九年级数学上册试题 21.2 《解一元二次方程》同步练习 --人教版（含解析）

21.2 《解一元二次方程》同步练习
一、单选题
1．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（ ）
A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，，
2.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程有实数根，则满足（　　）
A． B． C．，且 D．，且
4．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　）
A．10 B．4 C．4或 D．4或或10
6．已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．关于的方程，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以（x-1）得到3． 移项得1）=0， ，或，． 整理得，，，，，． 整理得，配方得，，，．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
②若是一元二次方程的根，则；
③存在实数，使得；
④若是方程的一个根，则一定有成立
其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③
二、填空题
9．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ．
10．已知三角形的两边长分别是4和 7，第三边长是方程的根，则第三边的边长是 ．
11．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ．
12．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ．
13．为方程的两个根，则代数式的值为 ．
14．已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
三、解答题
15．解方程：
(1) (2)；
(3) (4)．
16．解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)若 ABC为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求 ABC的周长．
18．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)试判断方程是不是“勾系一元二次方程”；
(2)求关于x的“勾系一元二次方程”的实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积．
19.【阅读感知】
我们知道，解如的方程可以通过因式分解将其转化为：，这样就可以得到：或从而求出方程的解．类似的，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为：，从而得到或，再解方程就可以得到
【理解应用】
（1）将因式分解得______
（2）解方程：
【知识拓展】
（3）试求方程组的解
20.关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若，求的值；
(3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围．
参考答案
一、单选题
1．C
【详解】解：
整理得，
∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，．
故选：C．
2．B
【详解】解：依题意，
，
移项得，
，
∴，
故选：B
3．D
【详解】解：由题意得，且，
解得且，
故选：．
4．D
【详解】解：，
在方程两边同时除以，得：，即，
配方，得：，
即．
故选：D．
5．B
【详解】解：∵当时，则，当时，，
∴当时，
解得，不符合题意，舍去；
当时，则，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综上，，
故选：B．
6．B
【详解】解：令，则方程即为方程，
∵方程的解是，
∴方程的解是，，
∴或，
解得，，，
∴方程的解是，，．
故选：B．
7．D
【详解】解：甲的解法是“两边同时除以得到”，由于当时，，而0不能作为除数，这种操作会丢失方程的根（也是原方程的解），因此甲的解法错误；
原方程移项应为，而非，因此乙的解法错误；
原方程整理为，
，
，而非28；且代入求根公式后结果也不匹配，因此丙的解法错误；
原方程整理得，配方得，
，
，
，
丁的解法正确。
综上，只有丁的解法完全正确，
故选：D．
8．D
【详解】命题①：∵方程有两个不等实根，
∴根判别式．
∴原方程的判别式为，
原方程必有两个不等实根．
∴①正确．
命题②：∵是方程的根，
∴，
∴．
∴．
∴②正确．
命题③：∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
存在实数m、n满足此条件（如取，）．
∴③正确．
命题④：∵c是方程的根，
∴，
∴．
当时，方程成立但不一定为0．
∴④错误．
综上，正确的命题为①②③，
故选：D．
二、填空题
9．
【详解】解：当，即时，原方程为，
解得：，
∴符合题意；
当，即时，，
解得：，
∴且．
综上所述，m的取值范围是．
故答案为：．
10．9
【详解】解：，
，
，，
解得：；，
，
由于三角形两边之和大于第三边，
只能取．
故答案为：9．
11．
【详解】解：，
，
，
∴，
∵方程可以配方成的形式，
∴，，
∴，
∴为，
∴，
配方，得，即，
故答案为： ．
12．，
【详解】解：，
整理得：，
方程的解是，，
方程的解是，，
解得：，．
故答案为：， ．
13．1
【详解】解：由题意知：，，
∴
．
故答案为： ．
14．
【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x的增大而增大，
∴，
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即；
∴，
∵为整数，
∴可取1，2，3；
∴满足条件的整数的值之和为：，
故答案为：6．
三、解答题
15．（1）根据题意移项得，
化系数为1得，
开平方解得或．
（2）移项得，
再配方得，
即，
，
解得，
即或．
（3）移项，
即，
所以或，
解得或．
（4）∵（x-3）2 =（5-2x）2 ，
或，
移项得或，
解得或．
16．（1）解：
两边同乘以，
得到，
化简得，
解得,
检验：当时，,
故方程的解为．
（2）解：，
移项得，
配方得，即，
开平方得，
解得．
（3）解：，
因式分解得，
则或，
解得．
（4）解：，
变形得，
因式分解得，
则或，
解得．
17．（1）证明：由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
解得，，
当时，解得，，
此时等腰三角形三边分别为1，3，3，
，
∴此时能构成三角形，
，
∴ ABC的周长为；
当时，解得，，
此时等腰三角形三边分别为3，3，5，
，
∴此时能构成三角形，
，
∴ ABC的周长为；
综上可知， ABC的周长为或．
18．（1）解：
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴方程是“勾系一元二次方程”；
（2）解：根据题意，得，
∵，
∴
∴；
（3）解：当时，有，即，
∵四边形的周长是12，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
19.解：（1），
∴；
（2），
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴可化为：或，
解得或．
20.（1）证明：，，，
，
方程总有两个实数根．
（2）由是方程的根，
，
，
解得．
（3），
即，
，
方程有一个根不小于5，
，
．
的取值范围是．