22.1．4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质同步练习（含详解）2025-2026学年人教版九年级上册数学

22.1．4《 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》同步练习
一、单选题
1．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大
3．二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8
4．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A．B．
C．D．
5．已知二次函数中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点，，在函数的图象上，当，时，则的大小关系是（ ）
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 2 …
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
7．若二次函数的图象经过、、、、， 则的大小关系是( )
A． B． C． D．
8．二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为（ ）
A．8 B．10 C． D．
二、填空题
10．已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为 ．
11．已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是 （填序号）．
12．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为
13．已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 填序号
14．如图，抛物线与交于点过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：
①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中，结论正确的是 （填写序号即可）
三、解答题
15．已知二次函数经过点、．
(1)求二次函数的解析式；
(2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
16．下表是二次函数的部分，的对应值：
… 0 1 2 3 …
… 2 …
(1)的值为___________，在直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)当时，的取值范围是______________；
(3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于二次函数的值，直接写出的取值范围．
17．已知抛物线（b，c为常数）的图象经过点和．
(1)求抛物线的表达式及对称轴．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且，求t的值．
(3)将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的和为12，求m的值．
18．如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出时x的取值范围．
19．如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)若为该抛物线上一动点（与点不重合）．
①当点在直线的下方运动时，求面积的最大值；
②在①的条件下，连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标．
参考答案
一、单选题
1．C
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴左侧随的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
故选：C．
2．D
【详解】解：二次函数为，
∵，
∴函数图象开口向下，故A错误；
∵二次函数的顶点为，且开口向下，
∴y有最大值是3，故B错误；
根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误；
∵对称轴为，且开口向下，
∴当时，y随x增大而增大，故D正确；
故选：D ．
3．D
【详解】解：将二次函数转化为，
又∵二次函数的顶点坐标为，
∴，
∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标是，
∴
，
∴二次函数的解析式为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是4，故选项B错误；
∵，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
将代入解析式得
，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8，故选项D正确，
故选D．
4．C
【详解】解：A、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意；
C、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，故本选项符合题意；
D、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．B
【详解】解：将点，代入得：，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴这个二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
∴当时的函数值与当时的函数值相等，
∴点在这个二次函数的图象上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵二次函数的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
∵点，，都在这个二次函数的图象上，且，
∴，
故选：B．
6．C
【详解】解：二次函数图象开口向下，
，
对称轴，
，，故C选项正确；
二次函数图象与轴的交点在轴上方，
，
，故A选项错误；
当时，，
，即，故B选项错误；
二次函数图象与轴有个交点，
，故D选项错误；
故选：C ．
7．D
【详解】解：∵二次函数的图象经过、，
∴二次函数的对称轴为直线：，
∵，
∴二次函数开口向上，
∴、、与对称轴之间的距离中，最远，最近，
∴，
故选：D．
8．A
【详解】解：∵，在二次函数图象上，
∴，两点关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∵，在二次函数图象上，
∴，，
∴，
∴，
∵在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．B
【详解】解：点在抛物线上，
把代入，得，
解得，
抛物线表达式为．
设（ ），
点，关于轴对称，
．
过点作轴垂线交抛物线于，则；过点作轴垂线交抛物线于，则．
∴，，
∴，．
四边形周长，
．
∵上述函数中二次项系数，开口向下，对称轴为直线．
∴当时，．
故选： ．
二、填空题
10．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向下，
∴图象上的点离对称轴越远则的值越小，
∵，，，，
∴，
故答案为：．
11．①②③
【详解】解：观察函数图象，开口向上，
∴，
故①符合题意；
观察函数图象得抛物线与轴的交点坐标为，
∴，
故②符合题意；
∵抛物线关于对称，
∴
∴
∴
故③符合题意；
观察函数图象得抛物线与轴的一个交点坐标为，
∵抛物线关于对称，
∴
即抛物线与轴的另一个交点坐标为，
把代入，得，
即
故④不符合题意；
故答案为：①②③
12．
【详解】，
抛物线的开口向上，顶点坐标为，
当时，有最小值，
的最小值为．
∵是矩形的对角线，
∴，
的最小值为．
故答案为：．
13．①④
【详解】解：由题图知，，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故正确；
对称轴为直线，
，即，
，故错误；
当时，，
，故错误；
当时，，对称轴为直线，
当时，，
，故正确．
故答案为：①④．
14．①②④
【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，的值总是正数，故本结论正确；
②把代入抛物线得，解得，故本结论正确；
③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，，故，故本结论错误；
④∵抛物线与交于点，
∴的对称轴为，的对称轴为，
∴
∴，
∴，故本结论正确．
故正确的结论为：①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题
15．（1）解：将、代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：，
∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线．
16．（1）解：将代入，得，
解得，
∴，
当时，，
故答案为：2；
描点并连线可得二次函数的图象：
；
（2）解：∵二次函数图象开口向上，对称轴，
∴当时，二次函数有最小值，
∴y的取值范围是，
故答案为：；
（3）解：当时，二次函数的函数值，且随着x的增大y增大，
对于一次函数，当时，随着x的增大y也增大，，
故要满足题意，则，解得．
17．（1）解：已知抛物线 的图象经过点和，将这两点代入抛物线方程，可得，
解得：，
所以抛物线的表达式为，
对称轴为直线；
（2）解：令y=0，则
解得 1，
所以抛物线与x轴的交点为和．
因为过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
所以B，C两点的纵坐标为t，即，
解得，
所以，
因为，所以，
解得或．
（3）解：将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，得到
新抛物线的对称轴为：，则当时，y随x的增大而增大，
当 时，y的最大值为 ，
y的最小值为 ，
因为y的最大值与最小值的和为12，
所以
解得或（舍去）．
18．（1）解：把代入，可得
解得，
所以二次函数解析式为，展开得．
当时，，
所以．
二次函数的对称轴为直线，
因为点与关于对称轴对称，
所以．
把，代入，可得
解得，，
所以一次函数解析式为．
（2）解：∵，，
∴由图象可知，时的取值范围是或．
19．（1）解：将两点分别代入，
得，解得，
该抛物线的函数解析式为．
（2）解：①如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，．
设直线的函数解析式为．
将两点分别代入，得，
解得，
直线的函数解析式为．
设点，则点，
，
，
，且，
当时，的面积有最大值，最大值为．
②由（1）易知，抛物线的对称轴为，
，
∵，
∴，
设点，
∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，
∴，或，
当点在抛物线对称轴右侧时，，
，
，
，，或．
当点在抛物线对称轴左侧时，，
，
，
，，或与点在直线的下方矛盾，应舍去．
所以，点的坐标为或．