22.2二次函数与一元二次方程试题人教版（含详解）2025-2026学年人教版九年级上册数学

22.2《二次函数与一元二次方程》
题型一、抛物线与x轴或y轴的交点
1.二次函数的图象与轴交点的坐标是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2.抛物线与y轴交点的坐标为 ，与x轴交点的坐标为 ．
3.抛物线与轴的一个交点的坐标为，则与轴的另一个交点坐标是 ．
题型二、比较函数值的大小或代数的值
1.已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ）
A．24 B．6 C．31 D．19
2.已知点在抛物线上，则的由大到小关系是 ．
3.如图，抛物线与轴正半轴只有一个交点，与轴平行的直线交抛物线于、，交轴于点．
①若抛物线经过，则 ．
②若，则 ．
题型三、图像法确定一元二次方程根的近似解
1.已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：
判断方程的一个解的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2.如表是代数式的部分值的情况．
1.1 1.2 1.3 1.4
－0.59 0.84 2.29 3.76
根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.已知二次函数中部分和的值如下表所示：
则方程的一个较大的根的范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、图解法解一元二次不等式
1.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
2.已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
3.如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）
A．， B．不等式的解集是
C． D．方程的解是，
题型五、由不等式求自变量或函数值的范围
1.如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
2.如果都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围（）
A．或 B．或
C．或 D．或
3.已知二次函数的图象与x轴有两交点，当且该函数图象与轴两交点的横坐标，满足：，时，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
题型六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根
1.已知二次函数图象的一部分如图所示，点在该函数图象上，其对称轴为直线．则当时，自变量的取值范围正确的是（ ）
A． B．或 C． D．
2.二次函数（）的部分图象如图，图象过点，下列结论：
①；②；③，④若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（ ）

A． B．
C． D．
题型七：截线长问题
1.二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为 ．
3.如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x轴交于，D两点．若，，四边形的面积为，则 ．
题型八、二次函数与一元二次方程的综合
1.已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是 ．（请用含字母m的代数式表示）
2.已知二次函数．
(1)若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标；
(2)若，
①求证：二次函数的图象和轴有两个交点；
②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值．
3.已知顶点为的抛物线经过点，且与轴交于，两点（点在点的右边）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围．
4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与抛物线交于坐标轴上的，两点，是直线上一动点(不与点A，C重合)．
(1)求，的值；
(2)将点向上平移个单位长度，得到点．若抛物线与线段有公共点，求点横坐标的取值范围．
参考答案
题型一、抛物线与x轴或y轴的交点
1.A
令，解方程求出x的值，即可得得答案．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴二次函数的图象与轴交点的坐标是的图象与轴交点的坐标是，，
故选：A．
2. ，
【详解】当时，，
抛物线与y轴交点的坐标为；
当时，由解得，，
抛物线与x轴交点的坐标为，；
故答案为：；，．
3.
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵抛物线与轴的一个交点的坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，
故答案为：．
题型二、比较函数值的大小或代数的值
1.C
【详解】解：抛物线经过点，
故选：C ．
2.
【详解】解：将分别代入得，，，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3.
