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2026中考数学专题练
突破三 新视野考法
考法一 逻辑推理
类型1 推理最佳方案类
1．[2024北京]联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.
若节目按 “”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_ _ _ _ ;若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的先后顺序彩排.
【答案】60；
【解析】若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为.
由题意得节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面彩排，所以在的前面.节目和彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样总候场时长会短一些，所以在前面.
节目和的演员人数较多，所以节目和在节目和的前面.
所以按照的顺序彩排，候场时间之和最小.
方法点睛
对于第二个答题空，根据题意可知，若使这23位演员的候场时间之和最小，则可确定 在 的前面，在 的前面.
2．某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作.具体筹备工作包含以下内容（见表）.其中，相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作.
工作代码 工作名称 持续时间/天 前期工作
张贴海报、收集作品 7 无
购买展览用品 3 无
打扫展厅 1 无
展厅装饰 3
展位设计与布置 3
展品布置 2
宣传语与环境布置 2
展前检查 1
（1） 结束前期工作并完成“展厅装饰”最短需要_ _ _ _ 天；
（2） 完成本次展览会所有筹备工作最短需要_ _ _ _ 天.
【答案】（1） 4
（2） 13
【解析】
（1） 由表格知，结束前期工作并完成“展厅装饰”最短需（天）.
（2） 完成本次展览会所有筹备工作最短需要的天数为.
方法点睛
（1）根据表格可知完成“展厅装饰”要完成 和 两项工作，从而可得需要的最少天数；
（2）根据表格可知完成 的时间里，可同时完成工作，，，然后可同时进行工作，，再进行工作，最后可进行工作，从而完成整个工作，即可得最短总工作时间.
3．[2023北京]学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需，，，，，，七道工序，加工要求如下：
①工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，工序须在工序，都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要_ _ _ _ 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要_ _ _ _ 分钟.
【答案】53； 28
【解析】由题意得，（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟.假设这两名学生为甲、乙，
工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，且工序，都需要9分钟完成，
甲学生做工序，乙学生同时做工序，需要9分钟；
然后甲学生做工序，乙学生同时做工序，乙学生完成工序后接着做工序，需要9分钟；
最后甲学生做工序，乙学生同时做工序，需要10分钟，
由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）.
方法点睛
要根据加工的规则得到加工顺序：要考虑工序前后顺序和同时能进行工序的数量.
4．甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为，，，，，每个包裹的质量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的质量如下：
包裹编号 Ⅰ号产品质量/吨 Ⅱ号产品质量/吨 包裹的质量/吨
5 1 6
3 2 5
2 3 5
4 3 7
3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.
（1） 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出要装运包裹的编号）；
（2） 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ （写出要装运包裹的编号）.
【答案】（1） （或或或或或）
（2）
【解析】
首先考虑满足条件“装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨”，
装运方案有：，，，，，，，，
再考虑满足条件“载重不超过19.5吨”，
装运方案，的包裹总质量为20吨，超过19.5吨，不满足题意，
满足条件的装运方案为或或或或或.
在（1）的条件下，计算装运Ⅱ号产品的质量，
则选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）；
选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）；
选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）；
选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）；
选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨），
选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）.
故答案为.
方法点睛
1.要关注两个条件：装运的Ⅰ号产品不少于9吨且不多于11吨，以及载重不超过19.5吨；
2.要在（1）的基础上关注Ⅱ号产品最多这个条件.
类型2 推理未知元素类
5．某学习小组的六个人围成一个圆圈做报数游戏，游戏的步骤如下：
①每个人心里都想好一个数；
②每个人把自己想好的数悄悄如实地告诉他两旁的两个人；
③每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.
若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数为_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】设报5的人心里想的数是，
则报1的人心里想的数是，
则报3的人心里想的数是，
是报3和报5的人心里想的数的平均数，
，解得，
故答案为8.
方法点睛
此题需要对题目深度理解并探索出规律，利用题目中平均数这个已知条件，通过列方程解决本题.
6．下表是某市某年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对上一年度名次变化的情况，“ ”表示上升，“”表示下降，“—”则表示名次没有变化.已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是_ _ _ _ ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一种符合条件的排序）.
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县
变化情况 — — —
【答案】； （或）
【解析】地名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，地名次无变化，
地只能是第3名上升而来的，即上一年度地名次是第3名.
同理，地名次下降，只能是第1名下降而来的.
上一年度排名第1的区县是，上一年度排名前四的依次是，，，.
F地名次下降，只能是从第5名下降，即上一年度地排第5，
易得地名次上升，只能是从第9名上升，即上一年度地排第9.
地本年度排第5，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，
地上一年度可能是排第6或者第7.
若地上一年度排第6，则地上一年度排第7，地上一年度排第8.
上一年度排名从前往后依次是，，，，，，，，，.
若地上一年度排第7，
则地上一年度排第6，地上一年度排第8.
上一年度排名从前往后依次是，，，，，，，，，.
上一年度排在第6，7，8名的区县依次是或.
