第二十五章 概率初步 单元练习（含解析） 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十五章 概率初步 同步练习
一、单选题
1．元旦游园晚会上有一个闯关活动：将20个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，5个黄色，5个绿色，2个红色．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（ ）
A．黄色 B．绿色 C．白色 D．红色
2．下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视，正在播放动物世界
B．转动抽奖转盘（转盘分为“谢谢参与”与“小礼品”两区），停下一定能转到“小礼品”
C．从装有黑球和红球的不透明口袋中任意摸一个球，摸不到黄球
D．经过红绿灯路口时，遇到红灯
3．掷一枚质地均匀的硬币 5 次，其中 2 次正面朝上，3 次反面朝上，现再掷一次，这一次正面朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
4．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首发球者，其主要原因是（ ）
A．让比赛更富有情趣 B．让比赛更具有神秘色彩
C．体现比赛的公平性 D．不知道什么原因
5．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2
C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
6．人类的遗传病主要由亲代传递给子代．了解其遗传规律与子代的发病风险，对于开展遗传咨询与产前诊断、有效预防遗传病患儿的出生具有重要意义．白化病是一种遗传病，它是一种隐性性状，已知A是正常基因，a是白化病基因，如果母亲和父亲都携带成对基因，那么他们生育一个孩子，表现正常的概率是（ ）
A． B． C． D．1
7．篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果：
投篮次数/次 10 50 100 150 200
命中次数/次 8 39 81 120 160
命中率 0.80 0.78 0.81 0.80 0.80
根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（ ）
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
8．夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（ ）
A．夏天射击次，不一定会命中环
B．夏天射击次，一定不会命中环
C．夏天射击次，一定有次命中环
D．夏天射击次，一定能命中环
9．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球有5个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2，那么可以推算出a大约是（ ）．
A．25 B．20 C．15 D．10
10．如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球大约有 个．
12．一个不透明的盒子中有红球m个，白球15个，绿球n个，三种球除颜色外都相同，从中任取一个球，若取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是
13．某果园猕猴桃喜获丰收．如图①，矩形种植区域的长为50m，宽为30m，阴影部分种植的是“翠香猕猴桃”，其他则为普通猕猴桃．小明为了知道“翠香猕猴桃”的种植面积，在矩形种植区域内部随机采摘进行检测，经过多次重复的抽取检测，“翠香猕猴桃”出现的频率记录如图②所示．依此估计“翠香猕猴桃”的种植面积约为 ．
14．若向如图所示的正方形游戏板投掷一次飞镖（假设飞镖落在游戏板上，且落在游戏板上任何一点的机会均等），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
15．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ．
三、解答题
16．“双减”背景下，教育部门对课后作业作了明确的要求，为了解某学校七年级学生课后作业时长情况，对该校七年级抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果分四类显示：A表示“30分钟以内完成”，B表示“30－60分钟以内完成”，C表示“60－90分钟以内完成”，D表示“90分钟以上完成”．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)这次调查的总人数是______人；B类所占的百分比是______；在扇形统计图中，C类扇形圆心角的度数是______；
(2)在A类学生中，有2名男生和4名女生，再需从这6名学生中抽取2名学生作进一步访谈调查，请用树状图或列表的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
17．强身健体，竞技体育．为此某校举行了一场秋季运动会，其中男子组跑步比赛将进行A．100米，B．200米，C．800米，D．米接力．为了了解学生对这四个比赛项目的关注程度，随机对部分学生进行了问卷调查（参与问卷调查的每位学生只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成不完整的统计表和扇形统计图．
学生关注的比赛项目人数统计表
比赛项目 A B C D
关注人数 56 40 a b
(1)填空：_____，_____；
(2)若当天观看比赛的学生有800人，试估计当天观看比赛的学生中关注哪个比赛项目的人数最多，大约有多少人；
(3)为了维护比赛当天的秩序，学校派出4名志愿者（2男2女）对比赛赛道进行执勤．若在4名志愿者中任意抽取2名志愿者安排在同一赛道执勤，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到的2名志愿者性别相同的概率．
18．数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上．
(1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______．
(2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平 （注：水果是卡片D，E）
19．2025年重庆荣昌举行了“千年荣昌，龙舟争渡”为主题的龙舟赛．共有29支队伍参加比赛．比赛设置男子组、女子组，其中男子组将进行A：100米直道竞速赛，B：200米直道竞速赛，C：500米直道竞速赛，D：3000米绕标赛．为了了解市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
比赛项目 A B C D
关注人数 56 40 a b
(1) ， ，D所在扇形圆心角的度数为 ；
(2)若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看比赛的市民中关注哪个比赛项目的人数最多？大约有多少人？
(3)为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，荣昌交警支队派出4名交警（3男1女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到一男一女的概率．
20．某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：
（数据分成4组：，，，）
b．初中部20名学生所评分数在这一组的是：
8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表：
平均数 中位数
小学部 8.3 8.5
初中部 8.3 m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________；
(2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数；
②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率．
《第二十五章 概率初步 同步练习2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C C A C A A C
1．C
【分析】本题考查根据概率判断可能性.
