九年级数学上册试题 24.1《圆的有关性质》--弧、弦、圆心角 圆周角--人教版（含答案）

24.1《圆的有关性质》--弧、弦、圆心角 、圆周角
题型一：弧、弦、圆心角关系求解
1.如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的基础上求的值．
2.如图，，若，求的长

3.如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．

(1)若的度数为，求的度数．
(2)求证：．
(3)连接，若，，求的长．
题型二：求圆弧的度数问题
1.如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）

A．30° B．25° C．20° D．10°
题型三：：弧、弦、圆心角关系求证
1.如图，在中，，于点D，于点E，求证：．
2.已知：如图，、、、是上的点，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
3.如图，是上的点，，分别交，于点．求证：
(1)；
(2)．
题型四：圆周角定理
1.如图，在⊙中，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图所示，在中，弦，连接交半径于点E，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型五：等（同）弧所对圆周角问题
1.如图，在圆中，是直径，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
3.如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型六：90°所对的圆周角是直径问题
1.如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为( )
A． B． C． D．
2.如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
3.在圆内接四边形中，，垂足为E．
(1)如图1，若，求证：平分；
(2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径．
题型七：圆内接多边形问题
1.如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E．
(1)若，猜想和的数量关系，并说明理由；
(2)若．求的直径．
2.如图所示，在 ABC中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
3.如图，四边形 是的内接四边形，四边形、四边形 均为平行四边形，连接 ．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的大小．
题型八：圆心角、圆周角的综合问题
1.如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分．
(1)求证：；
(2)若点B为的中点，时，求的长．
2.已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若，求和的大小．
3.我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长．
参考答案
题型一：弧、弦、圆心角关系求解
1.（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得 ，,
.
，，
，
．
，
，
，
．
2.解：由已知得，
，
=，
是公共弧，
=，
故．
3.（1）解：连接，
，
的度数为，
，
，
；
（2）证明：，
，，
又∵，
，
；
（3）解：连接，交于点，
，
弦是直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
题型二：求圆弧的度数问题
1.D
【详解】解：，
，
，
，
，
弧的度数为，
故选：．
2.B
【详解】解：连接、，如图，
，，
，，
，，
，
∴的度数为．
故选：B．
3.C
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
题型三：：弧、弦、圆心角关系求证
1.证明：连接．
，
，
，
．
又，
，
．
2.（1）证明：，
，
即．
∴．
（2）解：∵，，
．
3.（1）证明：，
，
，
，
在和中，
；
；
（2）证明：，
，，
由（1）知 AOC≌ DOB ，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
题型四：圆周角定理
1.B
【详解】解：如下图所示，连接，
，
，
，
．
故选：B．
2.C
【详解】解：四边形内接于，
，
为的直径，
，
，
故选：C．
3.D
【详解】解：∵平分，且，
∴，
∵，
∴，
∵所对圆心角是，圆周角是，
∴，
∴，
故选：D．
题型五：等（同）弧所对圆周角问题
1.C
【详解】解：∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴．
故选：C．
2.C
【详解】解：连接，则，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点B是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3.A
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
是的中点，
∴=，
，
，
．
故选：A．
题型六：90°所对的圆周角是直径问题
1.B
【详解】解：如图，连接，
为的直径，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
．
故选：B．
2.B
【详解】解：∵，
∴，
∴点H是以为直径的圆上运动，
∵的直径为8，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3.（1）证明：∵，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图2，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径是5．
题型七：圆内接多边形问题
1.（1）解：，理由如下：
∵四边形内接于，
∴，
∴，
，
∴，
，
∴；
（2）解：如图，连接并延长，交于点，连接，
∵是直径，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，
∴的直径为．
2.（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴设，则有，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
3.（1）证明：∵四边形、四边形 均为平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是的内接四边形，，
∴，
∵四边形、四边形 、均为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴．
题型八：圆心角、圆周角的综合问题
1.（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点C作于H，，
设，则，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明，
∴，
∴，
∵点B为的中点，
∴=，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
2.（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴；
∵，
∴；
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴， BEC是等腰三角形，
∴；
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
3.（1）解：∵“等对角四边形”内接于，，
∴，，，
∴∠B=90°，
故答案为：90，120；
（2）证明：∵“等对角四边形”内接于，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵=，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）解：如图1，连接，当时，则，
∵，
∴∠B=90°，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，是直径，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当时，此时，，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，
作，交于E，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
当时，则，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
综上所述：或．