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2026中考数学专题练
突破二 重难题型
题型一 规律探究
类型1 数式变化类
1．[2024江苏扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5, ,这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数为（ ）
A. 676 B. 674 C. 1 348 D. 1 350
【答案】D
【解析】这列数为1，1，2，3，5，8，13，21，34， ，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，
，即前2 024个数中共有674组，且余2个数， 奇数有（个）．
2．[2023四川内江]对于正数，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A. 199 B. 200 C. 201 D. 202
【答案】C
【解析】，
，
，
……
，
.
3．[2024河北]“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
图1 图2
A. “20”左边的数是16
B. “20”右边的“”表示5
C. 运算结果小于6 000
D. 运算结果可以表示为
【答案】D
【解析】设三位数从左到右数字分别为，，，两位数从左到右数字分别为，.根据题图2可得，，，所以，，由于，，，，都是一位数，所以，，进而可得，，所以“20”左边的数是8，“20”右边的“”表示4，排除选项、；易得“”上边的数是，则运算结果可以表示为，选项正确；当时，运算结果为，排除选项.故选.
4．[2024宁夏]观察下列等式：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：.
……
按照以上规律，第个等式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：.
……
按照以上规律，第个等式为.
5．[2025四川成都]分子为1的真分数叫作“单位分数”,也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和,如:.将拆分成两个单位分数相加的形式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；一般地,对于任意奇数,将拆分成两个不同单位分数相加的形式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】；
【解析】.
当时，，
当时，，
当时，，
……
当时，，
又， 对于任意奇数，
.
6．[2025浙江]【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》,书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示,其中“三乘”对应的展开式:
.
【应用体验】
已知,则的值为_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】，
，.
类型2 图形变化类
7．[2025重庆]按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点， 按照这一规律,则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A. 32 B. 28 C. 24 D. 20
【答案】C
【解析】第①个图中有个圆点，
第②个图中有个圆点，
第③个图中有个圆点，
第④个图中有个圆点，
……
则第个图中有个圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是.
故选.
8．[2024山东济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形， 按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A. 90 B. 91 C. 92 D. 93
【答案】B
【解析】第一幅图中正方形的个数为；
第二幅图中正方形的个数为；
第三幅图中正方形的个数为；
……
第六幅图中正方形的个数为.
9．[2024重庆A卷]烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种（如图①）有4个氢原子，第2种（如图②）有6个氢原子，第3种（如图③）有8个氢原子， 按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 （ ）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
【答案】B
【解析】由题中所给模型图可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为；
……
所以第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为，
当时，，
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22.
10．[2024江苏盐城]发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢
图1
分析问题．某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有个籽，每列有个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为,均为正整数，,,如图1所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
图2 图3 图4
方案1：．图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为_ _ _ _ _ _ _ _ ，共铲_ _ _ _ _ _ 行，则铲除全部籽的路径总长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
方案2：．图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
方案3：．图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题．在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短 请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.
解:分析问题 方案1： ；；.
方案2： .
方案3： .
解决问题 ，
方案1的路径总长大于方案2的路径总长.
，
，
，
，
方案2的路径总长大于方案3的路径总长.
方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是最短的路径，减少了对菠萝的损耗.
类型3 点的坐标变化类
11．[2024江苏盐城三模]如图，平面直角坐标系中，，，， 都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，， ，则根据图示规律，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题图可知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
……
所以点的坐标为为正整数，
当时，
，，
所以点的坐标为，
因为，
所以点的坐标为.
12．[2024山东聊城]任取一个正整数，若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中,均为正整数.例如，点经过第1次运算得到点,经过第2次运算得到点,以此类推，则点经过2 024次运算后得到点_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题意得，点经过第1次运算后得到点,经过第2次运算后得到点,经过第3次运算后得到点,经过第4次运算后得到点, ,以三次为一循环，而，故经过第2 024次运算后得到点.
13．[2024黑龙江龙东地区]如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；……如此下去，则的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】由题知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
……
由此可见，点的坐标每12个循环一次，
因为，
所以点的坐标为.
14．[2024黑龙江齐齐哈尔校级模拟]如图，在平面直角坐标系中，有一个， ， ，直角边在轴非负半轴上，点在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转 ，同时把各边长扩大为原来的两倍（即），得到；然后将绕原点逆时针旋转 ，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到；……依此规律，得到，则的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在中， ，，
，
由题意得，，
，
……
，
，
在第四象限，与轴正半轴夹角为 ，
点的横坐标为，纵坐标为，
故答案为.
题型二 多解题
类型1 代数类问题
1．[2023四川凉山州]已知是完全平方式，则的值是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
2．[2023山东日照]已知反比例函数且的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的值：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（满足都可以）
3．[2023四川巴中]规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”.例如：函数与互为“函数”.若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】①当时，函数的解析式为，
此时函数的图象与轴只有一个交点，
当时，，解得，
函数的图象与轴的交点坐标为，
则它的“函数”图象与轴的交点坐标为.
②当时， 函数的图象与轴只有一个交点，
，
解得，
函数的解析式为，
当时，，
解得，
函数的图象与轴的交点坐标为，
则它的“函数”图象与轴的交点坐标为.
综上所述，它的“函数”图象与轴的交点坐标为或.
类型2 点位置不确定类问题
4．如图，在四边形中， ，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为，下列结论正确的是（ ）
A. 当时，四边形为矩形
B. 当时，四边形为平行四边形
C. 当时，
D. 当时，或6
【答案】D
【解析】由题意得，，，，
当时，，，
则，
四边形不是矩形，选项不符合题意.
当时，，，
则，
四边形不是平行四边形，选项不符合题意.
过点作于点，则 ， 四边形是矩形，，，
当，且与不平行时，如图.
过点作于点，
易知四边形是矩形，，，，，
，解得.
当，且时，如图.
易得四边形是平行四边形，
，
，解得.
综上，当时，或6，选项不符合题意，选项符合题意.故选.
5．[2023浙江绍兴]如图，在菱形中， ，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】 四边形为菱形， ，
.
①当点在点上方时，记点为，
， ，
.
②当点在点下方时，记点为，
， ，
.
综上所述，的度数为 或 .
6．[2023河南]矩形中，为对角线的中点，点在边上，且.当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】2或
【解析】①当 时，，又为的中点，是的中位线，.
②当 时，易知垂直平分，连接，则，
.
③当 时，不符合题意，舍去.
综上，的长为2或.
7．[2023湖南衡阳]如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线.
备用图
（1） 求的值.
（2） 将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值，都是点到直线的距离最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3） 抛物线上是否存在点，使 ？若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1） 把代入得，解得.
（2） 存在.
如图，过点作轴的平行线交直线于点，过点作于点.
令，解得，，令，则， 点的坐标为，点的坐标为.
设直线的解析式为，
把，代入得解得
直线的解析式为，
直线的解析式为.
易知直线与轴的夹角（锐角）为 ，
为等腰直角三角形.
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
，
,
当时，取最大值，此时点的坐标为，
即存在点，无论取何值，都是点到直线的距离最大.
（3） 存在.
当点在直线下方时，在轴上取点，连接，直线交抛物线于点（异于点），如图，
，， ，
，， ，
设直线的解析式为，把，代入得解得 直线的解析式为.
当点在直线上方时，在轴上取点，使得，连接，过点作交抛物线于点，
，
，， ，
，，
，
设直线的解析式为，把，代入得解得 直线的解析式为，又，且过点， 直线的解析式为.
综上所述，直线的解析式为或.
类型3 图形不确定类问题
8．[2023黑龙江龙东地区]矩形中，，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】6或或
【解析】由题意可知点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，
如图，当点在的延长线与圆的交点处时，是直角三角形，点到直线的距离为的长度，即.
当过点的直线与圆相切于点时，是直角三角形，分两种情况.
①如图，过点作交于点，交于点，
四边形是矩形，，
，
四边形是矩形，.
，，，
由勾股定理可得，
，
，
到直线的距离.
②如图，过点作交于点，的延长线交于点，
同理可得，
到直线的距离.
综上，点到直线的距离是6或或.
9．如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点，是边上的动点，当为直角三角形时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】如图，连接.
与相切, .
设,则,
在中，,
,解得,
,.
是直角三角形,
当与重合时，记为， ,此时;
②当 时，将记为，
易得,
，即，即,
.
综上所述，当为直角三角形时，的长为或.
10．[2023江苏无锡]二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或或
【解析】，令，得，令，得，，
，
不妨令，，
设直线的解析式为，
解得
直线的解析式为，当时，， 直线与轴交于点.
，，
点必在内部.
设直线的解析式为，
解得
则直线的解析式为.
情况1：当分成两个三角形时，的中线落在该直线上，
①如图1，当直线过中点时，的中点坐标为，代入求得，不成立.
②如图2，当直线过中点时，的中点坐标为，代入求得，符合题意.
③如图3，当直线过中点时，的中点坐标为，，
必不成立.
