人教版九年级数学上册22.1.4 二次函数y=ax2 bx c的图象和性质 题型分类练习（含解析）

22.1．4《 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
题型一、把一般式化成顶点式
1.将二次函数化为的形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.将二次函数化为的形式为（ ）
A． B．
C． D．
3.将二次函数化为的形式，结果为(　　)
A． B．
C． D．
题型二、画二次函数y=ax2+bx+c的图象
1．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … 0 1 …
y … 0 0 …
(1)这个二次函数的解析式是 ；
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象．
2.已知抛物线．
x 0 1 2 3
y 0 0
(1)求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图象．
3.已知二次函数．
... ...
... ...
(1)将化成的形式；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．
题型三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，取最大值2 D．当时，随的增大而增大
2.下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
A．对称轴为直线 B．当时，
C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4
3.对于二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线
C．当时，的最大值为21
D．将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为
题型四、根据二次函数的图像判断系数符号
1.二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4.如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题
1.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
2.在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　
A．B．C． D．
4.当时，和大致图像可能是（　）
A． B． C． D．
题型六、待定系数法求二次函数解析式
1.选择最优解法，设出下列二次函数的表达式：
（1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ．
（2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ．
（3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ．
2.根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象过点，顶点坐标为．
(2)已知图象经过点，，且对称轴为直线．
3.求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)图象经过点，和；
(2)图象顶点坐标为，且经过点．
题型七、根据二次函数的对称性求函数值
1.若抛物线经过和两点，则 ．
2.当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为 ．
3.已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ．
题型八、利用二次函数的对称性求最短路径
1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ．
2.如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是 ．

3.如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．

题型九：二次函数的对称问题
1.如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ．
2.二次函数，当和时，的值相等．
（1） ；（用含有的式子表示）
（2）无论为何值，二次函数与交于点，当时，总存在随的增大而减小，则代数式的最小值为 ．
3.已知抛物线经过点，，
（1）抛物线的对称轴为 ；
（2）点，在抛物线上，且，则t的取值范围是 ．
题型十、二次函数压轴问题（线段、周长、面积、四边形）
1.已知抛物线交轴于点，，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标．
2.如图，已知二次函数过点，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
3.如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)若，求点的坐标．
4.如图1，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若点P是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点Q，当最大时，在抛物线对称轴上找一点M，使的值最小，求出此时点M的坐标；
(3)若点P在直线上的运动过程中，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
题型一、把一般式化成顶点式
1.A
【详解】解：∵，即，
故选：A．
2.D
【详解】解：
故选：D．
3.D
【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵二次函数为，
∴二次函数化为顶点式为．
故选：D．
题型二、画二次函数y=ax2+bx+c的图象
1.（1）解：设二次函数解析式为，
把代入得，
，
解得
∴二次函数的解析式是．
故答案为：；
（2）解：描点，连线，如图．
2.（1）解：∵，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为，
令，则，抛物线与y轴交点为，
令，则，，
∴抛物线与x轴交点为和．
（2）列表如下：
x 0 1 2 3
y 0 0
画图如下：
3.（1）解：；
（2）列表：
描点、连线，
如图，
题型三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.D
【详解】解：，
∵，
∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意；
∴抛物线的对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴当时，取最大值2，故选项C正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
2.C
【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等，
∴函数的对称轴为：直线，故A错误；
∵，当时，，
∴当时，，故B错误；
∵数据从到1对应的y值不断增大，
∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，随的增大而增大，故C正确；
∴函数有最大值4，故D错误．
故选：C．
3.D
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故A、B说法正确，不符合题意；
∴当时，y随x增大而增大，
当时，，
∴当时，的最大值为21，故C说法正确，不符合题意；
∵原抛物线顶点坐标为，
∴将原抛物线的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为，即，故D说法错误，符合题意；
故选：D。
题型四、根据二次函数的图像判断系数符号
1.D
【详解】解：根据图像可知，开口向上，对称轴，，图象过，，
图象开口向上，，，，
图象交轴的负半轴，
，
；故①错误；
，，
∴-b<2a，
，故②正确；
图象过，，
，，
，，，故③正确；，，
，，故④正确；
2.C
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴，，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，
∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为，
由函数图象可得时，，
∴，故②正确；
时，，
，
，即，故③错误；
∵对称轴是直线，
∴若，即时，故④正确．
综上所述，正确的选项是①②④，共3个．
故选： C．
3.D
【详解】解：①，，，
，错误；
②由图象可知：对称轴为直线，且，
，正确；
③由图象可知：当时，
，
又当时，，
；
与相加得，
，正确；
④，
，
又，
，正确．
综上，正确结论的序号是②③④．
故选：D．
4.C
【详解】解：①因图象开口向下，可知：；
又∵对称轴为直线，
∴，整理得：，即a、b同号．
由图象可知，当时，，
又∵对称轴为直线，可知：当时，；
即；
∴，故①正确．
②由①得：．
代入原解析式得：；
由图知，当时，，即，
∴，故②正确．
③∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确．
④设，则，
∴两边加c得到，
∴不等式左侧为时的函数值为最大值，右侧为时的函数值，则不成立，故④错误．
综上，①②③正确，共3个．
故选：C．
题型五、一次函数、二次函数的图像综合问题
1.A
【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意；
、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意；
、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意；
、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意；
故选：．
2.C
【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意；
D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C．
3.B
【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误；
B、函数中，，，中，，，故B正确；
C、函数中，，，中，，，故C错误；
D、函数中，，，中，，，故D错误．
故选：B．
4.C
【详解】解：A、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴应为，该选项图像错误，不符合题意；
B、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴，该选项图像错误，不符合题意；
C、由一次函数的图像可知a>0,b<0，而二次函数图像开口方向和对称轴位置均正确，符合题意；
D、由一次函数的图像可知a<0,b>0，而二次函数的图像开口向上，即，故图像错误，不符合题意．
故选：C．
题型六、待定系数法求二次函数解析式
1.【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点，
∴可设抛物线的表达式为；
故答案为：；
（2）∵抛物线的顶点坐标，
∴可设抛物线的表达式为；
故答案为：；
（3）∵二次函数有最大值6，
∴可设抛物线的表达式为．
故答案为：．
2.（1）解：∵顶点坐标为，
∴设函数解析式为，
∵函数经过点，
∴，
解得，
∴函数解析式为；
（2）解：设函数解析式为，
∵经过点，，
∴，
解得，
∵对称轴为直线，
∴，整理可得，
联立，
解得，
∴函数解析式为．
3.（1）解：由题意，设二次函数的表达式，
把，和代入得：，
．
二次函数的表达式．
（2）解：由题意，设抛物线的解析式为：，
把代入解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
题型七、根据二次函数的对称性求函数值
1.
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，
，解得．
故答案为： ．
2.
【详解】解：由抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当或时，代数式的值相等，
∴当或时，抛物线的函数值相等，
∴以a、b为横坐标的点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，
即时，代数式的值为．
故答案为：．
3.或
【详解】解：由题意，∵，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵抛物线过，
∴对称轴是直线．
又∵，且抛物线过，
∴．
∴．
①当时，，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，，
∴无解；
综上所述，或．
故答案为：或．
题型八、利用二次函数的对称性求最短路径
1.
【详解】解：令，则，
解得，，
，，
抛物线的对称轴为：
点的横坐标为：
当 时， ；
设直线解析式为，
则，
解得，
由抛物线的对称性可知：
∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小，
将 代入得：
故此时点的坐标是
故答案为：．
2.
【详解】解：点是抛物线与轴交点，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
，
，
抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
令，则，
解得或，
点的坐标为，
取，连接，，，

