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2026中考数学专题练
突破一 常见模型
模型一 三角形双角平分线模型
类型1 两个内角平分线
方法解读
双内角平分线型
识别 平分， 平分
结论
1．如图，，分别平分，，求证:.
证明：，分别平分，，，，又的内角和为 ，
.
，
，
，
把②式代入①式得，，
即，
，
.
2．如图，在中， ，于点，和的平分线相交于点，为边的中点，，则的度数是（ ）
第2题图
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，，为边的中点，，
又，，
是等边三角形，
，
， ，
和的平分线相交于点，
，
，
.
3．如图，中，，， ，则_ _ _ _ .
第3题图
【答案】135
类型2 一个内角平分线与一个外角平分线
方法解读
一内一外平分线型
识别 平分， 平分
结论
4．如图，中，延长到，和的平分线相交于点，爱动脑筋的小明同学在写作业时，发现如下规律：
若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 .
（1） 根据上述规律，若 ，则_ _ _ _ ；
（2） 请你用数学表达式归纳出与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】解:（1） 50
（2） .
证明:，分别是和的平分线，
，，
，即.
5．如图，在中， ，是的外角的平分线，平分，与的反向延长线相交于点，则的度数为_ _ _ _ ．
【答案】55
【解析】平分，
，
平分，，
，
，
.
类型3 两个外角平分线
方法解读
双外角平分线型
识别 平分， 平分
结论
6．如图，,分别平分,，求证:.
证明:如图，，分别平分，，
，，
，①
，②
得，即，
.
，
，
.
7．在中， ．当，时，求的度数（用含 的代数式表示）．
解:，， ，
.
8．如图，在中， ，，为的外角，与的平分线交于点，与的平分线交于点， ，与的平分线相交于点.
（1） 的度数为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则的值为_ _ _ _ .
【答案】（1）
（2） 3
【解析】
（2） 和分别平分和，
，.
又 ，
，
.
若存在点,则同理可得， , ，
若存在点,则， ，
，
,,无法组成三角形，即不存在，两条角平分线无交点，
故的值为3.
模型二 倍长中线模型
方法解读
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
【方法精讲】如图1，在 中，是 边上的中线.
方式1：如图2，延长 到 ，使 ，连接 .
方式2（间接倍长） 如图3，作 于 ，作 交 的延长线于 .
②如图4，在 上任取一点 ，连接 ，延长 到 ，使 ，连接 .
1．倍长中线的关键在于倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：①线段一个端点是图中一条线段的中点；②线段与线段不共线），然后进行连接，构造全等三角形，再进一步将某些线段进行等量代换，证明全等或其他的结论，从而解决问题.
【应用举例】
如图1，已知为的中线，求证：.（无需作答）
简证：如图2，延长到，使得，连接，易证，得_ _ _ _ _ _ ，在中， _ _ _ _ _ _ ，即.
【答案】；
【问题解决】
（1） 如图3，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：；
证明：如图1，延长到，使得，连接，易证，，，
，，，
，，
.
图1
（2） 如图4，在中， ，是边的中点，、分别在边、上，，若，，求的长；
解:如图2，延长到，使得，连接、，易证，
图2
，，
，
垂直平分，，
， ，
，即 ，在中，，
.
（3） 如图5，是的中线，，，且 ，请直接写出与的数量关系及位置关系.
【答案】，.
【解析】如图3，延长到，使，延长交于，连接，易得，
，，，
，
，，
又,，
，，
，
， ，.
图3
2．【观察发现】 如图①，中，，，点为的中点，求的取值范围.
小明的解法如下：延长到点，使，连接.
在与中，
，
_ _ _ _ _ _ .
又 在中，，，，
_ _ _ _ _ _ _ _ .
又，
_ _ _ _ _ _ _ _ .
【探索应用】 如图②，，，，点为的中点，，则的长为_ _ _ _ .
【应用拓展】 如图③， ， ，，，连接，为的中点，求证：.
【观察发现】 ；2；12；1；6
【探索应用】 17
【应用拓展】 证明：如图，延长到点，使，连接，，，
易得，，，
，.在四边形中， ，
， ，
.
，
，
，又，
，，
，.
【探索应用】 如图，延长，交于，
点是的中点，，
，，，
，
，，
，，
.
3．有公共顶点的正方形与正方形按如图1所示的方式放置，点，分别在边和上，连接，，是的中点，连接交于点.
【观察猜想】
（1） 线段与之间的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【探究证明】
（2） 将图1中的正方形绕点顺时针旋转 ，点恰好落在边上，如图2，其他条件不变，线段与之间的关系是否仍然成立？并说明理由.
【答案】 解:（1） ；
（2）仍然成立.
理由：延长至点，使得，连接，
易得，，，
，.
四边形和四边形是正方形，
，，，，，
，，
又，.
，，
，，
，
又 ，
，
，
即.
综上，线段与之间的关系仍然成立.
模型三 “8”字模型
方法解读
“8”字模型：
或
识别 有一组角是对顶角的两个三角形，如图
结论 除对顶角之外，若有一组角和一组边分别对应相等，则两个三角形全等；若仅有一组角相等，则两个三角形相似
应用 全等和相似的边、角性质
1．如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，交于点.若，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
2．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长.
【答案】
（1） 证明： 四边形是平行四边形，
，,
，，
是的中点，，
，
，
.
（2） 解:，，
，
，
，，
，，
，，
，即，.
3．如图，，分别是的内、外角平分线，,在直线上，过作的垂线交的延长线于，连接并延长交于，求证：.
证明:延长，交于点，如图，
由，分别是的内、外角平分线，易得 ，
，
，
，，
，，，
是的平分线，且，
，，
又,
，
，.
模型四 截长补短模型
类型1 构造相等线段
1．[2023湖北武汉]问题提出 如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与 的数量关系；（无需作答）
问题探究
（1） 先将问题特殊化，如图2，当 时，直接写出的大小；
（2） 再探究一般情形，如图1，求与 的数量关系；
问题拓展 将图1特殊化，如图3，当 时，若，求的值.
【答案】解:问题探究（1） .
（2） 在上截取，使，连接.
，，.
,，.
，，.
，
.
.
.
问题拓展 过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为.
，，.
，
，
在中，，.
由（2）知， ，
.
，.
，，
，
同（2）中方法得，
.
2．如图， ，，，.
（1） 直接写出与的数量关系；
（2） 延长到，使，延长到，使，连接.求证：；
（3） 在（2）的条件下，连接,作的平分线，交于点，求证：.
【答案】（1）解：
（2） 证明：如图1，在和中，
，
，，
，.
图1
（3） 证明：如图2，延长，交于点，延长交于点，
图2
，，
，，
是的平分线，
，
，，
由（2）得，，
，，
，，即，，
在和中，
，.
3．在中， ，为内一点，连接，，延长到点，使得.
（1） 如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：;
（2） 连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明.
（1） 证明：在和中，
，
，.
又，.
（2） 解：.
证明：延长至点，使，连接，，
， ，.
由（1）可得，，.
，.
是直角三角形，且 .
， ，
在中，，
，.
类型2 构造、倍数量关系
4．在中， ，点在上，点在上，点在的延长线上，连接，，.
（1） 如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系：_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图2，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由；
（3） 在（2）的条件下，当点是的中点时，连接，求的值.
【答案】 解：（1）
（2）.理由如下：
当时，，
， ，
，
过点作交于点，
，，
又，，
，
，，
，，
，.
（3） ，，
，设，
点是的中点，，
， ，
，，，
过点作于，
， ，
，，
，
.
5．在菱形和正三角形中， ，是的中点，连接、.