图1 图2 图3
情况2：当分成三角形和梯形时，过点的直线必与的一边平行， 必有“”型相似， 过点的直线将分成面积相等的两部分， 相似比为.
①如图4，当直线时，交于点.
，
，
，，符合题意.
②如图5，当直线时，
，，
，
过点作轴于点，
，
， 不成立.
③如图6，当直线时，,，，，过点作轴于点，，，，
，解得，符合题意.
图4
图5
图6
综上所述，或或.
11．[2023浙江绍兴]在平行四边形中（顶点，，，按逆时针方向排列），，，为锐角，且.
图1 图2
（1） 如图1，求边上的高的长.
（2） 是边上的一动点，点，同时绕点按逆时针方向旋转 得点，.
① 如图2，当点落在射线上时，求的长；
② 当是直角三角形时，求的长.
【答案】（1） 解：在中，，在中，.
（2） ① 如图1，作于点，由（1）得，.
作交的延长线于点，则 ，
.
图1
，
.
由旋转知，，
设，则，，
.
，，，
，
，即，
，.
② 由旋转得，，，
又，.
情况一：当为直角顶点时，连接,,如图2.
图2
，落在线段的延长线上.
，，由（1）知，，.
情况二：当为直角顶点时，如图3.
图3
延长交于点，
作于点.由（1）知，，
.
， ，
， ，
.
又 ，，
，
，.
设，则，，
，
，，
，
，，
，
化简得，解得，
.
情况三：当为直角顶点时，
点落在的延长线上，不符合题意.
综上所述，或.
题型三 实际应用题
类型1 行程与工程问题
1．[2024内蒙古赤峰]一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等.
（1） 求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2） 为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
解：（1） 设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
根据题意得，解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意.
.
答：甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米.
（2） 设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，.
又，
.
，随的增大而减小.
当时，取最大值，最大值为.
答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米.
2．[2025天津]已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上,书店离家,公园离家.小华从家出发,先匀速步行了到书店,在书店停留了,之后匀速步行了到公园,在公园停留后,再用匀速跑步返回家.下面图中表示时间,表示离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
（1） ① 填表:
小华离开家的时间/ 1 6 18 50
小华离家的距离/ _ _ _ _ 0.6 _ _ _ _ _ _ _ _
② 填空:小华从公园返回家的速度为_ _ _ _ ；
③ 当时,请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式.
（2） 若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以的速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中,对于同一个的值,小华离家的距离为,小华的妈妈离家的距离为,当时,求的取值范围（直接写出结果即可）.
解：（1）① 0.1；0.6；1.8
② 0.12
③
（2） .
【解析】
③ 小华去书店的速度为，
当时，；
由题图可知，当时，；
当时，设函数解析式为，
将，代入解析式得解得
.
综上，
（2） 根据题意画出如下图象，
小华妈妈的速度为，
，
当时，，解得；
令，解得.
结合图象，当时，.
类型2 方案问题
3．[2025贵州]贵州省铜仁市被誉为“中国抹茶之都”,这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间.为满足市场需求,某抹茶车间准备安装、两种型号生产线.已知同时开启一条型和一条型生产线每月可以生产抹茶共,同时开启一条型和两条型生产线每月可以生产抹茶共.
（1） 求一条型和一条型生产线每月各生产抹茶多少吨;
（2） 为扩大生产规模,另一车间准备同时安装相同型号的、两种生产线共5条,该车间接到一个订单,要求4个月生产抹茶不少于,至少需要安装多少条型生产线
【答案】
解：（ 1）设一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶，
根据题意得解得
答：一条型生产线每月生产抹茶，一条型生产线每月生产抹茶.
（2） 设安装条型生产线，则安装条型生产线，
根据题意得，解得，
为正整数，
的最小值为3.
答：至少需要安装3条型生产线.
4．[2025内蒙古]智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘,一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下,该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果,它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25.
（1） 求的值.
（2） 现需要一定数量的苹果发往外地,采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的机械手,那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不少于10 000
解：（1）根据题意得，
解得.
（2） 设需要个这样的机器人，
根据题意得，
解得，
又为正整数，
的最小值为6.
答：至少需要6个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000.
类型3 购买、销售问题
5．[2025广西]自2025年5月9日起至2025年12月31日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下:
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内 其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
（1） 周六小悦一家从湖南市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元.求此行程的高速费实付多少元，比原价优惠了多少元.（用代数式表示）
（2） 周日他们从A市到市（全程在广西境内）,高速费实付27.55元；周一从市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.
解：（1）此次行程高速费原价为元，
实付元，
优惠了元.
（2） 设此行程中A市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元，
由题意得
解得
答：此行程中A市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元.
6．[2025湖北]某商店销售A,B两种水果水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克.
（1） 小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
（2） 妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果千克.
① 若这两种水果按标价出售,求的取值范围.
② 小明到这家商店后,发现A,B两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折.（注:“打七五折”指按标价的出售）若小明合计付款48元,求的值.
解:（1）设A水果买了千克，B水果买了千克，
由题意得解得
答：A水果买了2千克，B水果买了1千克.
（2） ① 由题意得小明买B水果千克.
，
解得，
又，的取值范围为.
② 由题意得，
解得.
答：的值为1.25.
类型4 几何图形（面积）问题
7．[2025北京]北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产，为制作一只京燕风筝,小明准备了五根直竹条（如图1）:一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2）,其头部高、胸腹高与尾部高的比是.已知单根膀条长是胸腹高的5倍,门条比单根膀条短,图1中的长是门条长的,,的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
图1 图2
解:设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长为，，，头部高为，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，
由题图1可知，
即，
解得，所以.
答：这只风筝的骨架的总高为.
8．[2023江苏徐州]如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形.设的长为，四边形的面积为.
（1） 求关于的函数表达式.
（2） 当取何值时，四边形的面积为10？
（3） 四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
解：（1） 将正方形纸片剪去4个全等的直角三角形，
， ，，
，
同理可得 ， 四边形为正方形，
在中，，， ，，
正方形的面积.
，的长均大于0，，
关于的函数表达式为.
（2） 令，得，
整理，得，解得，，
故当的长取1或3时，四边形的面积为10.
（3） 存在.
正方形的面积，
,
当时，有最小值8，即四边形的面积的最小值为8.
类型5 抛物线型问题
9．[2025山西]综合与实践
问题情境:青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人,其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据:仿青蛙机器人从水平地面起跳,并落在水平地面上,其运动路线的最高点距地面,起跳点与落地点的距离为.
数学建模:如图1,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线,其顶点为,对称轴为直线,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为,落地点为.以为原点,所在直线为轴,过点与所在水平地面垂直的直线为轴,建立平面直角坐标系.
图1
（1） 请直接写出顶点的坐标,并求该抛物线的函数表达式.
问题解决:已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变,即抛物线的形状不变.
（2） 如图1,若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳,落地点为,点的坐标为,点在轴的正半轴上.求起跳点与落地点的水平距离.
（3） 实验表明:仿青蛙机器人在跃过障碍物时,与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于,才能安全通过.如图2,水平地面上有一个障碍物,其纵切面为四边形,其中 ,,,.仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台,仿青蛙机器人从平台上起跳,则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计,障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）.
图2
解：（1） 顶点的坐标为.
设抛物线的函数表达式为.
由题意得点的坐标为.将代入，
得.
解得.
抛物线的函数表达式为.
（2） 由题意得，过点的抛物线是由（1）中的抛物线沿直线向上平移得到的，顶点为，
其函数表达式为.
当时，.
解得,（不符合题意，舍去）.
点的坐标为.
起跳点与落地点的水平距离为.
（3） .
【提示】设平台的高度为，如图，建立平面直角坐标系，设直线的函数解析式为,把，代入得解得
直线的函数解析式为.
设线段上任意一点的坐标为，则过点平行于轴的直线与抛物线的交点的坐标为，
.
,, 当时，取最小值.
令，
解得.
该平台的高度为.
题型四 圆的相关计算与证明
类型1 圆中不规则图形的面积计算
角度1 直接和差法
方法解读
1．如图，在中， ，，将绕点逆时针旋转 后得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2．如图,在扇形中, ,半径,将扇形沿过点的直线折叠,点恰好落在上的点处,折痕交于点,则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，
根据折叠的性质可得，，，，
，即是等边三角形， ，
.
， ，，
. 阴影部分的面积为.
3．[2023重庆A卷]如图，是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（结果保留）
【答案】
角度2 构造和差法
方法解读
4．[2024山东烟台一模]如图，在中， ， ，.以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】过点作于，连接，
， ，，
，，
.
由题意得，
是等边三角形，
， ，
在中，，
.
5．如图，等腰直角三角形中，,以为直径的半圆交斜边于点，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．[2024山西临汾二模]如图，两个半径均为4的圆完全重合叠放在一起，让其中的一个圆绕着直径的一端沿逆时针方向旋转 后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，，过点作于，
由旋转知 ，
，
为直径， ，
又， ，
，
，
， ，
，
，
阴影部分的面积为.
