九年级数学上册试题 22.3 《实际问题与二次函数》小节复习题--人教版（含答案）

22.3 《实际问题与二次函数》小节复习题
题型一、图形问题
1.如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
2.为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的矩形区域（如图），若米，则下列4个结论：①米；②；③；④矩形的最大面积为300平方米．其中正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）．
(1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）；
(2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；
(3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？
题型二、拱桥问题
1.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．
(1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式．
(2)水面下降，水面宽度增加多少？
2.一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式．
(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
3.如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长．
题型三、增长率问题
1.最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2.某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3.为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型四、销售问题
1.“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为 元/件．
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式： （写化简后的解析式并写出自变量取值范围）．
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？
2.公安交警部门提醒市民，骑行出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
(3)在（2）的条件下，当售价定为多少元时利润最大，最大利润是多少？
3.某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置，宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用，根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调10x元（x为正整数），设一天入住的房间数为y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？
题型五、投球问题
1.某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是．
(1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式；
(2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式．
2.投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离．
(3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围．
3.某校将举行“迎五四青年节”投篮比赛，为取得好成绩，小明在课余时间进行了大量投篮练习．如图1，将篮球从点掷出，篮球在处落到地面，篮球的运动路线可看作是抛物线的一部分．为研究这个过程，小明以水平地面为轴建立如图的平面直角坐标系，点与轴的水平距离为，且距离水平地面（轴）为，点与轴的水平距离为，抛物线与轴交于点．
(1)请直接写出：①抛物线的解析式为 ；
②求抛物线的顶点坐标为
(2)比赛前夕，班委会制定了比赛规则，如图2，以点为中心放置一个高为，直径为的圆柱形球筐，其截面为矩形，若抛物线恒过、两点（落地点会发生变化）．
①求出解析式中与之间满足的关系式；
②若篮球能掷入圆筐，求出解析式中的取值范围．
题型六、喷水问题
1.某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴．
(1)直接写出点P的坐标__________；
(2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度．
2.某广场有一个喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为2米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间近似满足函数关系，下面是水流高度和水平距离之间的几组数据：
/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
/米 2 2.625 3 3.125 3 2.625 2
(1)根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足条件的函数关系式；
(2)由于调整了水压，水流喷出高度与水平距离之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则____________．（填“”，“＝”或“”）．
3.小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上、建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间满足关系式．
(1)求喷头与地面的距离；
(2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置有的水柱正下方的点处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点多远？
题型七、图形运动问题
1.在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使 BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
2.如图，矩形的两边长，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．设运动时间为t秒、的面积为．
(1)求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
(2)求的面积的最大值．
3.如图，在 ABC中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为．
(1)直接写出线段长．（用含的代数式表示）
(2)求当点落在线段上时的值．
(3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式．
题型八：二次函数与其他知识交汇问题
1.如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系．
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表：
0 1 2 3 4 5 …
0 2.5 4 4.5 4 2.5 …
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为．
根据以上内容回答下列问题：
(1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）；
(2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标；
(3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
2.如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______．
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当 ABC的面积取得最大值时，求的最小值；
(3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题型一、图形问题
1.C
【详解】解：设，花圃面积为，则，
根据题意，，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为32，
故这个花圃的最大面积是，
故选：C．
2.B
【详解】解：如图所示，材料总长为80米，设，且，
∵长方形的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∴．
根据分析得，
∴．
∵用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形，
∴，
解得，
∴，
∴米．
所以①错误，不符合题意；
根据题意，设由①得，
∵.