，
又，
四边形是平行四边形，
，
点，关于直线对称，
，
，
当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，
，
四边形的最小值为．
故答案为：．
3.
【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，

设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线经过、，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点M坐标为，
故答案为：．
题型九：二次函数的对称问题
1.1
【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为，
对称轴是直线．
又图象与x轴的一个交点的横坐标是，
二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：．
故答案为：1．
2. 3
【详解】解：（1）由题意可知，
解得；
（2）令，
可得，
若和无关，则，
此时，即点的坐标为．
当时，总存在随的增大而减小，
，解得，
而，
故当时，代数式有最小值3，
故答案为：，3．
3. 直线
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线；
故答案为：；
（2）∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵点，在抛物线上，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：．
题型十、二次函数压轴问题（线段、周长、面积、四边形）
1.（1）解：将点，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的解析式为，顶点坐标为；
（2）解：令，得，
点．
设直线的函数解析式为．
把点，代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
设点，则点，
．
，
当时，的长度最大，
此时点的坐标为．
2.（1）将点，代入
得，，
解得，，
∴二次函数的解析式为；
（2），
由平移规律得平移后的解析式为，
∴顶点为；
（3）当时，，
解得：，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵顶点为，
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴，
解得，或，
∴或．
3.（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解∶如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，，
∵、，，
∴，，，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或．
4.（1）解：∵抛物线交y轴于点，则，
再把代入抛物线，得：，
解得：，
所以抛物线的函数表达式为．
（2）解：设直线的解析式为，
则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，最大为，此时，
当时，，
解得：或1，即
设直线的表达式为，代入B、Q两点坐标，
得，
解得，
∴直线的表达式为，
∵抛物线的对称轴为直线，把代入，得，
∴M点坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
由抛物线的对称轴为直线、、 ，
设，
∴，
①当时，即，
得，
解得：，
∴P点坐标为或；
②当时，即，
得，
解得或1（舍去），
∴P点坐标为；
③当时，易知P点的横坐标为，
代入中得，
∴P点坐标为．
综上，P点坐标为或或或．
5.（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵抛物线，与轴交于，两点与轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在点，理由如下，
∵，，
∴设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∵点在直线上，
∴设，
∵点为直线右侧抛物线上一点，
设，
由抛物线的函数表达式为，
∴，
∴当时，，
∴，
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为边时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点；
当为对角线时，四边形为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得：，
解得：或（舍去），
∴点，此时与点重合；
综上可知：点的坐标为或或．