角度3 等积转化法
方法解读
7．如图,在半径为2,圆心角为 的扇形内，以为直径作半圆,交弦于点,连接,则图中阴影部分的面积是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】在中，，
是半圆的直径， .
在等腰直角三角形中，垂直平分，，.
.
8．如图所示，是半径为2的外一点,,是的切线,为切点,弦,连接.求阴影部分的面积.
解:连接，，
，和同底等高，，.
为的切线，.
，，，
.
， .
，是等边三角形.
.
.
9．如图所示，扇形与扇形的圆心角均为 ,连接,.若,,求阴影部分的面积.
解: 扇形和扇形的圆心角都是 ，
.
又，，
.
可以看作是绕点顺时针旋转 得到的.
.
10．[2023内蒙古包头]如图，正方形的边长为2，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ .
【答案】
【解析】 四边形是正方形，
，， ，，
正方形的边长为2，
，
阴影部分的面积等于扇形的面积，即 .
11．如图,在中， , ,,将绕点顺时针旋转,使点落在的延长线上的点处,则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中， ， ，
，
将绕点顺时针旋转得到，， ， 阴影部分的面积.
角度4 容斥原理
方法解读
把图形的各部分标序号,分成若干个图形,利用各部分规则图形之间的兼容与排斥,进行加减抵消,最终求出阴影部分的面积.
例:②,④,.
,而 就是我们要求的阴影部分的面积.
12．[2023四川广安]如图，在等腰直角三角形中， ，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在等腰直角三角形中， ，，
，
阴影部分的面积.
13．如图，正方形的边长为2,分别以,为圆心，以正方形的边长为半径作弧相交于点,那么图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】连接，，过点作于点，，
为等边三角形，
， ，
，，
.
类型2 与圆的切线有关的证明与计算
14．[2025湖南]如图，的顶点，在上，圆心在边上， ，与相切于点，连接.
（1） 求的度数；
（2） 求证：.
（1） 解：与相切于点，
，
，
，
.
（2） 证明：，
，
， ，
，
，
.
15．[2025山东威海]如图,是的切线,点为切点.点为上一点,射线,交于点,连接,点在上,过点作,交于点,作,垂足为点,.
（1） 求证:是的切线；
（2） 若,,求的半径.
（1） 证明：如图，连接，
，，
.
在与中，
，
，
是的切线，点为切点，
，
，
，
，
，
，，
是的半径，
是的切线.
（2） 解：在中， ，，，
，
，
在中， ，,
.的半径为.
16．[2025新疆]如图,为的直径,为上一点,于点,,交于点,交于点.
（1） 求证:是的切线；
（2） 若,,求的长.
（1） 证明：，
,
，,
，
，
，，
，即.
是的半径，
是的切线.
（2） 解：为的直径，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
又，
，.
，
，，
.
设，则，则，
，，.
，，
，，
，
，
解得（舍负），
，.
17．[2025甘肃]如图,四边形的顶点,,在上,,直径与弦相交于点.点是延长线上的一点,.
（1） 求证:是的切线；
（2） 若四边形是平行四边形，，求的长.
【答案】
（1） 证明:如图,连接,可得,
,.
,,
.
是的直径,
,即 .
,
,即.
为的半径,是的切线.
（2） 解： 四边形是平行四边形,
.
又,,
,.
,
是菱形.
.
为等边三角形,
.
在中,.
18．[2025天津]已知与相切于点,, ,与相交于点,为上一点.
图① 图②
（1） 如图①,求的大小；
（2） 如图②,当时,与相交于点,延长与相交于点,若的半径为3,求和的长.
解：（1）如图，连接.
与相切于点，
.又,
平分.
, .
在中，,
.
（2） 如图，连接,
同（1）得 .
， .
为的一个外角，
.
为的直径，
,.
在中，，
,
,.
19．[2025江苏连云港]已知是的高,是的外接圆.
图1 图2 图3
（1） 请你在图1中用无刻度的直尺和圆规,作的外接圆（保留作图痕迹,不写作法）；
（2） 如图2,若的半径为,求证:；
（3） 如图3,延长交于点,过点的切线交的延长线于点，若,, ,求的长.
（1） 解:如图所示，即为所求.
（2） 证明：如图，作的直径，连接，
，，
是的高， ，
，，
，即，.
（3） 解:如图，连接，
为的切线，为半径，
，
， ，
，
， ，
，
是等边三角形， ，
， ，
，.
在中，， ，，
，，
在中，，
在中，，
由（2）得，
.
题型五 二次函数性质综合题
类型1 交点问题
1．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】或
【解析】如图，当抛物线经过点时，，解得.
当抛物线经过点时，，解得.
当时，抛物线与线段只有一个公共点.
当抛物线顶点在线段上时，关于的方程，即有唯一解，，解得或（舍去）.
综上，的取值范围是或.
2．已知二次函数及一次函数，将轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】如图，
令，解得，，则，，
则沿轴翻折到轴下方的这部分图象的解析式为，即，
当直线经过点时，，解得.
当直线与抛物线有唯一公共点时，令，即，则，解得.
所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为.
3．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1） 求点，点的坐标；
（2） 如图，过点的直线与抛物线的另一个交点为，点为抛物线对称轴上的一点，连接，，设点的纵坐标为，当时，求的值；
（3） 将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
解：（1）令，则，解得，， 点的坐标为，点的坐标为.
（2） 联立得得，解得或，
又，
，代入，得，
，
易知抛物线的对称轴为直线，，
，，
.
（3） 或或.
类型2 整点问题
4．[2023云南]数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性.形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数 （实数为常数）的图象为图象.
（1） 求证:无论取什么实数，图象与轴总有公共点.
（2） 是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点 若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由.
（1） 证明：当，即时，为一次函数，其图象与轴有公共点；
当，即时，为二次函数，，因此图象与轴有公共点.
综上所述，无论取什么实数，图象与轴总有公共点.
（2） 解：存在整数，使图象与轴的公共点中有整点.
由是整数得.
令，解得，.
，且是整数，是整数，
是奇数，6是的倍数，
或.
由得或，
由得或.
综上，存在整数，使图象与轴的公共点中有整点，整数的值为或或0或1.
类型3 恒成立问题
5．[2023北京]在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线.
（1） 若对于，，有，求的值；
（2） 若对于，，都有，求的取值范围.
解：（1） 对于，，有，
抛物线的对称轴为直线，.
（2） ，，
离对称轴较近，
与所连线段的中点在对称轴的右侧，
，
，，
..
类型4 函数最值问题
6．[2023贵州]图①是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1.
图① 图② 备用图
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最小，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3） 为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于或等于9.求的取值范围.
解：（1） 抛物线的对称轴与轴重合，
设抛物线的表达式为，
，，，，
将，代入，
得解得
抛物线的表达式为.
（2） 抛物线的表达式为，点到对称轴的距离是1，当时，，.
作点关于轴的对称点，则，连接，当点位于与轴的交点处时，取最小值.
设直线的解析式为，
将，代入，得解得
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，位置如图所示.
（3） 中，，
抛物线开口向下.
抛物线的对称轴为直线.
当时，在这个范围内，当时，取最小值，最小值为，
则，解得，.
当时，在这个范围内，当时，取最小值，最小值为，
则，解得，.
综上可知，或，即的取值范围为.
类型5 其他性质综合题
7．若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称为函数的“共同体函数”.
（1） ① 若函数，，求函数的“共同体函数”的值；
② 若函数，，为常数，求函数的“共同体函数”的解析式.
（2） 若函数，求函数的“共同体函数”的最大值.
（3） 已知函数，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）① 当时，，
对于函数，
，随的增大而增大.
当时，取得最大值，此时；
当时，取得最小值，此时.
.
② 对于函数，
当时，，
当时，，
（2） 由题意可得，解得，
由反比例函数的图象可得，
， 函数的“共同体函数”的最大值是.
（3） 存在，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值.
，
函数的最大值是，
当时，.
当时，
.
当时，
.
当时，.
函数的“共同体函数”的最小值是，此时.
令，解得.
题型六 二次函数与几何图形综合题
类型1 与线段有关的问题
方法解读
解决二次函数线段问题的关键是化斜为直.
竖直线段长度 纵坐标之差，即
将斜线段转化为竖直线段：
1．[2025湖南]如图，已知二次函数的图象过点，连接，点，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点.
（1） 求此二次函数的表达式.
（2） 如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当时，求证：；
②当时，求证：.
（3） 如图2，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，，记，试探究：当为何值时，有最大值.并求出的最大值.
（1） 解：将代入得，
，解得，
.
（2） 证明：设直线的解析式为，把代入得，，
，
直线的解析式为，
由题意得，，，，
,,
，
，.
选择①：当时，
，
整理得，
，
，
，即.
选择②：当时，
，
整理得，
，即，
，即.
（3） 解:如图，延长交轴于点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，.
，，
，，
又，，
，
，
，，
.