（1） 如图1，当点在边上时，写出与的数量关系.（不必证明）
（2） 如图2，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
（3） 如图3，当点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系？写出你的猜想（不必证明）.
【答案】解:（1） .
（2） 猜想：.证明如下：
如图，延长交于点，连接，，
，是等边三角形，
，，
四边形为菱形，，，
，.
又，,
，
，.
又 ，
，
，，
，
，，
， ，
.
（3） .
【解析】
（3） 如图，延长到，使，连接，，，过点作，则.
是线段的中点，，
又，，
，
，.
四边形为菱形，,
,
， ，
，，
.
四边形是菱形，
， ，
易知点，，在同一直线上，
，
三角形是正三角形，，，，
，，
，即 ，
，，
， ，
.
6．在中， ，，线段绕点逆时针旋转至不与重合，旋转角记为 ，的平分线与射线相交于点，连接.
（1） 如图①，当 时，的度数是_ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图②，当 时，求证：；
（3） 当 ，时，请直接写出的值.
【答案】（1） 解：
（2） 证明：延长到，使，连接.
，，.
平分，，
又，，
，，.
，，
， ，
又 ， ，
， ，
， ，
，
又，，
，
， ，
.
在中，，
，
，
.
（3） 解:或.
模型五 一线三等角模型
方法解读
类型1 非直角型一线三等角
1．如图，等边三角形的边长为，动点从点出发以的速度沿向点匀速运动，过点作，交边于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧，当点落在边上时，点需运动_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】设点的运动时间为，由题意得，，
， ，
和是等边三角形，
，，
，
当点落在上时， ，
，
，
，
易得，，解得.
2．[2023湖北黄冈]如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转 到线段，若点的坐标为，则_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】过点作轴，垂足为，则，，将绕点顺时针旋转 得到，
，，，
，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为.
，
.
.
易知，
，，，
，，
在中，，
，
解得.
类型2 直角型一线三等角
3．[2023贵州]如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，， ，过点作射线，垂足为，点在上.
（1） 【动手操作】
如图2，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转 与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_ _ _ _ 度；
（2） 【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3） 【拓展延伸】
如图3，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转 与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由.
解:（1）如图1所示； 135；
图1
（2）.理由如下：
如图2，过点作交于点，
图2
为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
， ，，
又，，即，
， ， 易得，
易证，.
（3） 或.
理由如下：
分两种情况讨论：
①当点在线段上时，如图3，过点作交射线于点，
， ， ，，
易证，，，
又，.
图3
②当点在线段的延长线上时，
如图4，过点作交射线于点，
图4
同①可证,
则.
综上所述，，，之间的数量关系为或.
模型六 手拉手模型
方法解读
1.两个顶角相等且共顶角顶点的等腰三角形形成的图形是手拉手模型.
2.分类：双等腰三角形、双等边三角形、双等腰直角三角形、双正方形等，如图：
3.双等腰三角形中的重要结论（以上面图①为例）
结论 ； .
结论 .
结论 平分 .
类型1 双等腰三角形
1．[2023山东烟台]如图，点为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且.在线段上取一点，使，连接，.
（1） 如图1，求证：；
图1
（2） 如图2，若，的延长线恰好经过的中点，求的长.
图2
【答案】
（1） 证明：由题意可知，，
，.
，，
.
， ，
，.
，，.
，，
，.
（2） 解:取的中点，连接，如图，
是的中点，是的中位线，
，，
设，
是的中点，
.
，.
由（1）知，.
，，
，
，即，
解得或（舍去）.
经检验，是所列方程的解，且符合题意.
.
2．综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.
（1） 发现问题：如图1，在和中，，， ，连接，，延长交于点，则与的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 类比探究：如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3） 拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形， ，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，则，，之间的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） 实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足 ，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】 解:（1） ；30
（2）， .
理由： ，
，即，又，，
，
，，
，，
，
.
（3） .
（4） 或.
【解析】
（1） ，
，
又，，
，
，，
设，交于点，
，
.
（4） 如图所示，连接，以为直径作圆，以点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点，，
延长至，使得，
则是等腰直角三角形， ，
，，
，，，
，，
，，
在中，，
，
,
过点作于点，设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得，则，
设，交于点，则是等腰直角三角形，连接，
，
在和中，
，
，
又，，
，
，
，，
，
在中，,
.
综上所述，或.
类型2 双等边三角形
3．[2025重庆]在中,,点是边上一点（不与端点重合）,连接.将线段绕点逆时针旋转 得到线段,连接.
（1） 如图1, , ,求的度数.
（2） 如图2, ,,过点作,交的延长线于,连接.点是的中点,点是的中点,连接,.用等式表示线段与的数量关系并证明.
（3） 如图3, , ,,连接,.点从点移动到点过程中,将绕点逆时针旋转 得线段,连接,作交的延长线于点.当取最小值时,在直线上取一点,连接,将沿所在直线翻折到所在的平面内,得,连接,,,当取最大值时,请直接写出的面积.
解：（1）， ，
是等边三角形，
，
由旋转得 ，
，
.
（2） ，证明如下：
如图，连接，，
，，
，
由旋转知， ，
，
即，
，
，
， ，
.
，
，
，
，，
，
，.
点是的中点， ，
，
，
，
，
即 .
点是的中点， ，
，，
是等腰直角三角形，
，即.
（3） .
【提示】取中点，中点，连接，，，通过证明，得出 ，由点为固定点， ，得点在过点且垂直于的线段上运动，由垂线段最短可得，当取最小值时，点和点重合，此时，由翻折可知，则点在以点为圆心，为半径的圆上，由点到圆上一点的最大距离可知当、、共线且在延长线上时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明 ，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过证明，求出，可求出，再利用即可求解.
类型3 双等腰直角三角形
4．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为旋转中心顺时针旋转，点为直线、的交点.若，.以下结论：
第4题图
；；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为.其中正确结论有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，，， ，
，，
，，故①正确；
设 ， ，
，
，故②正确；
当点在的延长线上时，如图所示：
， ，
，，
，，
，，
，，故③正确；
④如图所示，以为圆心，长为半径画圆，
， 当在的下方与相切时，的值最小，此时 ，
四边形是矩形，
又， 四边形是正方形，，
，
，
在中，，
，故④正确.故选.
5．如图，，和都是等腰直角三角形， ，点在内，，连接交于点，交于点，连接，.给出下面四个结论：；；；.其中所有正确结论的序号是_ _ _ _ .
第5题图
【答案】①③④
【解析】，和都是等腰直角三角形， ，，，，，
，，，，
，，故①正确；
，
，，，故③正确；
， ， ，，
，，故②错误；
，，
四边形是平行四边形，
，故④正确.故答案为①③④.
6．[2023四川遂宁]如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连接、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时， ；；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点.正确的有_ _ _ _ .（填序号）
【答案】①②④
【解析】当时，是等边三角形，
，
，
、是等腰直角三角形，
，，
又，，
，故①正确.
、是等腰直角三角形，
，， ，
，，
，，故②正确.
如图，设交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，，，
，，，
，故③错误.
如图所示，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，
，
又， ,
.
同理得，.
，，
，
又， ，
，
，即为线段的中点，故④正确.
综上，正确的有①②④.
类型4 双正方形
7．如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、，交于点，与交于点，连接、，则下列结论一定正确的是 （ ）
；；平分； .
A. ①③ B. ①②③ C. ②③ D. ①②④
【答案】D
【解析】 四边形、四边形是正方形，
，，，
，
即，
，
，
，
，
又，
， ，
，故①正确；
取的中点，连接，，如图，
在中，为斜边的中点，
，
在中，为斜边的中点，
，，
，，，四点共圆，
，
又，
，故②正确；
，
，
,,,四点共圆，
， ，故④正确；
由已知不能证明平分，故③错误.
