分钟成反比例函数关系表达式为，
将点代入，得
，
解得，
∴反比例函数的表达式为，
当时，，
∴；
（3）当时，设直线的关系式为，
将点代入，得
，
解得，
∴直线的关系式为，
当时，，
解得，
当时，，
所以开机45分钟时热水器中水的温度是．
16．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)，
(3)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解；
（2）设一次函数的图象与轴的交点为，然后可得点的坐标为，进而联立反比例函数与一次函数解析式可得点A、C坐标；
（3）由（2）及函数图象可进行求解．
【详解】（1）解：∵轴于点，且，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）解：设一次函数的图象与轴的交点为，
令，得，
∴点的坐标为，
由，
解得或，
∴，；
（3）解：∵，，
∴根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．