九年级数学上册试题 22.1 《二次函数的图像和性质》同步练习--人教版（含解析）

22.1 《二次函数的图像和性质》同步练习
一、单选题
1．下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．1或 B．1 C．或3 D．3
3．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ）
A．B．C． D．
5.关于二次函数，①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为直线；③其最小值为2；④其图像一定过点；⑤当时，随的增大而增大．以上说法正确的个数是（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．要将抛物线平移得到抛物线，可以（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度
7．对于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1
8．已知关于x的二次函数的图象经过，，，四点，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．下列关于二次函数 （为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、填空题
12．若抛物线（为常数）的开口向下，则的取值范围是 ．
13．将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的二次函数表达式为 ．
14．已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的值为 ．
15．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ．
三、解答题
16．已知二次函数，不画图像，回答下列问题．
(1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
(4)抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？
17．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数的图象．
(1)___________，___________，___________；
(2)写出二次函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标．
18．已知抛物线（如图所示）．

(1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
(2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标．
19．如图，抛物线经过点，且顶点B的坐标为，对称轴与x轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在第一象限内的抛物线上找点P，使是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
20.把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象
(1)则______，______，______；
(2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)当时，求二次函数的取值范围．
21.如图，以A为顶点的抛物线交y轴于点B，已知A，B两点的坐标分别为，连接．
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)若将y轴向右平移6个单位长度，请直接写出此时抛物线对应的函数解析式．
(3)抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22.如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D．
(1)求m的值及点C坐标；
(2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．B
【详解】解：A、不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、是二次函数，故本选项符合题意；
C、分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是一次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．D
【详解】解：由题意得，解得，
故选：D．
3．D
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，
则抛物线上的点离对称轴越远，其函数值越大．
∵抛物线经过三点，
则，，，
∵，
∴
故选：D．
4．D
【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大，
故选：D．
5.D
【详解】解：①由抛物线的开口方向由系数a决定．若，开口向上；若，开口向下．因a的正负未知，故①错误．
②顶点式为，对称轴为．此处，对称轴为，故②正确．
③当时，函数有最小值2；当时，有最大值2．因未明确a的正负，无法确定是否有最小值，故③错误．
④由题意可得顶点坐标为，无论a为何值，抛物线必过顶点，故④正确．
⑤当时，时y随x增大而减小；当时，时y随x增大而增大．因a的正负未知，无法确定增减性，故⑤错误．
综上，正确的说法为②和④，共2个．
故选：D．
6．B
【详解】解：将抛物线先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可得到抛物线；
故选：B．
7.D
【详解】解：，，
A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意；
B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意；
C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意．
故选：D．
8．C
【详解】解：如图，
设点与关于抛物线对称轴对称，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9．A
【详解】解：抛物线的表达式为，
平移后的抛物线的表达式为：
，
∵平移后的抛物线与抛物线重合，
∴，
解得．
故选：A．
10．C
【详解】解：二次函数形状由二次项系数决定，原函数为，其二次项系数为，与的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确；
对于，当时，即，该函数的图象一定经过点，结论②正确；
由二次函数的性质可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，结论③错误；
的顶点坐标为，对于二次函数，当时，，即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确；
综上，正确结论为①②④，共3个，
故选：C．
11．A
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵抛物线的对称轴为， ABC为等边三角形，且轴，
∴，，．
∵当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题
12．
【详解】解：因为抛物线的开口向下，
所以，即，解得，
故答案为：．
13．
【详解】解：二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的二次函数表达式为，
故答案为：．
14．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵点，都在二次函数的图象上，且，
∴与关于直线对称，
∴，
∴．
故答案为：
15．2或6
【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，
得或6．
故答案为：2或6.
三、解答题
16．（1）解：抛物线解析式为，且，
抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；
（2）解：抛物线开口向下，
二次函数有最大值，且当时，y有最大值是0．
（3）解：抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，y随x的增大而增大；
（4）解：有函数平移规律可知，抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的．
17．（1）解：由题意得：
把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到二次函数的图象，即，
，，．
（2）二次函数，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
18．（1）解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴．
故答案为：0，1；y轴．
（2）解：设．
∵轴，垂足为B，
∴．
∵点，
∴．
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∴ ，
解得，．
∴
∴点P的坐标为或．

19．（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
．
抛物线经过点，
，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，连接、．
设点的坐标为．
，
．
，
．
整理，得，
解得（舍去）．
当时，，
点的坐标为．
20.（1）解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，
∵二次函数与是同一函数，
∴，，，
解得．
故答案为：，2，；
（2）解：∵二次函数的解析式为，
∴函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是；
（3）解：∵，
∴的最小值为；
∴时，，
∵时，，
∴当时，．
21.（1）解：设抛物线解析式为：，.
把点B的坐标代入，得，解得．
所以该抛物线的解析式为：；
（2）解：将y轴向右平移6个单位长度后该抛物线的顶点坐标为，
则平移后抛物线的解析式为：.
（3）解：存在，理由如下：
设，，、.
，即.
，
.
，即，
解得或（舍去）.
则，
解得或．
综上所述，点P的坐标是或．
22.（1）解： 直线过点，
，
，
，
，
二次函数解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．
顶点坐标为，
对称轴为直线，
过点作于点，
在中，．
①当时，设，
在中，
解之得
；
②当时，根据等腰三角形三线合一得：，
，
；
③当时，，
，．
综上所述：点的坐标为或或或．