综上，正确的结论是①②④，故选.
8．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以为边长向外作正方形，将正方形绕点顺时针旋转.
图① 图② 图③
特例感知：
（1） 当在上时，连接，相交于点，小红发现点恰为的中点，如图①，针对小红发现的结论，请给出证明.
（2） 小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是的中点，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由.
规律探究：
（3） 如图③，将正方形绕点顺时针旋转 ，连接，点是的中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由.
【答案】
（1） 证明：连接，，，如图，
四边形、四边形都是正方形，
， ，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，，
，即点为的中点.
（2） 解:是等腰直角三角形.
理由如下：
四边形、四边形都是正方形，
，
， ，
是等腰直角三角形.
（3） 解:的形状不发生改变.
理由：延长至点，使，连接，，
四边形、四边形都是正方形，
， ，，，，
点为的中点，，
，,
，
，，
，，，
设交于点，交于点，
，
，，
，
，
，，
又，,
，
，，
，
，即 ，
又，，
，，
是等腰直角三角形.
模型七 半角模型
方法解读
识别：一个大角内有一个和它共顶点，且大小是它一半的小角.如图， .
作法：以公共顶点为旋转中心，将其余两小角旋转到一起，构造全等三角形.如图，把 绕点 旋转得到，连接,得.
应用：全等的边、角性质.
类型1 正方形含半角
1．如图，正方形中，的两边分别与边，交于点，，，分别交于点，，且 .
（1） 当 时，求的度数；
（2） 设 ，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含 的代数式表示）；
（3） 求证：.
【答案】
（1）解: 四边形为正方形，
，
当 时， ，
.
（2） 解：.
（3） 证明：将绕点顺时针旋转 得到，
易得，，三点共线，
由旋转可知，，
，
，
又,
.
.
2．[2025安徽]已知点在正方形内，点在边上，是线段的垂直平分线，连接，.
（1） 如图1，若的延长线经过点，，求的长.
（2） 如图2，点是的延长线与的交点，连接.
（ⅰ） 求证： ；
（ⅱ） 如图3，设，相交于点，连接，，，若，判断的形状，并说明理由.
【答案】
（1） 解:由垂直平分线的性质知,,,又因为,
所以,所以 .
又因为 ,所以是等腰直角三角形,
所以，因为四边形是正方形，所以.
（2） （ⅰ） 证明:由题意知,故,，所以 ，
所以 .
（ⅱ） 解:是等腰直角三角形.理由如下:
设 ,则 .
因为,所以 .
因为,所以 ,所以 .
因为,所以.
所以 ,所以 .
所以 .
故,
又因为,,
所以.
所以,.
由知 ,所以 .
又因为,所以为等腰直角三角形.
类型2 等腰直角三角形含半角
3．如图，是等腰直角三角形，， ，，分别是边，上的点，以，为邻边作矩形，,分别交于，.设，，且.
（1） 判断由线段，，组成的三角形的形状，并说明理由.
（2） ① 当时，求的度数.
② 当时，①中的结论是否成立？并说明理由.
【答案】
解:（1）由线段，，组成的三角形是直角三角形.理由如下：
在矩形中，，，，， ，
是等腰直角三角形，
，
， ，
又 ， ，
，，均为等腰直角三角形，
，，，，，.
，，，
，，，
，，
又，
，
由线段，，组成的三角形是直角三角形.
（2） ① 如图，连接，
，，,矩形为正方形.
在等腰中，，
，，.
在正方形中， ，
，
在等腰中，，
，，
.同理可得，
.
② 当时，①中的结论仍然成立， .理由如下：
如图，过点作，且，连接，，
则 ，
，
又，，
，
，，
由（1）知，
又，，
在中，，
，
又为和的公共边，，
，
.
，
，
又 ，
.
类型3 含角的等腰三角形或菱形含半角
4．问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法，在四边形中，， ， ，点，分别是，上的点，且 ，连接，探究线段，，之间的数量关系.
（1） 探究发现：如图①，小明同学的方法是将绕点逆时针旋转 至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出结论：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 拓展延伸：如图②，在四边形中，， ，点，分别是边，上的点，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（3） 尝试应用：如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且 ，连接，已知，，求正方形的边长.
【答案】 解:（1） .
（2）结论仍然成立.
证明：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
由旋转可得，，，，，
，，
，
，
,,三点共线，
在和中，
，，
又，，
.
（3） 如图，将绕点逆时针旋转 至的位置，使得与重合，
，，， ，
，
,,三点共线，
， ，
，
，
又，，
，
，
，，
.
设正方形的边长是，
在中，，，，
即，解得，（舍去），
正方形的边长是6.
模型八 对角互补模型
类型1 全等型
1．已知是的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为.
（1） 填空：当 ，，时.
① 如图1，若 ，，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
图1
② 如图2，若 ，，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ；
图2
（2） 如图3，当 时，探究与，的数量关系，并说明理由；
图3
（3） 如图4，当 ， ，，时，请写出的大小，并说明理由.
图4
【答案】解:① ；25
② 4；
（2） .理由如下：
如图，过点作于点，于点，交的延长线于点.
是的角平分线，.
，
.
又 ，
，
.
，
， ，
即 ,
.
.
，，
，
，，，
.
（3） .
理由：如图，过点作于点，于点.
，，平分，
，
,
,
,,
又 ,
,
,把绕点顺时针旋转 得到，则 ，，过点作于点，
，
.
类型2 相似型
2．[2023浙江丽水]如图，在四边形中，， ，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】是以为腰的等腰直角三角形，
， , ,
, ,
,
,
点，，，四点共圆，点在以为直径的圆上，如图，连接，
则 ， ,
,
,
,
,
，
.故选.
3．综合与实践：
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上.
探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则 （依据1）.
，
.
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
点，在点，，所确定的上（依据2），
点，，，四点在同一个圆上.
（1） 反思归纳：上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
依据2：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 如图3，在四边形中，， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
图3
（3） 拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接.作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，.
图4
① 求证：，，，四点共圆.
② 若，的值是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.
【答案】解:（1） 圆内接四边形的对角互补；过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆.
（2）
（3） ① 证明：，
，
点与点关于对称，
，
，
，，，四点共圆.
② 的值不会发生变化.
如图，作出过，，，四点的圆.
，，，四点共圆，
，
点与点关于对称，
，
，
，，
，，
，
又，
，，
，
又，.
模型九 利用垂线段最短求最值
类型1 垂线段最短
1．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，在的上方作，使 ， ，点为的中点，连接，当的值最小时，的面积为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】连接，，与交于点，如图，
，点为的中点，
，
， ，
是等边三角形，
，
由旋转得，
，垂直平分，
，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
此时 ，
，
易知 ，
，
，
易知，
由勾股定理得，
，
.
2．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题：
如图1，中，，.点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点顺时针旋转 到线段，连接.
图1 图2 图3
（1） 求证：，，，四点共圆；
（2） 如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3） 如图3，已知 ，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心与点距离的最小值.
（1） 证明：由旋转可得 ，，，
，，
，
，
， ，
，，，四点共圆.
（2） 证明：连接并延长交于点，连接，
，
，，
，
，，，
为的直径， ，
，
，即，
又为半径，是的切线.
（3） 解:.
【解析】
（3） 点是四边形的外接圆的圆心，
点在线段的垂直平分线上，
设的垂直平分线交于点，交于点，连接,
过点作，垂足为，此时的值最小.
