九年级数学上册试题 24.1《圆的有关性质》--圆与垂直于弦的直径--人教版（含答案）

24.1《圆的有关性质》--圆与垂直于弦的直径
题型一：圆的基本概念
1.下列命题：正确的是（ ）
①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
2.下列命题中正确的是（ ）
①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧．
A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥
3.说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：弦的条数及最长的弦问题
1.如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3.如图，在中，弦的条数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
题型三：垂径定理
1.如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为 ．
2.如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为 ．
3.如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 ．
题型四：垂径定理求平行弦问题
1.已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ．
2.已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ．
3.已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm．
题型五：垂径定理的推论的理解
1.下列命题正确的是（ ）
A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧
C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦
2.下列说法不正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④
3.下列关于圆的说法不正确的是（ ）
A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
B．平分弦的直径平分弦所对的弧
C．垂直平分弦的直径必定经过圆心
D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧
题型六：垂径定理的推论应用
1.如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ．
2.如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是 ．
3.如图，为半圆的直径，为弦的中点，为的中点，连接．若，则的长为 ．
题型七：垂径定理的实际应用问题
1.如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为 ．
2.壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为 ．
3.白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新桥”（旧称“苏公桥”）．
(1)小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度为6.4米，拱顶高出水面1.6米，如图，请你帮助小明求出此圆弧形拱桥的半径；
(2)微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞 说说你的理由．
题型八：垂径定理综合问题
1.已知、、为上的点，且，为的直径，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2.如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．

(1)求圆弧所在圆的半径的长；
(2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？
3.如图，在等腰 ABC中,交于两点，半径于H．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
参考答案
题型一：圆的基本概念
1.B
【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本选项不符合题意；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧，本选项符合题意；
③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意；
④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意；
∴正确命题为②和③，
故选：B．
2.A
【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确；
弧不一定是半圆，故②错误；
直径是线段不是直线，故③错误；
半圆是弧，故④错误；
直径是弦，故⑤错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误；
圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误；
⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，
∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确．
∴正确的命题是①⑧．
故选：A．
3.B
【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误；
②半径相等的两个半圆是等弧，正确；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；
④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误；
⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误；
综上，正确的有：②③，共2个，
故选：B．
题型二：弦的条数及最长的弦问题
1.B
【详解】解：图中的弦有共三条，
故选：B．
2.D
【详解】解：是直径，
∴是中最长的弦，
∴，
∵
∴
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
3.C
【详解】在中，有弦、弦、弦、弦，
共有4条弦．
故选：C．
题型三：垂径定理
1.17
【详解】解：如图，连接，
∵的弦，半径，
∴，
设的半径为r，则，
在中，，
∴，
解得，
故的半径的长为17．
故答案为：17．
2.
【详解】解：，，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
3.或
【详解】解：分两种情况讨论，
第一种情况：如图，连接，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，；
第二种情况：如图，连接，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，；
综上，线段的长为或．
故答案为：或．
题型四：垂径定理求平行弦问题
1.或
【详解】解：过点O作于点M，于点N，
，
点O、M、N三点共线，
由垂径定理得，M为中点，N为中点
在中，、，
由勾股定理得
在中，、，
由勾股定理得
当、在圆心同侧时，如图：
距离为
当、在圆心异侧时，如图：
距离为．
故答案为：7或17．
2.7或17
【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、．
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴和之间的距离为17；
如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时，
同理可得：，
∴，
∴和之间的距离为7；
综上所述，和之间的距离为7或17．
故答案为：7或17．
3.2或14
【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图

∵，，
∴，
∴，
，
在中，，
在中，，
当点O在与之间时，如图1，，
当点O不在与之间时，如图2，，
故答案为：2或14．
题型五：垂径定理的推论的理解
1.B
【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误；
B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确；
C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误；
D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误；
故选：B．
2.C
【详解】解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误；
∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误；
∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确；
∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确．
∴ 不正确的是①②，
故选C
3.B
【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确；
因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确；
因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确；
因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确.
故选：B.
题型六：垂径定理的推论应用
1.15
【详解】解：点D是弧的中点，
，
为的直径，，
，
，，
，
，
，
设圆的半径为R，连接，
根据勾股定理，得到，
解得，
故答案为：15．
2.
【详解】解：如图，延长到圆心，连接，
设所在圆的半径长为，则，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
解得：，
所在圆的半径长为，
故答案为：．
3.
【详解】解：连接与交于点M，
∵是直径，
∴，，
∵分别为的中点，
∴，
∴
∵为的中点，为半径，
∴
∴四边形是矩形．
设，则，
在中，
解得：（舍去），
，
∴在中，．
故答案为：．
题型七：垂径定理的实际应用问题
1.8
【详解】解：如图：连接，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：8．
2.10
【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接
在中，
∴
∵，，
，
设的半径为，则：，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
解得，
故的半径为
故答案为：10．
3.（1）解：连接
，
为中点，
∴AB=6.4（米），
（米），
又∵（米），
设（米），则（米），
在中，根据勾股定理得：
即：，
解得，
答：此圆弧形拱桥的半径为4米；
（2）解：方法（一）：游船不能顺利通过该桥洞，理由如下：
如图，米，，交于，
则（米），
连接，
在中，根据勾股定理得：，
（米），
又∵（米），
，
游船不能顺利通过该桥洞；
方法（二）：，
船舱顶部为长方形并高出水面米，
（米），
在中，根据勾股定理得：，
（米），
（米），
又∵，
，
游船不能顺利通过该桥洞．
题型八：垂径定理综合问题
1.（1）证明：连接并延长交于点，
∵，
，，
在和中，
，
∴，
，
；
（2）解：设的半径为则，
∵，，
∴，
在中，，
解得，
，
，
．
2.（1）解：连接，设圆弧所在圆的半径为，
由题意得，，
在中，由勾股定理得，
解得；
答：圆弧所在圆的半径的长为；
（2）解：连接，

，
在中，由勾股定理得，
即，
解得．
．
∵A/B/=32>30，
不需要采取紧急措施．
3.（1）证明：在 ABC中，，于，
，
是的弦，是半径，且于，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，
由（1）知，，
设半径为，则，
在中，
解得：，
的半径为．