九年级数学上册试题 21.3《实际问题与一元二次方程》同步练习 --人教版（含解析）

21.3《实际问题与一元二次方程》同步练习
一、单选题
1．九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （ ）
A． B． C． D．
2．现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （ ）人
A．8 B．9 C．10 D．11
3．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
6．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
7．某文具店将进价为12元的口风琴按照每个20元出售时，平均每天能够售出8个．若这种商品每件降低元能多售出4个．若该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，那么每个口风琴的售价应该是多少元，设售价定为每件元，下列列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，根据题意，可列出一元二次方程为： ．（只列方程，不需求解）
12．如图是一个长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为 ．
13．某校九年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），共进行了55场比赛．若设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，则可列方程为 ．
14．“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人．
15．2025年蛇年，中国将迎来首个非遗版春节．春节-中国人传统新年的社会实践被正式列入人类非物质文化遗产代表作名录（名册）．至此，我国共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数居世界第一，在2005年，中国共只有4个项目，列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册）．假设从2005年到2015年与2015年到2025年这两个时间段内名录（名册）数量的增长率相同，均为x，请你结合题意列出方程 ．
16．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数的解为
17．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
18．某商场经销一种高档水果，原售价每千克40元，连续两次降价后每千克售价元；每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)已知这种水果每千克进价30元，每天可售出48千克，经市场调查发现，若每千克降价元，日销售量将增加4千克，那么每天要想获利510元且尽快减少库存，那么每千克应降价多少元？
19．水果店老板李叔叔准备到水果批发市场购进一种水果，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果的钱现在可以买．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)李叔叔在销售这些水果时，发现水果的销售量（）与销售价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系式，请你帮李叔叔拿个主意，将这些水果的销售售价定为多少元时，能获取1100元的利润？
20．小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
(2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
21．某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克．
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由．
22．某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米．
(1)求通道的宽是多少米．
(2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？
23．如图，在长方形中，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为．
(1)____________．（用含的代数式表示）
(2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．C
【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得，
故选：C．
2．B
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人，
根据题意可得，
整理得，
∴，
∴或（不合题意，舍去）
∴每轮传染中平均一个人传染 人．
故选：B．
3．B
【详解】解：依题意得，，
故选：B．
4．A
【详解】解：∵这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为文，
依题意得，
故选：A．
5．C
【详解】解：设人行通道的宽度为，
根据题意得，，
故选：．
6．D
【详解】解：设门对角线长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，由题意可知竿的长度为x尺．
根据勾股定理得，
故选：D．
7．B
【详解】解：设售价定为每件元，则由题意得，
故选：B．
8.B
【详解】解：设金色纸边的宽为，
依题意得：，
，
，
，
故选：B．
9．C
【详解】解：设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，
则有：．
故选：C．
10．A
【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米，
∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形，
∴由题意可得：，
故选：A．
二、填空题
11．
【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，由题意，可列出一元二次方程为；
故答案为：．
12．
【详解】解：设小道的宽为，
则根据题意，可列方程为，
故答案为：．
13．
【详解】解：设该校九年级有x个班级篮球队参加比赛，
根据题意得：．
答案：．
14．12
【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得
，
，
，
∴或
解得或（舍去）
故答案为：．
15．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
16．
【详解】解：由得，
∵阴影部分的面积为，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴大正方形的面积为，
∴方程的正数解为，
故答案为：．
17．2或4．
【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧，
①当点在点的左侧时，由，
整理得，
解这个方程，得（舍去），．
所以，当时，四边形是平行四边形．
②当点在点的右侧时，由，
整理得，
解这个方程，得（舍去），．
所以，当时，四边形是平行四边形．
所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：2或4．
三、解答题
18．（1）解：设每次下降的百分率为x，
由题意得：，
解得，（舍），
答：每次下降的百分率为．
（2）解：设每千克应降价y元，
由题意得：，
整理得：，
解得，，
要尽快减少库存，
每千克应降价2.5元．
19．（1）解：设现在实际购进这种水果每千克元，则原来购进这种水果每千克元，由题意得：，
解得：．
故现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）解：设与之间的函数关系式为，
将、代入，
得，解得，
∴与之间的函数关系式为，
∴由题意得：
整理得：，
解得：，
答：销售售价定为元时，能获取1100元的利润．
20．（1）解：由题意得，若降价8元，每天能多售出（件），
所以此时的销售价为元，销售量为（件），
所以每天销售T恤衫的利润为（元）．
即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元．
（2）解：设每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润．
由题意可得，
去括号整理得，
因式分解得，
所以，
当时，每件利润为元，
利润率，不符合题意，
当时，每件利润为元，
利润率，不符合题意，
综上所述，为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．
21．（1）解：①设每千克茶叶应降价元，
根据题意，得，
整理得，解得．
答：每千克茶叶应降价30元或80元；
②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元，
要尽可能让利于顾客，
每千克茶叶应降价80元，
此时的售价为：（元），．
答：该店应按原售价的八折出售；
（2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：
设每千克茶叶应降价元，
根据题意，得，
整理得，
，
原方程没有实数根，
该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元．
22．（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：通道的宽是3米．
（2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位，
依题意，得，
解得，
又要优惠大众，
．
答：每个车位的月租金应上涨40元．
23．（1）解：∵从点开始沿边向终点以的速度移动，
，
∵点从点开始沿边向终点以的速度移动，
；
故答案为：，；
（2）解：存在，时，能够使得五边形的面积等于，理由如下：
长方形的面积是：，
当五边形的面积等于时，的面积为，
∴，
解得．
∴不符合题意，舍去．
即当秒时，使得五边形的面积等于．