求出概率，进行判断即可．
【详解】解：将20个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，5个黄色，5个绿色，2个红色，
则摸到球的颜色是白色的概率为；
则摸到球的颜色是黄色的概率为；
则摸到球的颜色是绿色的概率为；
则摸到球的颜色是红色的概率为；
可知摸到球的颜色是白色的概率最大.
故选：C．
2．C
【分析】此题考查了必然事件，必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．选项C中口袋没有黄球，因此摸不到黄球是必然的．
【详解】A．打开电视可能播放其他节目，不是必然事件；
B．转盘可能转到“谢谢参与”，不是必然事件；
C．口袋中只有黑球和红球，没有黄球，∴ 摸不到黄球是必然事件；
D．可能遇到绿灯或黄灯，不是必然事件．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了概率．硬币质地均匀，每次掷硬币是独立事件，每次掷硬币的正面朝上的概率恒为，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：∵硬币质地均匀，
∴每次掷硬币正面朝上的概率均为，且各次掷硬币相互独立，
∴再掷一次正面朝上的概率为，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查的简单随机事件的概率，掷硬币是一种随机事件，正面和反面出现的概率相等，均为，从而确保双方机会均等，体现公平性．
【详解】∵抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的可能性相同，概率均为，
∴这种方法使比赛双方在场地和发球权的选择上具有同等机会，因此主要原因是体现比赛的公平性．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解．
【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，
A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意；
C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意；
D、同时掷两枚质地均匀的硬币，
共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意；
故选：C
6．A
【分析】本题考查了用列举法求概率，掌握通过列表找出所有结果是解题的关键．
现根据父母的基因列表，根据表格出现的结果分析正常的概率．
【详解】解：根据题意，列表如下，
A a
A AA Aa
a aA aa
观察表格可知，共有4种等可能的遗传结果，表现正常的占其中三种（），
生育一个孩子，表现正常的概率为．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查由频率估计概率，读懂题意是解决问题的关键．
根据频率估计概率的原理，当试验次数较大时，频率稳定于概率，因此，计算总命中次数与总投篮次数的比值作为估计值，即可得到答案．
【详解】解：当试验次数较大时，频率稳定于概率，由篮球队的队员张辰投篮的统计结果可知，命中率在附近波动，则估计张辰一次投篮命中的概率是，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查概率的基本概念，主要涉及对用频率估计概率的理解，以及随机事件概率与事件发生可能性之间的关系．理解概率是描述事件发生可能性的度量，而不是确定某次或某几次试验结果的依据．概率为并不意味着在特定次数的试验中，事件一定会按照概率比例发生．根据概率的定义和性质，对每个选项进行分析判断．概率表示一个事件在大量重复试验中发生的可能性大小，但对于单次试验或有限次试验，实际结果具有不确定性，不能根据概率值确定必然会出现某种结果．
【详解】解：选项A：夏天命中环的概率为，这意味着射击次时，命中环是一个随机事件，有可能发生，也有可能不发生，所以不一定会命中环，该选项符合题意．
选项B：虽然命中环的概率是，但射击次仍有的可能性命中环，不是一定不会命中环，该选项不符合题意．
选项C：夏天射击次，命中环的次数是不确定的随机事件．虽然概率为，理论上平均可能命中次，但实际射击中不一定恰好有次命中环，该选项不符合题意．
选项D：射击次，命中环是随机事件，不是必然事件，不一定能命中环，该选项不符合题意．
故答案为：A．
9．A
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于概率．根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在0.2，即概率为0.2，利用概率公式建立方程求解．
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在0.2，
∴摸到红球的概率约为0.2，
∴，
解得，
因此，a大约是25．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数．
【详解】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：
第二次 第一次 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12．
两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，；
两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，；
两次掷得的点数之和为12的结果有1种：，
所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）．
因此，棋子回到点A处的概率为．
故选：C．
11．12
【分析】本题考查频率估计概率， 已知概率求数量，掌握知识点是解题的关键．
根据频率估计概率，红球的概率稳定在，利用概率公式计算红球个数．
【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右，
∴摸出红球的概率约为．
∴袋子中红球大约有（个）．
故答案为：12．
12．
【分析】此题考查了概率公式的应用．
根据取得白球的概率与不是白球的概率相等求解即可．
【详解】∵一个不透明的盒子中有红球m个，白球15个，绿球n个，
∵取得白球的概率与不是白球的概率相同，
∴白球的个数和不是白球的个数一样多，
∴．
故答案为：．
13．600
【分析】本题考查了频率估计概率和矩形面积的知识点，解题关键是理解频率估计概率的思想，利用频率稳定值来估计概率，进而求解相关面积．
先根据矩形面积公式求出种植区域的总面积，再利用频率估计概率的思想，由频率稳定值得到翠香猕猴桃种植面积的频率，进而求出其种植面积．
【详解】解：矩形种植区域的总面积：．