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得
直线的解析式为，
当时，，即，
又，.
直线的解析式为，
，
又，，
，即.
又，.
，.
，.
又，
，
，，
.
当时，取得最大值，为.
类型2 与图形面积有关的问题
方法解读
铅垂法
三角形的面积公式: 水平宽×铅垂高；
2．抛物线经过点和点，且这个抛物线的对称轴为直线，顶点为.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 连接，，，求的面积.
解:（1） 抛物线经过点和点，
解得
抛物线的解析式为.
（2） 由（1）得抛物线的对称轴为直线.把代入，得，则点的坐标为.
设线段所在直线的解析式为，将和代入可求得，，
线段所在直线的解析式为.
设抛物线的对称轴交线段于点.将代入，可得， 点的坐标为，
，
.
3．[2025吉林]如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线经过点.点在此抛物线上,其横坐标为，连接并延长至点,使.当点不在坐标轴上时,过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,这两条垂线交于点.
（1） 求此抛物线对应的函数解析式.
（2） 被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变？如果不变,直接写出这个面积比;如果变化,说明理由.
（3） 当的边经过此抛物线的最低点时,求点的坐标.
（4） 当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时,直接写出的取值范围.
【答案】
解:（1） 将代入，
得，解得，
抛物线对应的函数解析式为.
（2） 被轴分成的两部分图形的面积比保持不变，面积较大的部分与面积较小的部分的面积比为.
（3） 经过抛物线的最低点，即经过抛物线的顶点，设与轴交于点，与轴交于点.
，
该抛物线的顶点坐标为.
易知 ,，
，且相似比为，
根据抛物线顶点的纵坐标可得，
则，解得.
①当时，如图所示，
此时，点在第四象限，故；
②当时，如图所示，
此时点在第一象限，点在第三象限，
，
.
综上，点的坐标为或.
（4） 或或.
【解析】
（2） 如图所示，设与轴交于点，
则 ,又，
，
，，
，
则.
类型3 角度问题
4．[2025甘肃]如图1,抛物线分别与轴,轴交于,两点,为的中点.
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 连接,过点作的垂线,交于点,交抛物线于点,连接,求的面积.
（3） 点为线段上一动点（点除外）,将线段绕点顺时针旋转 得到.
① 当时,请在图2中画出线段后,求点的坐标,并判断点是否在抛物线上,说明理由;
② 如图3,点是第四象限的一动点, ,连接,当点运动时,求的最小值.
解：（1） 抛物线经过点,
,,
.
（2） 抛物线交轴于点,
.
,
.
,
.
为的中点,
.
, ,
点的横坐标为2,,
,
,
.
（3） ① 点在抛物线上，理由：如图1,画出线段,连接,
图1
,即 ,
,
又,,
,
,.
过点作于点,
,,
.
当时,.
在抛物线上.
② 如图2,连接并延长，交轴于点（若点与点重合,则点与点重合）,过点作,垂足为,连接,.
图2
由①,同理可得 ,
在中, ,
,
,是等腰直角三角形,
,
.
,为的中点,
.
要的值最小,只需的值最小,
,
当时,取得最小值,最小值为的值,
,,
的最小值为.
5．[2025四川成都]如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点,且对称轴为直线,直线与抛物线交于,两点,与轴交于点.
（1） 求抛物线的函数表达式.
（2） 当时,直线与轴交于点,与直线交于点.若抛物线与线段有公共点,求的取值范围.
（3） 过点与垂直的直线交抛物线于,两点,,分别是,的中点.试探究:当变化时,抛物线的对称轴上是否存在定点,使得总是平分 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解：（1） 抛物线过点，且对称轴为直线，
解得.
（2） 当时，，
当时，，当时，，
,.
抛物线的顶点在直线上移动.
联立得
整理得，
抛物线与线段有公共点，
，
.
将抛物线从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个公共点时，抛物线与线段均有公共点，
当抛物线过点时，，解得或，
当时，抛物线与线段有公共点.
（3） 存在.， 当时，，
，
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线的对称轴上，
过点，
设直线的解析式为，
由与垂直易得，
直线的解析式为，即，
联立直线与抛物线的解析式得
整理得，
，，
为的中点，.
联立直线与抛物线的解析式得
同理可得.
作,，
平分，，
，即，
设，则，整理得,
由题意知，点，同时在点上方或在点下方.
或即或
,解得.
抛物线的对称轴上存在，使得总是平分.
类型4 与特殊四边形判定有关的问题
6．[2025湖北]抛物线与轴相交于点和点,与轴相交于点,是抛物线的顶点,是抛物线上一动点,设点的横坐标为.
（1） 求的值.
（2） 如图,若点在对称轴左侧,过点作对称轴的垂线,垂足为,求的值.
（3） 定义:抛物线上两点,之间的部分叫作抛物线弧（含端点和）.过,分别作轴的垂线,,过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线,,直线,,与围成的矩形叫作抛物线弧的特征矩形.若点在第四象限,记抛物线弧的特征矩形的周长为.
① 求关于的函数解析式.
② 过点作轴,交抛物线于点,点与点不重合.记抛物线弧的特征矩形的周长为.若,直接写出的长.
解：（1）把代入，得，.
（2） 由（1）可知，
，
是抛物线上一动点，点的横坐标为，
，
为对称轴的垂线，垂足为，
，，
.
（3） ① 当时，，当时，，，
，，
由（2）可知，，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
点在第四象限，
，
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，，
；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，，
；
当时，抛物线弧的最高点为，最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为，，
.
综上,
② 或.
类型5 与特殊三角形判定有关的问题
7．[2025山东烟台]如图,抛物线与轴交于,两点（点在点左侧）,与轴交于点,,,是直线上方抛物线上一动点,作交于点,垂足为点,连接.
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 设点的横坐标为.
① 用含有的代数式表示线段的长度.
② 是否存在点,使是等腰三角形？若存在,请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在,请说明理由.
（3） 连接,将线段绕点按顺时针方向旋转 得到线段,连接,请直接写出线段长度的最小值.
解：（1） 抛物线与轴交于，两点，，，
，，
将，代入，
得解得
抛物线的表达式为.
（2） ① 对于抛物线，
当时，，，
设直线的表达式为，
将，代入，
得解得
直线的表达式为，
，
，，
，
.
② 存在.
，
.
当时，，
解得或（舍），
，
；
当时，，
整理得，
解得或（舍），
，
；
当时，，
整理得，
解得或（舍）或（舍），
，
.
综上所述，是等腰三角形时，或或.
（3） .
【提示】在轴负半轴上取点，连接并延长交轴于点，连接，通过证明，得出，确定点在线段上运动（不包括端点），根据垂线段最短得出，当时，的长度最小，进而由面积法求出长度的最小值.
类型6 与圆有关的问题
8．[2023江苏苏州]如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴.点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为.
（1） 求点，的坐标;
（2） 若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围.
解：（1）令，则，
解得，.
，.
（2） 由（1）知二次函数图象的对称轴为直线.
设.
，，.
连接，与相切，.
，
即以切线长为边长的正方形的面积为.过点作轴，垂足为.
则.
，
解得或（舍去）.
设点为点，
假设经过点，则有两种情况:
①如图1，当点在点的上方时，.
，
解得或.
，.
图1
②如图2，当点在点的下方时，.
，解得.
，.
图2
当经过点时，或.
不经过点，且，即，
长的取值范围为或或.
题型七 新函数图象与性质探究题
类型1 新函数性质探究
1．[2023山东临沂]小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，越小，函数值越小；
②当时，越大，函数值越小；
③当时，越小，函数值越大；
④当时，越大，函数值越大.
其中正确的是_ _ _ _ （只填写序号）.
【答案】②③④
【解析】列表：
… 0.5 1 2 …
… 5.45 3 4.25 3 5 …
描点、连线，图象如下：
根据图象知：
当时，越小，函数值越大，故①错误；
当时，越大，函数值越小，故②正确；
当时，越小，函数值越大，故③正确；
当时，越大，函数值越大，故④正确.
综上，正确的有②③④.
2．小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象.
… 0 1 2 3 4 …
… 1 2 4 1 0 …
图1 图2
请根据图象解答：
（1） 【观察发现】
① 写出函数的两条性质：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
② 若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？_ _ _ _ _ _ .（填“一定”或“不一定”）
（2） 【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移个单位长度后得到直线，直线与函数的图象交于点，连接，.
① 求当时，直线的解析式和的面积；
② 直接用含的代数式表示的面积.
解：（1）① 当时，随的增大而增大；和对应的两段图象关于原点对称（答案不唯一）
② 不一定
（2） ① 设所在直线的解析式为，
将，代入得，解得
则所在直线的解析式为，
向下平移3个单位长度后，所得直线的解析式为，
如图所示，设直线与轴的交点为，则点坐标为，，
过点向直线作垂线，垂足记为，
易知直线过原点，且，
直线、直线与轴负方向夹角都为 ，
则 ，
在等腰直角中，，
又、两点之间的距离为，.