，为的中点，
，
，，
, ，
，，
，，
易得，，，
，
圆心与点距离的最小值为.
类型2 “胡不归”问题
方法解读
在求最值的问题中，常见的是求某条线段长度的最值，或 的最值，除此之外我们还会遇到求形如 的最值，此类问题一般又分为两类：①“胡不归”问题；②阿氏圆问题.
【“胡不归”问题背景】从前有个少年外出求学，某天得知老父亲病危，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻的位置 到家 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老父亲刚咽了气，少年追悔莫及失声痛哭，
邻居告诉少年，他父亲弥留之际不断念叨着：“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）
如图，如果少年先沿着驿道 走一段 不妨设走到点，再走砂石地，能不能更早到家？
【问题探究】走驿道的速度比走砂石地的速度更快，设走驿道的速度为，走砂石地的速度为，则，求最短时间，即为求 的最小值，那么何时 的值最小呢？
【问题解决】对 变形处理，得，因为，是定值，所以问题转化为求 的最小值.因此需要在图中构造出长度为 的替换线段.
我们在驿道 直线 下方作一条射线，使得，过点 作 于点，则，则，原问题转化为当点 在什么位置时，取最小值，显然根据垂线段最短，过点 作 的垂线,垂足为，与 交于点，则 即为所求,为 的最小值.
3．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，过点作于，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形， ，
，，
，
当点，点，点三点共线且时，取最小值，为的长，
，，
，，
的最小值为.
4．如图，在中，，，，交于点.点为线段上的动点，求的最小值.
解:如图，过点作于点，过点作于点.
交于点，，，，在中，由勾股定理得，.在中，，，
当、、三点在同一条直线上时，的值最小，为的长.
在中，，，即的最小值为.
模型十 利用轴对称的性质求最值
类型1 两点一线型
角度1 异侧线段和最小值问题
方法解读
如图，为直线 上一动点，、是直线两侧的两个定点，要求 的最小值，需连接，则 的最小值等于 的长.
理论依据：两点之间线段最短.
1．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
2．如图，，两点的坐标分别为，，在轴上找一点，使线段的值最小，则点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，连接交轴于点，
根据两点之间线段最短可知即为所求.
设直线的关系式为，
则解得
，
当时，，
.故答案为.
角度2 同侧线段和最小值问题
方法解读
如图，为菱形的对角线上一动点，、是对角线一侧的两个定点，要求 的最小值，需找到点 或点 关于 点所在直线的对称点，如 的对称点，再连接，则 的最小值就等于 的长.
理论依据：两点之间线段最短.
3．[2023内蒙古通辽]如图，在扇形中， ，平分交于点，点是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，作点关于的对称点，连接,,，
则，，，
， 当、、三点共线时，的值最小，即阴影部分的周长最小，最小值为的长的长.
平分， ，
，
， ，
在中，，
，
又的长，
阴影部分周长的最小值为.
4．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，有下列四个结论：垂直平分；的最小值为；；.其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①③
【答案】D
【解析】 四边形为正方形，
， ，
，，
.
， ，
，
，
，
平分，.
又，，
垂直平分，故①正确.
，，
，，
，又，
，故③正确.
四边形为正方形，且边长为4，
，
在中，.
，
，
.
设的边上的高为，
则的边上的高也为，
，
，，
.故④错误.
连接,垂直平分,点在上，,,
过点作，交于点，交于点，如图所示，
的长即为的最小值，
，的最小值为.故②错误.
综上所述，正确的是①③.
故选.
5．如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】作点关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线，交于点，如图，
由题意得，落在上，易知，当点与点重合时，取得最小值.
设正方形的边长为，
则，，
四边形是正方形，
， ，，
，
，
，.
，
，
，
，
，
，
当取得最小值时，的值是.
角度3 同侧线段差最大值问题
方法解读
如图，为直线 上一动点，、为直线 一侧的两个定点，有，当且仅当 点为 所在直线与直线 的交点时取等号.
理论依据：三角形的任意两边之差小于第三边.
6．如图，两点、在直线外的同侧，到的距离，到的距离，，在直线上运动，则的最大值等于_ _ _ _ .
【答案】5
【解析】如图，连接并延长交于点，当点在上运动时，，
当点运动到点时，的值最大.过点作，垂足为，易知四边形是矩形，
则，，
.
的最大值为5.
角度4 异侧线段差最大值问题
方法解读
解此类问题的关键是将异侧线段转化成同侧的，再参考同侧线段差最大值问题的解题思路求解.
理论依据：三角形的任意两边之差小于第三边.
7．如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】如图所示，以直线为对称轴作的对称点，连接并延长交于点，连接，，
易知点为中点，
根据轴对称性质可知，，
，
当点与点重合时取等号，
正方形的边长为8，
，
为的中点，，
为的中点，，
，，
，，
，
，
，易知 ，
为等腰直角三角形，
，的最大值为2.
类型2 两线一点型
角度1 利用对称及垂线段最短求线段和最小值问题
8．已知在中， ， ，，点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作关于的对称点，连接并延长交的延长线于点，连接，
易知 ，，，
当,,三点共线且该直线与垂直时，的值最小.作于，在中，.
线段的最小值是.
角度2 利用对称和两点之间线段最短求线段和最小值问题
9．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的动点，当的周长最小时，点，的坐标分别为 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，如图，
则，，
，此时的周长最小.由得，，
，又 ，
是等腰直角三角形，
，
、关于对称，
， ，
的坐标为，
，
的坐标为，
由，可得直线的关系式为，在中，令，得，
的坐标为，
由得
的坐标为.故选.
角度3 利用对称和三角形的三边关系求线段差最大值问题
10．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，.若，，则的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】延长交于点，作点关于的对称点，连接，则在上移动，作关于的对称线段，则关于的对称点在上移动，连接,,，故的长最大时，取到最大值，此时与重合，与重合，的最大值为的长.
取的中点，连接，则.
，，，.
易证，
，即，
，，
.
易证，
，即，
，.
的最大值为.
类型3 两线两点型
11．如图，矩形中，，，点在对角线上，过点作，分别交边，于点，，过点作交于点，连接，，.下列结论：;②四边形的面积不变；③当时，；的最小值是20.其中所有正确结论的序号是_ _ _ _ .
【答案】②③④
【解析】①当点与点重合时，可知，故①错误；
②如图，延长交于点，
， ，
，
， ，
，
，
易得 ，
，
，易得，，
，解得，
，故四边形的面积不变，故②正确；
③当时，易证，
，即，解得，
易证，，即，解得，故③正确；
④过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连接，
则四边形为平行四边形，
，
则，又，
故当,,三点共线时，的值最小，最小值为的长，易知，，
，
的最小值为，故④正确.
故正确结论的序号是②③④.
类型4 定点定长型
角度1 “造桥选址”问题
方法解读
【问题背景】如图，和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从 地到 地的路径 最短？（假设河两岸、平行，桥 与河岸垂直，地到 的距离大于河宽）
【问题探究】由于桥长 是定值，因此要求“路径 最短”，实际上就是“的值最小”.如图，我们不妨将 平移到 处，使 与 重合，则 与 重合，连接，由平移的性质知 的值最小，即 的值最小，由“两点之间线段最短”知，连接，与 的交点即为桥的一个端点.
12．如图，在矩形中，，.若点是边上的一个动点，过点作且分别交对角线、直线于点、，则在点移动的过程中，的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，过点作于点.
四边形是矩形，
，
又 ，
四边形是矩形，，
，
，
， ，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
即，
，.
设，则，
的长是定值，
当的值最小时，的值最小，
，
要求的最小值可以转化为在直角坐标系中，在轴上找一点，使得到，的距离和最小.
