九年级数学上册试题 21.2.4《一元二次方程根与系数的关系》同步练习 --人教版（含解析）

21.2.4《一元二次方程根与系数的关系》同步练习
一、单选题
1．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程的两个实数根、，已知，则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ）
A．0 B．2025 C．2024 D．2023
4．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）．
A．且 B．
C． D．
5．甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（ ）
A． B． C． D．
7．对一元二次方程，某学习小组给出了下列结论：
甲：这个方程有两个不相等的实数根；
乙：设这个方程的两个根分别为，，则有，，
丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为；
丁：这个方程的解为，
老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁
8．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．-2025 B． C． D．
9．已知实数，是关于的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
11．已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为 ．
12．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则 ．
13．关于的一元二次方程有两个实数根，若，则 ．
14．已知是方程的两个根，那么= ， ， ，
三、解答题
15．已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是，求k的值．
(2)若该方程的两个实数根满足， 求k的值．
16．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个实数根为，且满足，求m的值．
18．【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
19．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ；
(3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ；
(4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ．
20.阅读理解材料：已知实数满足，且．
根据材料．求的值．
解：由题知是方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得，
．
解决以下问题：
(1)方程的两个实数根为，则___________，___________．
(2)已知实数满足，且，求的值．
(3)已知实数满足，且，求的值．
21.定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
①；②；③；④．
(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：
①请求出k的值；
②求方程的两个根．
22.如果方程的两个根是、，那么，请根据以上结论解决下列问题．
(1)已知关于的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
(2)已知满足，，求的值．
参考答案
一、单选题
1．C
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，
故选：C．
2．B
【详解】解：由题意知，关于x的一元二次方程的两个实数根、，
∴，
∴，
进一步验证判别式：，表明方程恒有两实数根，
将代入原方程后，两根的和为2，符合题意．
故选：B．
3．C
【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∴.
故选：C
4．B
【详解】解：设一元二次方程的两个根为，，
由题意得，，，
由根与系数的关系可得，，，
解得：，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是．
故选：B．
5．D
【详解】解：根据题意得，，
令，则，，
∴关于x的一元二次方程是．
故选：D．
6．D
【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程，
设关于的方程的两根为，
则方程的两根为，
关于的方程的两根之和为，两根之积为，
，
．
故选：D．
7．C
【详解】解：∵，
∴，
∴，，，故乙错误；
∴这个方程有两个不相等的实数根，故甲正确；
∴，
∴，，故丁正确，丙错误；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．利用根与系数的关系得，，再利用，即可求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
故选：B．
9．C
【详解】解：原方程 移项得，
依题得 、是方程的两个实数根，
，，
，
原式．
故选：．
二、填空题
10．1
【详解】解：方程的两个根之和为，
则另一个根为，
故答案为：1．
11．
【详解】解：，
又该方程的两根互为倒数，即：，
，
解得：，
12．
【详解】∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
13．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
又∵，
当时，，符合题意，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
故答案为：．
14．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
∴；
∵
∴
故答案为：，，，．
三、解答题
15．（1）解：把代入方程得：
解得：或；
（2）解：∵方程的两个实数根
∴，解得：；
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）．
∴．
16．（1）解：∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为m，则，
解得，
故该方程的另一个根为2．
17．（1）证明：∵ ，
不论为何值时，方程总有实数根；
（2）解：根据题意得，
∵即： ，
∴，
解得，
∴m的值为或．
18．解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．
19．（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
（4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得
∵关于的一元二次方程
∴，
∵
∴
∴
解得
综上所述，．
20.（1）解：∵方程的两个实数根为，
∴，，
故答案为：，．
（2）解： ，，且，
、可看作方程的两根，
，，
，
；
（3）解：，
，
∴两边除以得：，
，即，
、可看作方程的两根，
，，
．
21.（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
③解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
④解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：②④；
（2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根，
∴，，，
∵，
∴，
解得；
②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根，
∴，，
解得，．
22.（1）解：设方程，的两个根分别是，
∴，
则，，
则方程的两个根分别是已知方程两根的倒数．
（2）解：当时，
∵a、b满足，
∴a、b是的解，
∴，
∴
当时，
故综上所述，的值为-47或2.