故直线的解析式为，的面积为.
② .
类型2 与几何图形结合的函数性质探究
3．[2023江苏连云港]【问题情境 建构函数】
图1 图2
（1） 如图1，在矩形中，，是的中点，，垂足为.设，，试用含的代数式表示.
【由数想形 新知初探】
（2） 在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图2所示.若取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象.
【数形结合 深度探究】
（3） 在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点、、、，使得四边形是平行四边形.其中正确的是_ _ _ _ .（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4） 若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；一般地，当，取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）.
解：（1） 在矩形中， ，
，
，
，
，，
，
，
，
，点是的中点，
，
在中，，
，
.
（2） 取任意实数时，对应的函数图象关于原点成中心对称.理由如下：
若为图象上任意一点，则，
设关于原点的对称点为，则，
当时，，也在函数的图象上，
当取任意实数时，函数的图象关于原点成中心对称.函数图象如图所示.
（3） ①④
（4） ；当，取任意实数时，有如下相关性质：
当时，图象经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为；
当时，图象经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为；
函数图象经过原点；
函数图象关于原点对称.（答案不唯一，写出3条即可）
【解析】
（3） 观察图象可知，函数值随的增大而增大，故①正确；函数值的取值范围是，故②错误；任取一条直线，与该函数图象最多有3个交点，故③错误；图象关于原点成中心对称，观察图象可知，存在四点、、、使得四边形是平行四边形，故④正确.故正确的结论是①④.
4．[2023重庆A卷]如图，是边长为4的等边三角形，动点，都以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为秒，点，的距离为.
（1） 请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围;
（2） 在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质;
（3） 结合函数图象，写出点，相距3个单位长度时的值.
【答案】 解:（1）
（2） 函数图象如图.
根据函数图象可知，函数的性质为（写出其中一条即可）
①当时，随的增大而增大;当时，随的增大而减小.
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值4;当或时，函数取得最小值0.
（3） 当或时，点，相距3个单位长度．
结合图象和（1）中所求表达式可知，当时，若，则;当时，若，则，得.
题型八 几何探究题
类型1 非动点探究题
1．[2025江苏连云港]综合与实践
【问题情境】
如图,小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、,且,交于点.连接,过点作,垂足为,连接、,交于点,交于点.
【活动猜想】
（1） 与的数量关系是_ _ _ _ ,位置关系是_ _ _ _ ；
【探索发现】
（2） 证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3） 若,,求的长；
【综合探究】
（4） 若,则当_ _ _ _ _ _ _ _ 时,的面积最小.
【答案】（1）解： 相等；垂直.
（2） 证明：过点作于点，作分别交,于点,，
四边形是正方形，
， ，
，
四边形为矩形，四边形为矩形.易知，
矩形为正方形，
，
，，
，
，即，
， ，
，
，，，
，，
，，
，，
又 ，
，
，.
（3） 解:在正方形中，， ，又，
，
，，
，
，，
在中，，，
，
，
即，，
在中，，
由（2）可知，，
，
为等腰直角三角形，
，
.
（4）解： .
【解析】（4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，
设的半径为，过点作于点，
由（2）可知，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，，
在正方形中，，是等腰直角三角形，，，
，
当的值最小时，的面积最小，
当最小时，的面积最小.，
当的值最小时，的面积最小.
当，，三点共线，且时，的值最小，如图，此时点与重合，
则，解得，
，
.
2．[2025四川成都]如图,在中,点在边上,点关于直线的对称点落在内,射线交射线于点,交射线于点,射线交边于点.
【特例感知】
（1） 如图1,当时,点在延长线上,求证:；
【问题探究】
（2） 在（1）的条件下,若,,求的长；
【拓展延伸】
（3） 如图2,当时,点在边上,若,求的值.（用含的代数式表示）
（1） 证明：由对称得,，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，，，
又，
.
（2） 解:，
，，
，，
，，
，
,，
由对称得，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，，
，.
（3） 解:如图，延长,交于点，
设，,，,
，，
，,
由对称得,,
，即,
,
，即,,
四边形是平行四边形，
,
, ,
,
,
,
,
,,
,
又,,
，即,,
,
,,
,
解得.
,
又,,
.
类型2 动点探究题
3．[2025山东烟台]【问题呈现】
如图1,已知是正方形外一点,且满足 ,探究,,三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:如图2,构造与全等,从而得出与的数量关系;
思路二:如图3,构造与全等,从而得出与的数量关系.
（1） 请参考小颖的思路,直接写出与的数量关系:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
【类比探究】
（2） 如图4,若是正五边形外一点,且满足 ,,,求的长度（结果精确到,参考数据:,,,）;
【拓展延伸】
（3） 如图5,若是正十边形外一点,且满足 ,则,,三条线段的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （结果用含有锐角三角函数的式子表示）.
解:（1） .
（2）正五边形的一个内角为 ，
如图，在的延长线上截取，连接，过点作于点，
易得，
，，
，，
，，
，
，
.
（3） .
【解析】
（3） 如图，在的延长线上截取，连接，过点作于点，
同（2）可得 ，
，
，
，
，即 .
4．[2025江苏扬州]问题:如图1,点为正方形内一个动点,过点作,,矩形的面积是矩形面积的2倍,探索的度数随点运动的变化情况.
【从特例开始】
（1） 小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2）,请你仅用无刻度的直尺连接一条线段,由此可得此图形中_ _ _ _ ;
（2） 小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3）,其中,,,求此图形中的度数;
【一般化探索】
（3） 利用图1,探索上述问题中的度数随点运动的变化情况,并说明理由.
解：（1） 45.；如图，连接（答案不唯一）
（2） 如图，延长至点，使，连接，，
四边形是正方形，
， ，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
同理可得四边形，，为矩形，
，， ，
，，
，又,
，
，
，
.
（3） 随着点的运动，的度数不变，恒为 ，理由如下：
延长至点，使，连接，，
四边形是正方形，
， ，
，
，，
，
同（2）可得四边形，，，为矩形，
设正方形的边长为，，，
则，，
，，，
，
，
整理得，
在中，，
，
（舍负），，
，，
， .
随着点的运动，的度数不变，恒为 .
类型3 平移探究题
5．[2025天津]在平面直角坐标系中,为原点,等边的顶点,,点在第一象限,等边的顶点,顶点在第二象限.
（1） 填空:如图1,点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 将等边沿水平方向向右平移,得到等边,点,,的对应点分别为,,.设.
① 如图2,若边与边相交于点,当与重叠部分为四边形时,试用含有的式子表示线段的长,并直接写出的取值范围;
② 设平移后重叠部分的面积为,当时,求的取值范围（直接写出结果即可）.
解：（1） ；.
（2） ① 等边中，顶点，
,.
由平移知，.
,.又，
.
在中,,
.
由，得.
.
,其中的取值范围是.
② .
【解析】
② 当时，重叠的部分为四边形，如图，作轴于点，
由（1）和可知，，，
，
当时，的值最小，最小值为,
；
设交轴于点，
则，
当时，点与重合，点与重合，重叠的部分恰为，
；
当时，易知随着的增大而减小，
当时，取最小值，连接，此时轴，记分别与，交于点，，与交于点，如图,
此时重叠部分为五边形，， ,
， ，
，
，
，
，
, ， ，
，,
,.
易得，
.
综上,.
类型4 旋转探究题
6．[2025贵州]如图,在菱形中, ,点为线段上一动点,点为射线上的一点（点与点不重合）.
【问题解决】
（1） 如图①,若点与线段的中点重合,则_ _ _ _ ,线段与线段的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
【问题探究】
（2） 如图②,在点运动过程中,点在线段上,且 , ,探究线段与线段的数量关系,并说明理由;
【拓展延伸】
（3） 在点运动过程中,将线段绕点逆时针旋转 得到,射线交射线于点,若,,求的长.
【答案】解:（1） 30；.
（2） .
理由：如图，把绕点顺时针旋转 得到，连接，
， ，，
为等边三角形，
，，
点在线段上，且 ， ，
， ，
， ，
，
.
.
（3） 如图，当在线段上时，记射线与交于点，
在菱形中，，，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
易得为等边三角形，
，.
如图，当在线段上时，延长交射线于，
同理可得， ，
，
设，则，
，
，
,
，，
.
综上，的长为2或.
7．[2025湖北]在中, ,将绕点旋转得到,点的对应点落在边上,连接.
（1） 如图1,求证:.
（2） 如图2,当,时,求的长.
（3） 如图3,过点作的平行线交的延长线于点,过点作的平行线交于点,与交于点.
① 求证:；
② 当时,直接写出的值.
（1） 证明： 将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，
，，，
，
.
（2） 解：，， ，
，，
，
如图，过点作于点，
，
，
在中，，
即，
解得或（舍去），
在中，，
，
，
，即，
.
（3） ① 证明： ，
，
,,,
，
，
，
,，
，
，
在和中，
，
，
又，
.
②解： .