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长，
，，
，
的最小值为，
的最小值为.
角度2 “将军遛马”问题
方法解读
此问题同“造桥选址”问题类似.如图所示，的长度是定值，、是两个定点，要使 的值最小，需使 的值最小.
我们不妨将 平移到 处，使 与 重合，则 与 重合，由平移的性质知.那么 的值最小，就是 的值最小，问题转化成直线同侧两线段和最小值问题.作 点关于直线 的对称点，连接，与 的交点记为，当 点在 处时，的值最小.
13．如图，矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．[2023四川自贡]如图，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段上一动点，点是直线上的一动点，动点，，连接，，.当取最小值时，的最小值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】 直线与轴，轴分别交于点，，
，，
作点关于轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点，交轴于点，过点作交轴于点，则四边形是平行四边形，
此时，，取最小值，为的长，
作轴于点，
则，，
，
，
，
，即，
，则，
设直线的解析式为，
则解得
直线的解析式为，
联立得解得
即.
设直线与轴的交点为，
过点作轴于点，交于点，此时取得最小值.
易得，则，
，
，
，
即的最小值是.
模型十一 与圆有关的最值问题
类型1 辅助圆的构造
角度1 定点定长类辅助圆
方法解读
类型 一点作圆 三点定圆
图示
特点 平面内，点 为定点，点 为动点，且 长度固定
结论 点 在以点 为圆心，长为半径的圆上运动 点，，均在 上运动
1．如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
第1题图
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图， 点为坐标平面内一点，，
在半径为1的上.
在轴负半轴上取，连接.
为的中点，，
又，.
当的值最大时，的值最大.
当在的延长线上时，的值最大.
， ，
.的最大值.
的最大值.
2．如图，在中， ,,,为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得,连接,,则面积的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
第2题图
【答案】
【解析】由翻折得，
是的中点，，
即点的运动轨迹是以点为圆心，以长为半径的圆弧.
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，交圆于，则，此时到边的距离最小，最小值为的长，即此时面积的值最小.
在中， ，
，
，，
,,
,
面积的最小值为.
解法提示
点 在以点 为圆心，长为直径的圆上运动.
角度2 定长定角类辅助圆
方法解读
图示
特点 在 中，为定长,为定角度
结论 （1）当 时，点 在优弧 上运动（不与点,重合），； （2）当 时，点 在 上运动（不与点，重合），为直径； （3）当 时，点 在劣弧 上运动（不与点，重合），
推论 构成等腰三角形 时，点 到 的距离最大，且此时 的面积最大
3．如图，四边形为矩形，已知，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为 （ ）
第3题图
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，取的中点，连接，.
四边形是矩形，
，.
.
，
.
.
点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的的一部分.
，
.
的最小值为.故选.
4．船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心让船与两个灯塔连线的夹角不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点，，，，，，是网格线交点，当船航行到点的位置时，无触礁危险.那么，对于，，，四个位置，船处于_ _ _ _ 时，也一定无触礁危险（ ）
第4题图
A. 位置 B. 位置 C. 位置 D. 位置
【答案】B
5．知识再现
如图1，在中, ,,,的对边分别为,,.
，，,.
.
拓展探究．如图2,在锐角中,,,的对边分别为,,.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
解决问题．如图3,为测量点到河对岸点的距离,选取与点在河岸同一侧的点,测得, , .请用拓展探究中的结论,求点到点的距离.
图1 图2 图3
解：拓展探究 如图，作的外接圆，连接并延长，交于点,连接,则.
设的直径为.
是的直径,
.
在中,,
,即.
同理可得,,
故.
解决问题 在中, .
由拓展探究中的结论,得,即,
.
答:点到点的距离为.
类型2 点到圆上一点的距离最值问题
方法解读
图示
特点 平面内有一定点，动点 在以点 为圆心，长为半径的圆上运动（点 在 外），求线段 的最值
结论 （1）当点 在线段 上时，线段 的值最小； （2）当点 为线段 的延长线与 的交点时，线段 的值最大
6．如图，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7．如图，在四边形中， ，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，设的中点为，以为直径画圆，连接交于点.
，
.
，
.
点在以为直径的圆的一部分上运动，当点运动到与的交点时，取得最小值.
，.
，
的最小值.
8．如图，在正方形中，，为边上一点，为边上一点.连接和交于点，连接.若，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
类型3 阿氏圆
方法解读
【背景故事】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如图1，已知，两点，点 满足，则满足条件的所有的点 构成的图形为圆，最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称为“阿氏圆”.
图1
【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造“母子”型相似三角形.
问题：在圆上找一点，使得的值最小，解决步骤具体如下：
①如图2，将式子中系数不为1的线段两端点与圆心相连，即连接，；
②计算出这两条线段的长度比，即；
③在上取一点，使得，即构造，则，得到；
，当、、三点共线时取最小值.
图2
9．如图，已知正方形的边长为6，圆的半径为3，点是圆上的一个动点，则的最大值为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，连接，在上取一点，使得，连接，.
，，
，
，，
，，
，易得，
当，，三点共线，且点在线段上时，，即取最大值，为的长.
四边形是正方形，
.
在中，.
故的最大值为.
10．【新知探究】新定义：已知平面内两定点，，所有满足为定值，且的点形成的图形是圆，我们把这种圆称为“阿氏圆”.
【问题解决】如图，在中，，，求面积的最大值.
解：如图，以为顶点，为边，在外部作，与的延长线交于点，
，，
，
，
，，
，
，解得，
，， 点为定点，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，如图，过点作的垂线，交圆于点，连接，，当点在处时，的面积最大，
面积的最大值为.
模型十二 瓜豆模型
方法解读
思考 如图1，是圆 上一个动点，为定点，连接，点 为线段 的中点，那么当点 在圆 上运动时，点的运动轨迹是什么？
探究 考虑到 点始终为线段 的中点，当，，三点不共线时，如图2，连接，取 的中点，连接,,那么在任意时刻，均有，易得相似比为，故，即，则 点运动轨迹是以线段 的中点 为圆心，的长为半径的圆.
同理思考，如图3，点 是定点，点 是直线 上的动点，连接，作线段，且使.根据上面的探究，容易知道如果 点的运动轨迹是直线，那么 点的运动轨迹也是直线.
图3
例题 如图4，在 中，， ，是 的中点，是直线 上的一个动点，连接，将线段 绕点 逆时针旋转 得到，连接，在点 运动的过程中，请画出线段 的长最小时，点 的位置.
图4
分析：此题中，点 为定点，线段，长度相等，又是定角，点的运动轨迹为直线，则根据瓜豆模型，可判断 点的运动轨迹也为直线.那么我们就可以找到两点确定出点 所在的直线.如图5，当点 分别与点，重合时，按题意旋转线段，分别得到点，，则直线 就是点 的运动轨迹，再根据垂线段最短可知，当点 在如图所示的位置时，线段 的长最小.
图5
总结 若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动轨迹形状相同.主动点在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线；主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是圆.这种主从联动轨迹问题，我们称之为瓜豆模型（瓜豆原理），其本质知识点是全等和相似.
1．如图，是边长为6的等边三角形，点为高上的动点.连接，将绕点顺时针旋转 得到.连接，，，则周长的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】为高上的动点，
，
将绕点顺时针旋转 得到，是边长为6的等边三角形，
， ，，.
易证，
，
作点关于直线的对称点，连接交射线于点，设交射线于点，则 ，垂直平分,.
在中， ，则，.
的周长,
当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
易证，
.
在中，，
周长的最小值为.
2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则线段长的最小值是_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】如图，作点关于轴的对称点，则的坐标为.