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
所以②不正确，不符合题意；
根据题意，设由①的论证结果可知，
∴，
所以③正确，符合题意；
根据②可知
∴，
∴长方形的面积是，
∴根据抛物线的顶点可知，
∴（平方米），
所以结论④正确，符合题意．
正确的有2个．
故选：B．
3.（1）解：由题意得：，
，
，
；
，
，
，
，
即，
，
；
（2）解：当时，，
即，
分解因式得：，
或，
或（舍去），
即当时，矩形实验田的面积S能达到；
（3）解：将函数解析式化为顶点式可得：
，
当时，S有最大值．
题型二、拱桥问题
1.（1）以拱顶为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系
则抛物线的顶点在原点，设其解析式为
当拱顶离水面时，水面宽
即当时，
将代入解析式得：
解得：
所以函数解析式为：
（2）当水面下降时，此时拱顶离水面，即
代入解析式得：
解得：
此时水面宽度为
原水面宽
所以水面宽度增加：
2.（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标，
设抛物线的方程为，
又因为点在抛物线上，
所以有．
所以．
因此抛物线为：．
（2）解：令，则有，
解得，，
，
∴货车可以通过；
（3）解：由（2）可知，
∴货车可以通过．
3.（1）解：依题意，，
故设该抛物线的函数表达式为，
∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，
即，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵该抛物线的函数表达式为，
∴设，
则，
∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，
∴，
∴灯带总长度，
∵，
∴当时，灯带总长度有最大值，
即，
故的长为．
题型三、增长率问题
1.C
【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为．
故选：C．
2.C
【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，进而得出答案，正确表示出三月份的研发资金是解题关键．
【详解】∵每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为：，
故选：C．
3.A
【详解】解：第二个月投放单车数量，
第三个月投放单车数量．
故选A．
题型四、销售问题
1.（1）解：∵商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
∴当销售量为30件时，日销售量增加件，则售价降低元，
∴当销售量为30件时，产品售价为元/件，
故答案为：．
（2）解：据题意得：，
∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过110元/件，
∴日销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式为；
（3）解：设电商每天可盈利元，
由题意得，，
∵，，
当时，取最大值1250，
∴当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元．
答：当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元．
2.（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
要使顾客尽可能得到实惠，取，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
（3）解：设利润为w，则
，
，函数开口向下，
∴当时，w最大，最大利润为6250元．
3.（1）解：依题意，得，
每个房间每天的房价不得高于300元，
；
（2）解：设宾馆一天的利润为元，
，
，，
∴当时，w取得最大值，此时（元），
房价为（元），
答：房价为300元时，宾馆的利润最大，最大利润是8370元．
题型五、投球问题
1.（1）解：由已知可设抛物线的函数表达式是（其中．
抛物线经过了点
解之，得．
故所求的函数表达式为，
令，得或．不合题意，舍去）．
自变量的取值范围是．
（2）解：原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点，
所以设抛物线的表达式为，
则解得：，
故所求抛物线弧的函数表达式是．
2.（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为，
∴抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，
解得或（舍），
∵四边形是矩形，
∴，
∴（米），
∴人离壶的距离为米；
（3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，
当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入，
得，
解得，
∴，
∴．
3.（1）解：①由抛物线，过点，，
得，
∴
∴；
②∵，
∴抛物线的顶点坐标是．
（2）解：①∵点的坐标为，
∵抛物线经过点，
∴，整理得：；
②∵，圆筐的截面为矩形，
∴，，
当抛物线经过点时，，解得：；
当抛物线经过点时，，解得：；
综上可得：，
题型六、喷水问题
1.（1）解：∵点P距x轴，距y轴，且点在第一象限，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得，设抛物线解析式为，且抛物线经过点，
∴，解得，
因此，
当时，，
∴水龙头直立部分的长度为．
2.（1）解： 由表格可得抛物线对称轴为直线，
∴水流喷出的最大高度为米，
由题意可得，抛物线经过点，，，
将上述三个点坐标代入中，得
，
解得 ，
∴函数关系式为；
（2）解：对于，当，则，
解得：或（舍），
∴，
对于，当，则，
或（舍），
∴，
∴，
故答案为：．
3.（1）解：当时，．
答：喷头与地面的距离为．
（2）解：将代入得．
解得（舍），，
，
答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点有远．
题型七、图形运动问题
1.（1）解：由题意，得：，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴当时，，
解得：或；
（2）存在，理由如下：
∵五边形的面积，
∴当五边形的面积等于时，，
解得：或，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴当点到达点时，，
∴，
∴当时，五边形的面积等于；
（3）存在，
∵，
∵，
∴当时， BPQ的面积最大为．
2.（1）解：由题意，得：，
∴，
∴，
当N到达C点时，则，
∴；
故：；
（2）∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而增大，
∵，
∴当时，最大为；
即：的面积的最大值为．
3.（1）解：∵是的中点，
∴，
当时，．
当时，．
（2）解：当点落在线段上时，．
，
解得；
（3）当时，如图，点在的左侧，设与交于点，重叠部分是，
这时，
∵，
∴，
∴，
．
当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形，
这时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形，
则，
．
∴．
题型八：二次函数与其他知识交汇问题
1.（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为，
由表格得：，解得：，∴函数表达式为；
（2）解：由题意得，设，∴小树顶端点的坐标为，
将其代入得，，解得：，∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，，∴不符合题意，舍去，∴；
（3）解：设铅直高度为，由题意得，
∴；
∵，∴当时，取得最大值为，
∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为．
2.（1）解：由题意得：，
∴，
，
；
（2）解：，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴，
设，
，
，
，
；
（3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，
当，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点Q的坐标为或；
当，
解得或，
当时，，
当时，，
∴点Q的坐标为或；
∴点Q的坐标为或或或．
3.（1）解：对于一次函数，令，可得，
∴，
将，两点代入，
可得，解得，
则抛物线的表达式为；
（2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，

∴点E 坐标为，∴，
∵，，∴，∴当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则，，，
是平行四边形，
，
，
，
即当点、、三点共线时，有最小值，
，
，
即最小值为；
（3）解：设直线解析式为，
把，代入，得，解得，∴，当时，，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，对于，当时，，
设，当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴；
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
综上，点Q的坐标为或．