【提示】解:先证明四边形是平行四边形，得出相关线段相等，角相等，结合前面小问与勾股定理表示出的长，求出的值，再证明 ，结合锐角三角函数表示出的长，最后证出，，，四点共圆，根据圆周角定理得出，从而证明，结合旋转建立方程组求解.
类型5 折叠探究题
8．[2025吉林]【问题背景】在学行四边形后,某数学兴趣小组研究了有一个内角为 的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下:
【探究发现】 如图①,在中, ,,为边的中点,点在边上,且,连接,将沿翻折得到,点的对称点为点.小组成员发现四边形是一个特殊的四边形,请判断该四边形的形状,不需要说明理由.
【探究证明】 取图①中的边的中点,点在边上,且,连接,将沿翻折得到,点的对称点为点.连接,,如图②.求证:四边形是平行四边形.
【探究提升】 在图②中,四边形能否成为轴对称图形？如果能,直接写出的值；如果不能,说明理由.
【探究发现】 解：四边形是菱形.
【探究证明】 证明： 将沿翻折得到，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
为边的中点，为边的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是菱形，
，，
，，
四边形是平行四边形.
【探究提升】解： 四边形能成为轴对称图形，的值为或.
【探究提升】 由【探究证明】知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形.
当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图，
易得四边形是矩形，
，.
，
，，
设，则，
，
为的中点，
，.
四边形是菱形，
，
四边形是矩形， .
， ，
，
，
.
，
，
.
当四边形是菱形时，延长交于，如图，
设，则，
四边形是菱形，
.
，，
四边形是平行四边形， ，
，，
，
是等边三角形，
，
，
.
综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或.
9．[2025内蒙古]如图是一个平行四边形纸片,是一条对角线,,.
（1） 如图1，将平行四边形纸片沿折叠,点的对应点落在点处,交于点.
① 试猜想与的数量关系,并说明理由;
② 求的面积.
（2） 如图2,点,分别在平行四边形纸片的,边上,连接,且,将平行四边形纸片沿折叠,使点的对应点落在边上,求的长.
解：（1）①.
理由：由折叠的性质得，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
又，
，.
② ，
，
如图，过点作于点，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
.
（2） 如图，过点作于点，连接交于点，过点作于点，
由折叠的性质得，
，，
易得，
，
，即，
解得，
，
.
四边形是平行四边形，
，，
，
又 ，
，
，
，，
，
，，
即，解得.
类型6 类比探究题
10．[2025四川南充]矩形中,,,点是线段上异于点的一个动点,连接,把沿直线折叠,使点落在点处.
【初步感知】
（1） 如图1,当为的中点时,延长交于点,求证:.
【深入探究】
（2） 如图2,点在线段上,.点在移动过程中,求的最小值.
【拓展运用】
（3） 如图2,点在线段上,.点在移动过程中,点在矩形内部,当是以为斜边的直角三角形时,求的长.
【答案】
（1） 证明：如图，连接,
由折叠可得 ,.
四边形为矩形, .
为的中点,
,.
在与中,,,
,
.
（2） 解:由折叠可得,点在移动过程中,的长不变，
点在以为圆心,10为半径的的弧上.
如图，连接,
当点在线段上时,有最小值.
,,
，,
,
的最小值为.
（3） 解:如图，过点作于点,交于点，
则 .
,即 ,
.
,
,
,.
,,.
设,则,,则.
,,
,
，
,解得.
,，则.
设,则,.
在中,,则，
解得,则的长为5.
11．[2025河南]在中,点是的平分线上一点,过点作,垂足为点,过点作,垂足为点,直线,交于点,过点作,垂足为点.
（1） 观察猜想
如图1,当为锐角时,用等式表示线段,,的数量关系:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 类比探究
如图2,当为钝角时,请依据题意补全图形（不需要尺规作图）,并判断（1）中的结论是否仍然成立.若成立,请证明；若不成立,请写出正确结论,并证明.
（3） 拓展应用
当 ,且 时,若,请直接写出的值.
【答案】 解:（1） .
（2）不成立，，证明如下：
如图，过点作,垂足为点.
,
，
平分,
，
又,
，
，
.
,,
，
四边形是矩形.
，.
（3） 或.
【解析】
（3） ①当 时，
,，
，
，
，
即，
，
，
, ，
，
，
；
②当 时，
,，
，
，
，即，
，
，
, ，
，
，
.
综上，的值为或.
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2026中考数学专题练
突破二 重难题型
题型一 规律探究
类型1 数式变化类
1．[2024江苏扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5, ,这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2 024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1 348 D．1 350
2．[2023四川内江]对于正数，规定，例如：，，，，计算：（ ）
A．199 B．200 C．201 D．202
3．[2024河北]“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
图1 图2
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“”表示5
C．运算结果小于6 000
D．运算结果可以表示为
4．[2024宁夏]观察下列等式：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：.
……
按照以上规律，第个等式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．[2025四川成都]分子为1的真分数叫作“单位分数”,也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和,如:.将拆分成两个单位分数相加的形式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；一般地,对于任意奇数,将拆分成两个不同单位分数相加的形式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6．[2025浙江]【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》,书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示,其中“三乘”对应的展开式:
.
【应用体验】
已知,则的值为_ _ _ _ .
类型2 图形变化类
7．[2025重庆]按如图所示的规律拼图案,其中第①个图中有4个圆点,第②个图中有8个圆点,第③个图中有12个圆点,第④个图中有16个圆点， 按照这一规律,则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
8．[2024山东济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形， 按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．93
9．[2024重庆A卷]烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种（如图①）有4个氢原子，第2种（如图②）有6个氢原子，第3种（如图③）有8个氢原子， 按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 （ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
10．[2024江苏盐城]发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢
图1
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有个籽，每列有个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为,均为正整数，,,如图1所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
图2 图3 图4
方案1：．图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为_ _ _ _ _ _ _ _ ，共铲_ _ _ _ _ _ 行，则铲除全部籽的路径总长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
方案2：．图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
方案3：．图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短 请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.
类型3 点的坐标变化类
11．[2024江苏盐城三模]如图，平面直角坐标系中，，，， 都是斜边在轴上的等腰直角三角形，点，，， ，则根据图示规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．[2024山东聊城]任取一个正整数，若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中,均为正整数.例如，点经过第1次运算得到点,经过第2次运算得到点,以此类推，则点经过2 024次运算后得到点_ _ _ _ _ _ _ _ .
13．[2024黑龙江龙东地区]如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；……如此下去，则的坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．[2024黑龙江齐齐哈尔校级模拟]如图，在平面直角坐标系中，有一个， ， ，直角边在轴非负半轴上，点在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转 ，同时把各边长扩大为原来的两倍（即），得到；然后将绕原点逆时针旋转 ，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到；……依此规律，得到，则的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
题型二 多解题
类型1 代数类问题
1．[2023四川凉山州]已知是完全平方式，则的值是_ _ _ _ _ _ .
2．[2023山东日照]已知反比例函数且的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的值：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．[2023四川巴中]规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”.例如：函数与互为“函数”.若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
类型2 点位置不确定类问题
4．如图，在四边形中， ，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达终点时，两个动点同时停止运动.设点的运动时间为，下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形为矩形
B．当时，四边形为平行四边形
C．当时，
D．当时，或6
5．[2023浙江绍兴]如图，在菱形中， ，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6．[2023河南]矩形中，为对角线的中点，点在边上，且.当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ .
7．[2023湖南衡阳]如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线.
备用图
（1） 求的值.
（2） 将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点，在直线上方的抛物线上是否存在定点，无论取何值，都是点到直线的距离最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3） 抛物线上是否存在点，使 ？若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
类型3 图形不确定类问题
8．[2023黑龙江龙东地区]矩形中，，，将矩形沿过点的直线折叠，使点落在点处，若是直角三角形，则点到直线的距离是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
9．如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点，是边上的动点，当为直角三角形时，的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
10．[2023江苏无锡]二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
11．[2023浙江绍兴]在平行四边形中（顶点，，，按逆时针方向排列），，，为锐角，且.
图1 图2
（1） 如图1，求边上的高的长.
（2） 是边上的一动点，点，同时绕点按逆时针方向旋转 得点，.
① 如图2，当点落在射线上时，求的长；
② 当是直角三角形时，求的长.
题型三 实际应用题
类型1 行程与工程问题
1．[2024内蒙古赤峰]一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等.
（1） 求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2） 为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
2．[2025天津]已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上,书店离家,公园离家.小华从家出发,先匀速步行了到书店,在书店停留了,之后匀速步行了到公园,在公园停留后,再用匀速跑步返回家.下面图中表示时间,表示离家的距离.图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
（1） ① 填表:
小华离开家的时间/ 1 6 18 50
小华离家的距离/ _ _ _ _ 0.6 _ _ _ _ _ _ _ _
② 填空:小华从公园返回家的速度为_ _ _ _ ；
③ 当时,请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式.