当点在轴上时，记为，则.
当点在轴上时，与重合.
易知的轨迹为过，两点的直线，设为.
过点作于点，
当与重合时，线段最短.
易知，
，
.
线段长的最小值为2.
3．如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转 得到线段，连接，.若，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，连接，将绕点逆时针旋转 得到，
的运动轨迹是以为圆心，1为半径的半圆，
的运动轨迹是以为圆心，1为半径的半圆，
如图，当，，三点共线时，的值最小，
四边形是正方形，
， ，
是的中点，
，
，
由旋转得， ，
，
的最小值为.
4．【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角尺按照如图1所示的方式摆放.其中 ， ，.
图1 图2 图3
图4
【问题探究】
小昕同学将三角尺绕点按顺时针方向旋转.
（1） 如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长；
（2） 若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离；
（3） 连接，取的中点，三角尺由初始位置（图1）旋转到点、、首次在同一条直线上（图3），求点所经过的路径长；
（4） 如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
解：（1） 由题意得 ，
在中， ，，，
.
（2） ①当点在上方时，
如图1，过点作于点，
图1
在中， ， ，，
.
在中， ， ，，，
.
点，，在同一条直线上，且 ，
.
又 在中，，，
，
.
，
.
②当点在下方时，如图2，
图2
在中， ，，，
.
.
过点作，垂足为.
，
.
综上，点到直线的距离为.
（3） 如图3，取的中点，连接，则.
图3
点在以为圆心，为半径的圆上.
三角尺由初始位置绕点顺时针旋转到点、、首次在同一条直线上，点的轨迹为 的圆心角所对的圆弧，圆弧长为 .
点所经过的路径长为 .
（4） .
【解析】
（4） 如图4，由（3）可知点在以为圆心，为半径的圆上.
过作于，延长交于，则的长即为点到直线的距离的最大值.
图4
在中， ，，
.
.
点到直线的距离的最大值是.
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2026中考数学专题练
突破一 常见模型
模型一 三角形双角平分线模型
类型1 两个内角平分线
方法解读
双内角平分线型
识别 平分， 平分
结论
1．如图，，分别平分，，求证:.
2．如图，在中， ，于点，和的平分线相交于点，为边的中点，，则的度数是（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．如图，中，，， ，则_ _ _ _ .
第3题图
类型2 一个内角平分线与一个外角平分线
方法解读
一内一外平分线型
识别 平分， 平分
结论
4．如图，中，延长到，和的平分线相交于点，爱动脑筋的小明同学在写作业时，发现如下规律：
若 ，则 ；
若 ，则 ；
若 ，则 .
（1） 根据上述规律，若 ，则_ _ _ _ ；
（2） 请你用数学表达式归纳出与的数量关系，并证明你的结论．
5．如图，在中， ，是的外角的平分线，平分，与的反向延长线相交于点，则的度数为_ _ _ _ ．
类型3 两个外角平分线
方法解读
双外角平分线型
识别 平分， 平分
结论
6．如图，,分别平分,，求证:.
7．在中， ．当，时，求的度数（用含 的代数式表示）．
8．如图，在中， ，，为的外角，与的平分线交于点，与的平分线交于点， ，与的平分线相交于点.
（1） 的度数为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则的值为_ _ _ _ .
模型二 倍长中线模型
方法解读
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.
所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
【方法精讲】如图1，在 中，是 边上的中线.
方式1：如图2，延长 到 ，使 ，连接 .
方式2（间接倍长） 如图3，作 于 ，作 交 的延长线于 .
②如图4，在 上任取一点 ，连接 ，延长 到 ，使 ，连接 .
1．倍长中线的关键在于倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：①线段一个端点是图中一条线段的中点；②线段与线段不共线），然后进行连接，构造全等三角形，再进一步将某些线段进行等量代换，证明全等或其他的结论，从而解决问题.
【应用举例】
如图1，已知为的中线，求证：.（无需作答）
简证：如图2，延长到，使得，连接，易证，得_ _ _ _ _ _ ，在中， _ _ _ _ _ _ ，即.
【问题解决】
（1） 如图3，在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：；
（2） 如图4，在中， ，是边的中点，、分别在边、上，，若，，求的长；
（3） 如图5，是的中线，，，且 ，请直接写出与的数量关系及位置关系.
2．【观察发现】 如图①，中，，，点为的中点，求的取值范围.
小明的解法如下：延长到点，使，连接.
在与中，
，
_ _ _ _ _ _ .
又 在中，，，，
_ _ _ _ _ _ _ _ .
又，
_ _ _ _ _ _ _ _ .
【探索应用】 如图②，，，，点为的中点，，则的长为_ _ _ _ .
【应用拓展】 如图③， ， ，，，连接，为的中点，求证：.
3．有公共顶点的正方形与正方形按如图1所示的方式放置，点，分别在边和上，连接，，是的中点，连接交于点.
【观察猜想】
（1） 线段与之间的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ，位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【探究证明】
（2） 将图1中的正方形绕点顺时针旋转 ，点恰好落在边上，如图2，其他条件不变，线段与之间的关系是否仍然成立？并说明理由.
模型三 “8”字模型
方法解读
“8”字模型：
或
识别 有一组角是对顶角的两个三角形，如图
结论 除对顶角之外，若有一组角和一组边分别对应相等，则两个三角形全等；若仅有一组角相等，则两个三角形相似
应用 全等和相似的边、角性质
1．如图，在平行四边形中，是线段上一点，连接，交于点.若，则_ _ _ _ _ _ .
2．如图，中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 点是线段上一点，满足，交于点，若，，求的长.
3．如图，，分别是的内、外角平分线，,在直线上，过作的垂线交的延长线于，连接并延长交于，求证：.
模型四 截长补短模型
类型1 构造相等线段
1．[2023湖北武汉]问题提出 如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与 的数量关系；（无需作答）
问题探究
（1） 先将问题特殊化，如图2，当 时，直接写出的大小；
（2） 再探究一般情形，如图1，求与 的数量关系；
问题拓展 将图1特殊化，如图3，当 时，若，求的值.
2．如图， ，，，.
（1） 直接写出与的数量关系；
（2） 延长到，使，延长到，使，连接.求证：；
（3） 在（2）的条件下，连接,作的平分线，交于点，求证：.
3．在中， ，为内一点，连接，，延长到点，使得.
（1） 如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：;
（2） 连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明.
类型2 构造、倍数量关系
4．在中， ，点在上，点在上，点在的延长线上，连接，，.
（1） 如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系：_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图2，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由；
（3） 在（2）的条件下，当点是的中点时，连接，求的值.
5．在菱形和正三角形中， ，是的中点，连接、.
（1） 如图1，当点在边上时，写出与的数量关系.（不必证明）
（2） 如图2，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明.
（3） 如图3，当点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系？写出你的猜想（不必证明）.
6．在中， ，，线段绕点逆时针旋转至不与重合，旋转角记为 ，的平分线与射线相交于点，连接.
（1） 如图①，当 时，的度数是_ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图②，当 时，求证：；
（3） 当 ，时，请直接写出的值.
模型五 一线三等角模型
方法解读
类型1 非直角型一线三等角
1．如图，等边三角形的边长为，动点从点出发以的速度沿向点匀速运动，过点作，交边于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧，当点落在边上时，点需运动_ _ _ _ .
2．[2023湖北黄冈]如图，已知点，点在轴正半轴上，将线段绕点顺时针旋转 到线段，若点的坐标为，则_ _ _ _ _ _ .
类型2 直角型一线三等角
3．[2023贵州]如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，， ，过点作射线，垂足为，点在上.