观察图②可知，随着抽取次数的增加，“翠香猕猴桃”出现的频率稳定在左右，根据频率估计概率的思想，可认为“翠香猕猴桃”种植面积的频率为．
∴“翠香猕猴桃”的种植面积为：．
故答案为：．
14．
【分析】此题考查几何概率，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，求解即可．
【详解】解：根据题意，阴影部分面积占整个游戏板面积的，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
15．3
【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比．
先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的．
【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率：
若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符．
若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近．
若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符．
其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合．
因此，正整数的值最可能是3．
故答案为：3．
16．(1)40；；
(2)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）类人数除以所占的比例求出总人数，类人数除以总人数求出所占的百分比，类人数所占的比例求出圆心角的度数；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：（人）；
；
故答案为：，，；；
（2）设2名男生为、，4名女生为、、、，列表为：
共有30种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果数为16，
所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为：．
17．(1)24，80
(2)关注比赛项目D的人数最多，大约有320人；
(3)．
【分析】本题考查了频率分布表，扇形统计图以及列表法或树状图法求解概率，解题的关键是理解题意，读懂统计图表以及掌握树状图或列表法求解概率．
（1）根据题意可得，关注比赛项目A的人数为56，占比为，可以求调查学生的人数，再根据关注比赛项目C的人数所占百分比，求得关注比赛项目C的人数，即可求解；
（2）根据题意可得，关注比赛项目D的人数最多，求得比赛项目D的所占百分比，求解即可；
（3）列出表格，求得所有结果总数以及到的2名志愿者性别相同的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，关注比赛项目A的人数为56，占比为，
则调查的部分学生人数为，
关注比赛项目C的人数所占百分比，则人数为，
关注比赛项目D的人数为：，
故答案为：24，80；
（2）解：∵，
则关注比赛项目D的人数最多，
则当天观看比赛项目D的人数大约为，
答：当天观看比赛项目D的人数大约为人；
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
由表可知，共有12种等可能结果，其中2名志愿者性别相同的结果有4种，
∴恰好抽到的2名志愿者性别相同的概率为．
18．(1)
(2)这个游戏不公平，见解析
【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的简单计算是解题的关键，
（1）利用概率的计算即可得到答案；
（2）根据题意画出树状图，分别计算出小轩赢或小辉赢的概率，然后比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由概率公式可得，抽到的是“高陵果子”的概率是：，
故答案为：．
（2）解：由题可得树状图如下：
小轩赢的情况为：“两张非水果”的概率为：，
小辉赢的情况为：“至少有一张水果” 的概率为：，
∵，
∴这个游戏不公平．
19．(1)；；
(2)当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，为人
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法、频率分布表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式．
（1）首先求出部分市民的人数为，根据米直道竞速赛人数所占的百分比求得，根据题意即可得到结论；
（2）根据扇形统计图即可得到结论；
（3）设3名男性交警用，，C表示，1名女性交警用表示，根据题意即可画树状图，进而求出恰好抽到的一男一女的概率．
【详解】（1）解：部分市民的人数为（人），
（人），（人），
所在扇形圆心角的度数为；
故答案为：；；；
（2）解：根据扇形统计图可得当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，
（人），
答：当天观看比赛的市民中关注3000米绕标赛的人数最多，为人；
（3）解：设3名男性交警用，，C表示，1名女性交警用表示，
根据题意，画树状图如下：
由图可知：共有12种等可能的结果，符合条件的结果有6种，
所以恰好抽到的两名交警是一男一女的概率为：．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）根据平均数、中位数的定义和计算方法进行计算即可；
（2）①利用样本估计总体即可；②先画出树状图，展示从人中任选人所有等可能的结果，再找出调查结果一致为“非常满意”的结果数，然后根据概率公式计算概率即可．
【详解】（1）解：调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是：
（分），
将抽取的初中部的20名学生的评分从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分），
表中的m值为，
故答案为：，；
（2）解：①（人），
若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数约为人；
②从小明、小强、小琪人中任意选择人，所有等可能出现的结果如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中调查结果一致为“非常满意”的结果有种，
调查结果一致为“非常满意”的概率．
【点睛】本题主要考查了求平均数，求中位数，频数分布直方图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握平均数、中位数、频数分布直方图的概念及列表法或树状图法求概率是解题的关键．