（2） 若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以的速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中,对于同一个的值,小华离家的距离为,小华的妈妈离家的距离为,当时,求的取值范围（直接写出结果即可）.
类型2 方案问题
3．[2025贵州]贵州省铜仁市被誉为“中国抹茶之都”,这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间.为满足市场需求,某抹茶车间准备安装、两种型号生产线.已知同时开启一条型和一条型生产线每月可以生产抹茶共,同时开启一条型和两条型生产线每月可以生产抹茶共.
（1） 求一条型和一条型生产线每月各生产抹茶多少吨;
（2） 为扩大生产规模,另一车间准备同时安装相同型号的、两种生产线共5条,该车间接到一个订单,要求4个月生产抹茶不少于,至少需要安装多少条型生产线
4．[2025内蒙古]智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘,一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下,该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果,它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25.
（1） 求的值.
（2） 现需要一定数量的苹果发往外地,采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的机械手,那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不少于10 000
类型3 购买、销售问题
5．[2025广西]自2025年5月9日起至2025年12月31日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下:
湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内 其他路段
周一至周四 9.5折
周五至周日 9.5折 全免 5折
（1） 周六小悦一家从湖南市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为元、元和元.求此行程的高速费实付多少元，比原价优惠了多少元.（用代数式表示）
（2） 周日他们从A市到市（全程在广西境内）,高速费实付27.55元；周一从市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.
6．[2025湖北]某商店销售A,B两种水果水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克.
（1） 小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
（2） 妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果千克.
① 若这两种水果按标价出售,求的取值范围.
② 小明到这家商店后,发现A,B两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折.（注:“打七五折”指按标价的出售）若小明合计付款48元,求的值.
类型4 几何图形（面积）问题
7．[2025北京]北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产，为制作一只京燕风筝,小明准备了五根直竹条（如图1）:一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2）,其头部高、胸腹高与尾部高的比是.已知单根膀条长是胸腹高的5倍,门条比单根膀条短,图1中的长是门条长的,,的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
图1 图2
8．[2023江苏徐州]如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形.设的长为，四边形的面积为.
（1） 求关于的函数表达式.
（2） 当取何值时，四边形的面积为10？
（3） 四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
类型5 抛物线型问题
9．[2025山西]综合与实践
问题情境:青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人,其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据:仿青蛙机器人从水平地面起跳,并落在水平地面上,其运动路线的最高点距地面,起跳点与落地点的距离为.
数学建模:如图1,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线,其顶点为,对称轴为直线,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为,落地点为.以为原点,所在直线为轴,过点与所在水平地面垂直的直线为轴,建立平面直角坐标系.
图1
（1） 请直接写出顶点的坐标,并求该抛物线的函数表达式.
问题解决:已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变,即抛物线的形状不变.
（2） 如图1,若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳,落地点为,点的坐标为,点在轴的正半轴上.求起跳点与落地点的水平距离.
（3） 实验表明:仿青蛙机器人在跃过障碍物时,与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于,才能安全通过.如图2,水平地面上有一个障碍物,其纵切面为四边形,其中 ,,,.仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台,仿青蛙机器人从平台上起跳,则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度OQ（平台的大小忽略不计,障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）.
图2
题型四 圆的相关计算与证明
类型1 圆中不规则图形的面积计算
角度1 直接和差法
方法解读
1．如图，在中， ，，将绕点逆时针旋转 后得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图,在扇形中, ,半径,将扇形沿过点的直线折叠,点恰好落在上的点处,折痕交于点,则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．[2023重庆A卷]如图，是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（结果保留）
角度2 构造和差法
方法解读
4．[2024山东烟台一模]如图，在中， ， ，.以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
5．如图，等腰直角三角形中，,以为直径的半圆交斜边于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024山西临汾二模]如图，两个半径均为4的圆完全重合叠放在一起，让其中的一个圆绕着直径的一端沿逆时针方向旋转 后得到直径为的圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
角度3 等积转化法
方法解读
7．如图,在半径为2,圆心角为 的扇形内，以为直径作半圆,交弦于点,连接,则图中阴影部分的面积是_ _ _ _ _ _ .
8．如图所示，是半径为2的外一点,,是的切线,为切点,弦,连接.求阴影部分的面积.
9．如图所示，扇形与扇形的圆心角均为 ,连接,.若,,求阴影部分的面积.
10．[2023内蒙古包头]如图，正方形的边长为2，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为_ _ _ _ .
11．如图,在中， , ,,将绕点顺时针旋转,使点落在的延长线上的点处,则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
角度4 容斥原理
方法解读
把图形的各部分标序号,分成若干个图形,利用各部分规则图形之间的兼容与排斥,进行加减抵消,最终求出阴影部分的面积.
例:②,④,.
,
而 就是我们要求的阴影部分的面积.
12．[2023四川广安]如图，在等腰直角三角形中， ，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，正方形的边长为2,分别以,为圆心，以正方形的边长为半径作弧相交于点,那么图中阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ .
类型2 与圆的切线有关的证明与计算
14．[2025湖南]如图，的顶点，在上，圆心在边上， ，与相切于点，连接.
（1） 求的度数；
（2） 求证：.
15．[2025山东威海]如图,是的切线,点为切点.点为上一点,射线,交于点,连接,点在上,过点作,交于点,作,垂足为点,.
（1） 求证:是的切线；
（2） 若,,求的半径.
16．[2025新疆]如图,为的直径,为上一点,于点,,交于点,交于点.
（1） 求证:是的切线；
（2） 若,,求的长.
17．[2025甘肃]如图,四边形的顶点,,在上,,直径与弦相交于点.点是延长线上的一点,.
（1） 求证:是的切线；
（2） 若四边形是平行四边形，，求的长.
18．[2025天津]已知与相切于点,, ,与相交于点,为上一点.
图① 图②
（1） 如图①,求的大小；
（2） 如图②,当时,与相交于点,延长与相交于点,若的半径为3,求和的长.
19．[2025江苏连云港]已知是的高,是的外接圆.
图1 图2 图3
（1） 请你在图1中用无刻度的直尺和圆规,作的外接圆（保留作图痕迹,不写作法）；
（2） 如图2,若的半径为,求证:；
（3） 如图3,延长交于点,过点的切线交的延长线于点，若,, ,求的长.
题型五 二次函数性质综合题
类型1 交点问题
1．在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2．已知二次函数及一次函数，将轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
3．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．
（1） 求点，点的坐标；
（2） 如图，过点的直线与抛物线的另一个交点为，点为抛物线对称轴上的一点，连接，，设点的纵坐标为，当时，求的值；
（3） 将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
类型2 整点问题
4．[2023云南]数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性.形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题.
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数 （实数为常数）的图象为图象.
（1） 求证:无论取什么实数，图象与轴总有公共点.
（2） 是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点 若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由.
类型3 恒成立问题
5．[2023北京]在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线.
（1） 若对于，，有，求的值；
（2） 若对于，，都有，求的取值范围.
类型4 函数最值问题
6．[2023贵州]图①是一座抛物线形拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1.
图① 图② 备用图
（1） 求抛物线的表达式；
（2） 如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，，同时使拉杆的长度之和最小，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3） 为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于或等于9.求的取值范围.
类型5 其他性质综合题
7．若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称为函数的“共同体函数”.
（1） ① 若函数，，求函数的“共同体函数”的值；
② 若函数，，为常数，求函数的“共同体函数”的解析式.
（2） 若函数，求函数的“共同体函数”的最大值.
（3） 已知函数，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数”的最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
题型六 二次函数与几何图形综合题
类型1 与线段有关的问题
方法解读
解决二次函数线段问题的关键是化斜为直.
竖直线段长度 纵坐标之差，即
将斜线段转化为竖直线段：
1．[2025湖南]如图，已知二次函数的图象过点，连接，点，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点.
（1） 求此二次函数的表达式.
（2） 如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当时，求证：；
②当时，求证：.
（3） 如图2，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，，记，试探究：当为何值时，有最大值.并求出的最大值.
类型2 与图形面积有关的问题
方法解读
铅垂法
三角形的面积公式: 水平宽×铅垂高；
2．抛物线经过点和点，且这个抛物线的对称轴为直线，顶点为.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 连接，，，求的面积.
3．[2025吉林]如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线经过点.点在此抛物线上,其横坐标为，连接并延长至点,使.当点不在坐标轴上时,过点作轴的垂线,过点作轴的垂线,这两条垂线交于点.
（1） 求此抛物线对应的函数解析式.
（2） 被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变？如果不变,直接写出这个面积比;如果变化,说明理由.
（3） 当的边经过此抛物线的最低点时,求点的坐标.
（4） 当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时,直接写出的取值范围.
类型3 角度问题
4．[2025甘肃]如图1,抛物线分别与轴,轴交于,两点,为的中点.
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 连接,过点作的垂线,交于点,交抛物线于点,连接,求的面积.
（3） 点为线段上一动点（点除外）,将线段绕点顺时针旋转 得到.