（1） 【动手操作】
如图2，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转 与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_ _ _ _ 度；
（2） 【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3） 【拓展延伸】
如图3，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转 与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由.
模型六 手拉手模型
方法解读
1.两个顶角相等且共顶角顶点的等腰三角形形成的图形是手拉手模型.
2.分类：双等腰三角形、双等边三角形、双等腰直角三角形、双正方形等，如图：
3.双等腰三角形中的重要结论（以上面图①为例）
结论 ； .
结论 .
结论 平分 .
类型1 双等腰三角形
1．[2023山东烟台]如图，点为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且.在线段上取一点，使，连接，.
（1） 如图1，求证：；
图1
（2） 如图2，若，的延长线恰好经过的中点，求的长.
图2
2．综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.
（1） 发现问题：如图1，在和中，，， ，连接，，延长交于点，则与的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 类比探究：如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3） 拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形， ，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，则，，之间的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） 实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足 ，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
类型2 双等边三角形
3．[2025重庆]在中,,点是边上一点（不与端点重合）,连接.将线段绕点逆时针旋转 得到线段,连接.
（1） 如图1, , ,求的度数.
（2） 如图2, ,,过点作,交的延长线于,连接.点是的中点,点是的中点,连接,.用等式表示线段与的数量关系并证明.
（3） 如图3, , ,,连接,.点从点移动到点过程中,将绕点逆时针旋转 得线段,连接,作交的延长线于点.当取最小值时,在直线上取一点,连接,将沿所在直线翻折到所在的平面内,得,连接,,,当取最大值时,请直接写出的面积.
类型3 双等腰直角三角形
4．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为旋转中心顺时针旋转，点为直线、的交点.若，.以下结论：
第4题图
；；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为.其中正确结论有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，，和都是等腰直角三角形， ，点在内，，连接交于点，交于点，连接，.给出下面四个结论：；；；.其中所有正确结论的序号是_ _ _ _ .
第5题图
6．[2023四川遂宁]如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连接、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时， ；；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点.正确的有_ _ _ _ .（填序号）
类型4 双正方形
7．如图，正方形与正方形有公共顶点，连接、，交于点，与交于点，连接、，则下列结论一定正确的是 （ ）
；；平分； .
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
8．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以为边长向外作正方形，将正方形绕点顺时针旋转.
图① 图② 图③
特例感知：
（1） 当在上时，连接，相交于点，小红发现点恰为的中点，如图①，针对小红发现的结论，请给出证明.
（2） 小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是的中点，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由.
规律探究：
（3） 如图③，将正方形绕点顺时针旋转 ，连接，点是的中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由.
模型七 半角模型
方法解读
识别：一个大角内有一个和它共顶点，且大小是它一半的小角.如图， .
作法：以公共顶点为旋转中心，将其余两小角旋转到一起，构造全等三角形.如图，把 绕点 旋转得到，连接,得.
应用：全等的边、角性质.
类型1 正方形含半角
1．如图，正方形中，的两边分别与边，交于点，，，分别交于点，，且 .
（1） 当 时，求的度数；
（2） 设 ，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含 的代数式表示）；
（3） 求证：.
2．[2025安徽]已知点在正方形内，点在边上，是线段的垂直平分线，连接，.
（1） 如图1，若的延长线经过点，，求的长.
（2） 如图2，点是的延长线与的交点，连接.
（ⅰ） 求证： ；
（ⅱ） 如图3，设，相交于点，连接，，，若，判断的形状，并说明理由.
类型2 等腰直角三角形含半角
3．如图，是等腰直角三角形，， ，，分别是边，上的点，以，为邻边作矩形，,分别交于，.设，，且.
（1） 判断由线段，，组成的三角形的形状，并说明理由.
（2） ① 当时，求的度数.
② 当时，①中的结论是否成立？并说明理由.
类型3 含角的等腰三角形或菱形含半角
4．问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法，在四边形中，， ， ，点，分别是，上的点，且 ，连接，探究线段，，之间的数量关系.
（1） 探究发现：如图①，小明同学的方法是将绕点逆时针旋转 至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出结论：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 拓展延伸：如图②，在四边形中，， ，点，分别是边，上的点，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（3） 尝试应用：如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且 ，连接，已知，，求正方形的边长.
模型八 对角互补模型
类型1 全等型
1．已知是的角平分线，点，分别在边，上，，，与的面积之和为.
（1） 填空：当 ，，时.
① 如图1，若 ，，则_ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
图1
② 如图2，若 ，，则_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ ；
图2
（2） 如图3，当 时，探究与，的数量关系，并说明理由；
图3
（3） 如图4，当 ， ，，时，请写出的大小，并说明理由.
图4
类型2 相似型
2．[2023浙江丽水]如图，在四边形中，， ，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
3．综合与实践：
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上.
探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则 （依据1）.
，
.
点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
点，在点，，所确定的上（依据2），
点，，，四点在同一个圆上.
（1） 反思归纳：上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
依据2：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 如图3，在四边形中，， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
图3
（3） 拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接.作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，.
图4
① 求证：，，，四点共圆.
② 若，的值是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.
模型九 利用垂线段最短求最值
类型1 垂线段最短
1．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，在的上方作，使 ， ，点为的中点，连接，当的值最小时，的面积为_ _ _ _ .
2．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题：
如图1，中，，.点是边上的一动点（点不与，重合），将线段绕点顺时针旋转 到线段，连接.
图1 图2 图3
（1） 求证：，，，四点共圆；
（2） 如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3） 如图3，已知 ，，点是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心与点距离的最小值.
类型2 “胡不归”问题
方法解读
在求最值的问题中，常见的是求某条线段长度的最值，或 的最值，除此之外我们还会遇到求形如 的最值，此类问题一般又分为两类：①“胡不归”问题；②阿氏圆问题.
【“胡不归”问题背景】从前有个少年外出求学，某天得知老父亲病危，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻的位置 到家 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老父亲刚咽了气，少年追悔莫及失声痛哭，
邻居告诉少年，他父亲弥留之际不断念叨着：“胡不归？胡不归？……”（“胡”同“何”）
如图，如果少年先沿着驿道 走一段 不妨设走到点，再走砂石地，能不能更早到家？
【问题探究】走驿道的速度比走砂石地的速度更快，设走驿道的速度为，走砂石地的速度为，则，求最短时间，即为求 的最小值，那么何时 的值最小呢？
【问题解决】对 变形处理，得，因为，是定值，所以问题转化为求 的最小值.因此需要在图中构造出长度为 的替换线段.
我们在驿道 直线 下方作一条射线，使得，过点 作 于点，则，则，原问题转化为当点 在什么位置时，取最小值，显然根据垂线段最短，过点 作 的垂线,垂足为，与 交于点，则 即为所求,为 的最小值.
3．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
4．如图，在中，，，，交于点.点为线段上的动点，求的最小值.
模型十 利用轴对称的性质求最值
类型1 两点一线型
角度1 异侧线段和最小值问题
方法解读
如图，为直线 上一动点，、是直线两侧的两个定点，要求 的最小值，需连接，则 的最小值等于 的长.
理论依据：两点之间线段最短.
1．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．如图，，两点的坐标分别为，，在轴上找一点，使线段的值最小，则点的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ .
角度2 同侧线段和最小值问题
方法解读
如图，为菱形的对角线上一动点，、是对角线一侧的两个定点，要求 的最小值，需找到点 或点 关于 点所在直线的对称点，如 的对称点，再连接，则 的最小值就等于 的长.
理论依据：两点之间线段最短.
3．[2023内蒙古通辽]如图，在扇形中， ，平分交于点，点是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，有下列四个结论：垂直平分；的最小值为；；.其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
5．如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是_ _ _ _ _ _ .