【详解】解：①抛物线与轴只有一个交点，则，
抛物线过点，则，
故，解得舍去正值，
故，
故答案为；
②抛物线与轴只有一个交点，则，
设，、点的横坐标分别为、，
则：、，
当时，，
则：，，
，
解得：，
即，
故答案为：．
题型三、图像法确定一元二次方程根的近似解
1.D
【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，
即这个数是的一个根，
的一个解的取值范围为．
故选：．
2.B
【详解】解：由表格可知：时，，
当时，，
∴当，存在一个x的值使，
∴关于x的方程的一个解x的范围是；
故选：B．
3.C
【详解】解：由表格数据可得：
∵函数的对称轴为直线，
当时，；当时，；
∴的较小的根的范围为，
∴的较大的根的范围是．
故选：C．
题型四、图解法解一元二次不等式
1.D
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴直线与抛物线交于点，两点，
图象如图所示，
当时，，
∴的解集是，
故选：D．
2.B
【详解】根据图象可得，，则的取值范围是，
故选：B．
3.B
【详解】解：由图象得：，，对称轴是，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是，
∴另一个交点，
∴不等式的解集是，故B错误，符合题意；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
∴，故C正确，不符合题意；
∵函数图象与x轴的两个交点为和，
∴方程的解是，，故D正确，不符合题意；
故选：B．
题型五、由不等式求自变量或函数值的范围
1.B
【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，
则当时，x的取值范围为或．
故选：B．
2.B
【详解】解：∵关于对称轴对称，
，
∴，且在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∵抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线，
∴此交点关于对称轴的对称点为，
∵且，
∴，
解得：，
当都在对称轴左边时，
∵，
∴，
解得：，
∴，
当分别在对称轴两侧时，
∵
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，或，
故选：B．
3.B
【详解】解：当时，，即二次函数开口向上，
∵，
∴当时，；当时，，
∴，解得：，
∵，
∴当时，；时，，
∴，解得：，
∴．
故选：B．
题型六、由二次函数图像确定对于一元二次方程的根
1.D
【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线，且，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为，
由二次函数图象性质可知，
当函数值时，
自变量x的取值范围是．
故选：D．
2.C
【详解】解：根据图象过点，对称轴为直线，设抛物线与x轴的另一个交点为，
则，
解得，
故图象过点，
故抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不同的实数根，
故，即，故①正确，
∵二次函数开口向下，
∴，
∵对称轴在x轴的正半轴上，
∴,
∴，，
∴,
故②正确；
根据抛物线的性质，得时，，
∴，
∴,
故③错误；
由抛物线的顶点坐标为，，
故该二次函数的最大值为4，即直线与抛物线有唯一交点，
由，
故直线与抛物线无交点，即方程没有实数根．
故④正确；
故选：C．
3.B
【详解】解：依题意得二次函数的抛物线开口向下，图象的对称轴为，
而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即
又∵对称轴为，
则抛物线与轴的另一个交点在与之间，即一元二次方程的其中一个解的范围是，
故选：B．
题型七：截线长问题
1.D
【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，，
关于x的方程的解为，，
故选：D．
2.
【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为：，
令，即，
解得：，
∴,
∴，
∴,
故答案为：．
3.
【详解】四边形是梯形，下底，高为3，
由，得，设，，
则，，
∵，
∴．
∴．∴①，
又顶点纵坐标②，
①÷②，得，
∴，
故答案为；
题型八、二次函数与一元二次方程的综合
1.
【详解】因为二次函数的图象的顶点的横坐标是1，
所以抛物线对称轴所在直线为，交x轴于点C，
所以B，C两点关于对称轴对称，
因为点，且点B在点C的左侧，
所以，
故答案为：
2.（1）解：∵，且二次函数象经过点，
∴，解得，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）①证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴二次函数的图象和轴有两个交点；
②∵点在该二次函数图象上，
∴，
∵，
∴，则，
∵当时，的最小值是，
∴当，即时，当时，n取最小值，
∴，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去），
当，即时，当时，n有最小值，
∴，
解得，不符合题意，舍去；
综上，b的值为2．
3.（1）解： 不妨设抛物线为：，代入点，
那么有，
解得，
；
（2）解： ，
对称轴为，开口向下，
与关于对称，
时，其函数值与时相等，
当，时，均有，
，
．
4.（1）由题意得：对于一次函数，
当时，，当时，，
即，，
分别把点，的坐标代入抛物线，
得，
解得，
，；
（2）由（1）可知抛物线解析式为：，
点的横坐标为，则的纵坐标为，
过点作轴的垂线，交抛物线于点，
则点的坐标为，
，
当点与点重合时，，
解得：，，
抛物线与线段有公共点时，点横坐标的取值范围为或．