① 当时,请在图2中画出线段后,求点的坐标,并判断点是否在抛物线上,说明理由;
② 如图3,点是第四象限的一动点, ,连接,当点运动时,求的最小值.
5．[2025四川成都]如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点,且对称轴为直线,直线与抛物线交于,两点,与轴交于点.
（1） 求抛物线的函数表达式.
（2） 当时,直线与轴交于点,与直线交于点.若抛物线与线段有公共点,求的取值范围.
（3） 过点与垂直的直线交抛物线于,两点,,分别是,的中点.试探究:当变化时,抛物线的对称轴上是否存在定点,使得总是平分 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
类型4 与特殊四边形判定有关的问题
6．[2025湖北]抛物线与轴相交于点和点,与轴相交于点,是抛物线的顶点,是抛物线上一动点,设点的横坐标为.
（1） 求的值.
（2） 如图,若点在对称轴左侧,过点作对称轴的垂线,垂足为,求的值.
（3） 定义:抛物线上两点,之间的部分叫作抛物线弧（含端点和）.过,分别作轴的垂线,,过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线,,直线,,与围成的矩形叫作抛物线弧的特征矩形.若点在第四象限,记抛物线弧的特征矩形的周长为.
① 求关于的函数解析式.
② 过点作轴,交抛物线于点,点与点不重合.记抛物线弧的特征矩形的周长为.若,直接写出的长.
类型5 与特殊三角形判定有关的问题
7．[2025山东烟台]如图,抛物线与轴交于,两点（点在点左侧）,与轴交于点,,,是直线上方抛物线上一动点,作交于点,垂足为点,连接.
（1） 求抛物线的表达式.
（2） 设点的横坐标为.
① 用含有的代数式表示线段的长度.
② 是否存在点,使是等腰三角形？若存在,请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在,请说明理由.
（3） 连接,将线段绕点按顺时针方向旋转 得到线段,连接,请直接写出线段长度的最小值.
类型6 与圆有关的问题
8．[2023江苏苏州]如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴.点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为.
（1） 求点，的坐标;
（2） 若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围.
题型七 新函数图象与性质探究题
类型1 新函数性质探究
1．[2023山东临沂]小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论：
①当时，越小，函数值越小；
②当时，越大，函数值越小；
③当时，越小，函数值越大；
④当时，越大，函数值越大.
其中正确的是_ _ _ _ （只填写序号）.
2．小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象.
… 0 1 2 3 4 …
… 1 2 4 1 0 …
图1 图2
请根据图象解答：
（1） 【观察发现】
① 写出函数的两条性质：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
② 若函数图象上的两点，满足，则一定成立吗？_ _ _ _ _ _ .（填“一定”或“不一定”）
（2） 【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移个单位长度后得到直线，直线与函数的图象交于点，连接，.
① 求当时，直线的解析式和的面积；
② 直接用含的代数式表示的面积.
类型2 与几何图形结合的函数性质探究
3．[2023江苏连云港]【问题情境 建构函数】
图1 图2
（1） 如图1，在矩形中，，是的中点，，垂足为.设，，试用含的代数式表示.
【由数想形 新知初探】
（2） 在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图2所示.若取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图象.
【数形结合 深度探究】
（3） 在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图象有四个交点；④在图象上存在四点、、、，使得四边形是平行四边形.其中正确的是_ _ _ _ .（写出所有正确结论的序号）
【抽象回归 拓展总结】
（4） 若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；一般地，当，取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）.
4．[2023重庆A卷]如图，是边长为4的等边三角形，动点，都以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为秒，点，的距离为.
（1） 请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围;
（2） 在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质;
（3） 结合函数图象，写出点，相距3个单位长度时的值.
题型八 几何探究题
类型1 非动点探究题
1．[2025江苏连云港]综合与实践
【问题情境】
如图,小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、,且,交于点.连接,过点作,垂足为,连接、,交于点,交于点.
【活动猜想】
（1） 与的数量关系是_ _ _ _ ,位置关系是_ _ _ _ ；
【探索发现】
（2） 证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3） 若,,求的长；
【综合探究】
（4） 若,则当_ _ _ _ _ _ _ _ 时,的面积最小.
2．[2025四川成都]如图,在中,点在边上,点关于直线的对称点落在内,射线交射线于点,交射线于点,射线交边于点.
【特例感知】
（1） 如图1,当时,点在延长线上,求证:；
【问题探究】
（2） 在（1）的条件下,若,,求的长；
【拓展延伸】
（3） 如图2,当时,点在边上,若,求的值.（用含的代数式表示）
类型2 动点探究题
3．[2025山东烟台]【问题呈现】
如图1,已知是正方形外一点,且满足 ,探究,,三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:如图2,构造与全等,从而得出与的数量关系;
思路二:如图3,构造与全等,从而得出与的数量关系.
（1） 请参考小颖的思路,直接写出与的数量关系:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
【类比探究】
（2） 如图4,若是正五边形外一点,且满足 ,,,求的长度（结果精确到,参考数据:,,,）;
【拓展延伸】
（3） 如图5,若是正十边形外一点,且满足 ,则,,三条线段的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （结果用含有锐角三角函数的式子表示）.
4．[2025江苏扬州]问题:如图1,点为正方形内一个动点,过点作,,矩形的面积是矩形面积的2倍,探索的度数随点运动的变化情况.
【从特例开始】
（1） 小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2）,请你仅用无刻度的直尺连接一条线段,由此可得此图形中_ _ _ _ ;
（2） 小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3）,其中,,,求此图形中的度数;
【一般化探索】
（3） 利用图1,探索上述问题中的度数随点运动的变化情况,并说明理由.
类型3 平移探究题
5．[2025天津]在平面直角坐标系中,为原点,等边的顶点,,点在第一象限,等边的顶点,顶点在第二象限.
（1） 填空:如图1,点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 将等边沿水平方向向右平移,得到等边,点,,的对应点分别为,,.设.
① 如图2,若边与边相交于点,当与重叠部分为四边形时,试用含有的式子表示线段的长,并直接写出的取值范围;
② 设平移后重叠部分的面积为,当时,求的取值范围（直接写出结果即可）.
类型4 旋转探究题
6．[2025贵州]如图,在菱形中, ,点为线段上一动点,点为射线上的一点（点与点不重合）.
【问题解决】
（1） 如图①,若点与线段的中点重合,则_ _ _ _ ,线段与线段的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ ；
【问题探究】
（2） 如图②,在点运动过程中,点在线段上,且 , ,探究线段与线段的数量关系,并说明理由;
【拓展延伸】
（3） 在点运动过程中,将线段绕点逆时针旋转 得到,射线交射线于点,若,,求的长.
7．[2025湖北]在中, ,将绕点旋转得到,点的对应点落在边上,连接.
（1） 如图1,求证:.
（2） 如图2,当,时,求的长.
（3） 如图3,过点作的平行线交的延长线于点,过点作的平行线交于点,与交于点.
① 求证:；
② 当时,直接写出的值.
类型5 折叠探究题
8．[2025吉林]【问题背景】在学行四边形后,某数学兴趣小组研究了有一个内角为 的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下:
【探究发现】 如图①,在中, ,,为边的中点,点在边上,且,连接,将沿翻折得到,点的对称点为点.小组成员发现四边形是一个特殊的四边形,请判断该四边形的形状,不需要说明理由.
【探究证明】 取图①中的边的中点,点在边上,且,连接,将沿翻折得到,点的对称点为点.连接,,如图②.求证:四边形是平行四边形.
【探究提升】 在图②中,四边形能否成为轴对称图形？如果能,直接写出的值；如果不能,说明理由.
9．[2025内蒙古]如图是一个平行四边形纸片,是一条对角线,,.
（1） 如图1，将平行四边形纸片沿折叠,点的对应点落在点处,交于点.
① 试猜想与的数量关系,并说明理由;
② 求的面积.
（2） 如图2,点,分别在平行四边形纸片的,边上,连接,且,将平行四边形纸片沿折叠,使点的对应点落在边上,求的长.
类型6 类比探究题
10．[2025四川南充]矩形中,,,点是线段上异于点的一个动点,连接,把沿直线折叠,使点落在点处.
【初步感知】
（1） 如图1,当为的中点时,延长交于点,求证:.
【深入探究】
（2） 如图2,点在线段上,.点在移动过程中,求的最小值.
【拓展运用】
（3） 如图2,点在线段上,.点在移动过程中,点在矩形内部,当是以为斜边的直角三角形时,求的长.
11．[2025河南]在中,点是的平分线上一点,过点作,垂足为点,过点作,垂足为点,直线,交于点,过点作,垂足为点.
（1） 观察猜想
如图1,当为锐角时,用等式表示线段,,的数量关系:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 类比探究
如图2,当为钝角时,请依据题意补全图形（不需要尺规作图）,并判断（1）中的结论是否仍然成立.若成立,请证明；若不成立,请写出正确结论,并证明.
（3） 拓展应用
当 ,且 时,若,请直接写出的值.
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