角度3 同侧线段差最大值问题
方法解读
如图，为直线 上一动点，、为直线 一侧的两个定点，有，当且仅当 点为 所在直线与直线 的交点时取等号.
理论依据：三角形的任意两边之差小于第三边.
6．如图，两点、在直线外的同侧，到的距离，到的距离，，在直线上运动，则的最大值等于_ _ _ _ .
角度4 异侧线段差最大值问题
方法解读
解此类问题的关键是将异侧线段转化成同侧的，再参考同侧线段差最大值问题的解题思路求解.
理论依据：三角形的任意两边之差小于第三边.
7．如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为_ _ _ _ .
类型2 两线一点型
角度1 利用对称及垂线段最短求线段和最小值问题
8．已知在中， ， ，，点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
角度2 利用对称和两点之间线段最短求线段和最小值问题
9．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的动点，当的周长最小时，点，的坐标分别为 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
角度3 利用对称和三角形的三边关系求线段差最大值问题
10．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，.若，，则的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
类型3 两线两点型
11．如图，矩形中，，，点在对角线上，过点作，分别交边，于点，，过点作交于点，连接，，.下列结论：;②四边形的面积不变；③当时，；的最小值是20.其中所有正确结论的序号是_ _ _ _ .
类型4 定点定长型
角度1 “造桥选址”问题
方法解读
【问题背景】如图，和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从 地到 地的路径 最短？（假设河两岸、平行，桥 与河岸垂直，地到 的距离大于河宽）
【问题探究】由于桥长 是定值，因此要求“路径 最短”，实际上就是“的值最小”.如图，我们不妨将 平移到 处，使 与 重合，则 与 重合，连接，由平移的性质知 的值最小，即 的值最小，由“两点之间线段最短”知，连接，与 的交点即为桥的一个端点.
12．如图，在矩形中，，.若点是边上的一个动点，过点作且分别交对角线、直线于点、，则在点移动的过程中，的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
角度2 “将军遛马”问题
方法解读
此问题同“造桥选址”问题类似.如图所示，的长度是定值，、是两个定点，要使 的值最小，需使 的值最小.
我们不妨将 平移到 处，使 与 重合，则 与 重合，由平移的性质知.那么 的值最小，就是 的值最小，问题转化成直线同侧两线段和最小值问题.作 点关于直线 的对称点，连接，与 的交点记为，当 点在 处时，的值最小.
13．如图，矩形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
14．[2023四川自贡]如图，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段上一动点，点是直线上的一动点，动点，，连接，，.当取最小值时，的最小值是_ _ _ _ _ _ .
模型十一 与圆有关的最值问题
类型1 辅助圆的构造
角度1 定点定长类辅助圆
方法解读
类型 一点作圆 三点定圆
图示
特点 平面内，点 为定点，点 为动点，且 长度固定
结论 点 在以点 为圆心，长为半径的圆上运动 点，，均在 上运动
1．如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．如图，在中， ,,,为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得,连接,,则面积的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
第2题图
解法提示
点 在以点 为圆心，长为直径的圆上运动.
角度2 定长定角类辅助圆
方法解读
图示
特点 在 中，为定长,为定角度
结论 （1）当 时，点 在优弧 上运动（不与点,重合），； （2）当 时，点 在 上运动（不与点，重合），为直径； （3）当 时，点 在劣弧 上运动（不与点，重合），
推论 构成等腰三角形 时，点 到 的距离最大，且此时 的面积最大
3．如图，四边形为矩形，已知，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为 （ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要留心让船与两个灯塔连线的夹角不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格，点，，，，，，是网格线交点，当船航行到点的位置时，无触礁危险.那么，对于，，，四个位置，船处于_ _ _ _ 时，也一定无触礁危险（ ）
第4题图
A．位置 B．位置 C．位置 D．位置
5．知识再现
如图1，在中, ,,,的对边分别为,,.
，，,.
.
拓展探究．如图2,在锐角中,,,的对边分别为,,.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
解决问题．如图3,为测量点到河对岸点的距离,选取与点在河岸同一侧的点,测得, , .请用拓展探究中的结论,求点到点的距离.
图1 图2 图3
类型2 点到圆上一点的距离最值问题
方法解读
图示
特点 平面内有一定点，动点 在以点 为圆心，长为半径的圆上运动（点 在 外），求线段 的最值
结论 （1）当点 在线段 上时，线段 的值最小； （2）当点 为线段 的延长线与 的交点时，线段 的值最大
6．如图，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中， ，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
8．如图，在正方形中，，为边上一点，为边上一点.连接和交于点，连接.若，则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
类型3 阿氏圆
方法解读
【背景故事】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如图1，已知，两点，点 满足，则满足条件的所有的点 构成的图形为圆，最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称为“阿氏圆”.
图1
【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造“母子”型相似三角形.
问题：在圆上找一点，使得的值最小，解决步骤具体如下：
①如图2，将式子中系数不为1的线段两端点与圆心相连，即连接，；
②计算出这两条线段的长度比，即；
③在上取一点，使得，即构造，则，得到；
，当、、三点共线时取最小值.
图2
9．如图，已知正方形的边长为6，圆的半径为3，点是圆上的一个动点，则的最大值为_ _ _ _ _ _ .
10．【新知探究】新定义：已知平面内两定点，，所有满足为定值，且的点形成的图形是圆，我们把这种圆称为“阿氏圆”.
【问题解决】如图，在中，，，求面积的最大值.
模型十二 瓜豆模型
方法解读
思考 如图1，是圆 上一个动点，为定点，连接，点 为线段 的中点，那么当点 在圆 上运动时，点的运动轨迹是什么？
探究 考虑到 点始终为线段 的中点，当，，三点不共线时，如图2，连接，取 的中点，连接,,那么在任意时刻，均有，易得相似比为，故，即，则 点运动轨迹是以线段 的中点 为圆心，的长为半径的圆.
同理思考，如图3，点 是定点，点 是直线 上的动点，连接，作线段，且使.根据上面的探究，容易知道如果 点的运动轨迹是直线，那么 点的运动轨迹也是直线.
图3
例题 如图4，在 中，， ，是 的中点，是直线 上的一个动点，连接，将线段 绕点 逆时针旋转 得到，连接，在点 运动的过程中，请画出线段 的长最小时，点 的位置.
图4
分析：此题中，点 为定点，线段，长度相等，又是定角，点的运动轨迹为直线，则根据瓜豆模型，可判断 点的运动轨迹也为直线.那么我们就可以找到两点确定出点 所在的直线.如图5，当点 分别与点，重合时，按题意旋转线段，分别得到点，，则直线 就是点 的运动轨迹，再根据垂线段最短可知，当点 在如图所示的位置时，线段 的长最小.
图5
总结 若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动轨迹形状相同.主动点在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线；主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是圆.这种主从联动轨迹问题，我们称之为瓜豆模型（瓜豆原理），其本质知识点是全等和相似.
1．如图，是边长为6的等边三角形，点为高上的动点.连接，将绕点顺时针旋转 得到.连接，，，则周长的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则线段长的最小值是_ _ _ _ .
3．如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转 得到线段，连接，.若，，则的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
4．【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角尺按照如图1所示的方式摆放.其中 ， ，.
图1 图2 图3
图4
【问题探究】
小昕同学将三角尺绕点按顺时针方向旋转.
（1） 如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长；
（2） 若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离；
（3） 连接，取的中点，三角尺由初始位置（图1）旋转到点、、首次在同一条直线上（图3），求点所经过的路径长；
（4） 如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
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