方法点睛
面对比较复杂的信息先进行适当的筛选，将能够确定的信息确定下来，降低未知信息的个数.由于每个区县的名次变化都不超过两位，从前、后入手分别确定名次变化的区县上一年的排名可以作为本题突破点，将剩下区县的情况进行分类讨论.
7．“端午节”是中国的传统佳节，为了传承中华民族传统文化，某学校组织“端午”知识测试.测试的试题由6道判断题组成，被测试人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分.现有甲、乙、丙、丁四位同学对6道试题的判断与得分的结果如下：
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分
甲 √ × × √ × × 4分
乙 × √ × × √ × 4分
丙 × √ √ √ × √ 4分
丁 × × × √ × × ？
根据以上结果，可以推断丁的得分是_ _ _ _ 分.
【答案】5
【解析】知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确，所以对这6道题目的正确判断是： ，， ，， ， ，所以丁做对了5道，得了5分.
方法点睛
要通过得分寻找正确答案，如两人都得5分，则说明每人只有一道题出错，若错题不一样，则至少有4道题答案一致.
8．某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为,,且,,均为正整数.三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 总分
甲 9
乙 22
丙 9
则的值为_ _ _ _ ，三名同学在五轮比赛中，_ _ _ _ 同学获得的第二名最多.
【答案】5； 甲
【解析】 每轮分别决出第一、二、三名（不并列），
，
，
乙的得分最高为，，
又为正整数，，
，.
，,,均为正整数，
，，，
,
乙有4轮得第一，1轮得第二.
假设甲有一轮得第一，则甲的得分至少为，
与甲的实际得分不相符，
故甲没有一轮得第一，丙有一轮得第一，
，即丙剩下的3轮总分为3分，
剩下的3轮丙都是第三，
丙1轮得第一，4轮得第三，
又 乙4轮得第一，1轮得第二，
甲4轮得第二，1轮得第三，即甲获得的第二名最多.
考法二 解题过程的补充或辨析
类型1 解题过程的补充
1．2025山西阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并完成相应的任务.
任务:
（1） 问题1中的_ _ _ _ ,问题2中的依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 补全问题2的证明过程;
（3） 如图3,点在线段上,请在图3中作线段的双关联线段（要求:①尺规作图,保留作图痕迹,不写作法；②作出一条即可）.
图3
【答案】解：（1） 30；等角的补角相等.
（2） 补全证明过程如下：
是的外角，
.
是的外角，
.
,,
，
即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是 ，
，
线段是线段的双关联线段.
（3） 答案不唯一，例如：
如图，线段即为所求.
类型2 解题过程的辨析
2．[2025湖南长沙]衣服穿得好,扣好第一粒扣子很重要.青少年迈上人生第一个台阶就要走正道,要严格遵守国家法律法规.同样的道理,学好数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如:下面命题的推理过程所得出的错误结论就是不遵守数学的基本法则导致的.
命题:如果,,为实数,且满足，那么.
推理过程如下:
第一步:根据上述命题条件有；①
第二步:根据学过的整式运算法则有,,;②
第三步:把②代入①,可得；③
第四步:把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等,变形可得;④
第五步:把④两边同时除以,得.⑤
请你判断上述推理过程中,第_ _ _ _ 步是错误的,它违背了数学的基本法则.
【答案】五
【解析】由等式的基本性质可知,等式两边同时除以同一个不为0的整式,等式仍然成立.
第五步中，的值可能为0，故不能直接除以.
3．[2025河北]
（1） 一道习题及其错误的解答过程如下:
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
（2） 计算:.
【答案】
解：（1）第一步开始出现错误.正确的解答过程如下：
.
（2） 原式.
考法三 数学文化与学科融合
类型1 数学文化类
1．[2025河南]甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．[2025四川成都]中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有善田一亩,价三百；恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何 其大意是:今有良田1亩，价值300钱；劣田7亩，价值500钱.今合买良、劣田1顷（100亩）,价值10 000钱.问良田、劣田各有多少亩 设良田为亩,劣田为亩,则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
3．[2024山东泰安]我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果、苦果共一千个，若 ， ，试问买甜果、苦果各几个？
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“ ， ”表示的缺失条件应为 （ ）
A. 甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B. 甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C. 甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D. 甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
【答案】D
4．[2025广东]《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长,,都是正整数,则,,为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181
4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29
5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35
6,8,10 10, ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122
（1） 请补全上表中的勾股数.
（2） 根据上表中数据规律,用含字母（均为正整数）的代数式分别表示,,,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
（3） 某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花
【答案】 解：（1） 24.
（2）,,，其中，，，为正整数.
证明：
,
，
.（答案不唯一）
（3） 根据题意可知，，是符合种花最少要求的三角形三边长，
则一个直角三角形三条边的长度之和为，
图案是由四个全等的直角三角形组成的，
这块绿地最少需要种花（株）.
5．[2024四川成都]中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺.在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为.已知 , ,求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：,,,,,）
解： ，杆子垂直于地面，长8尺,
，
，
，
，
，
春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，
（尺）．
答：春分和秋分时日影长度约为9.2尺．
6．[2024甘肃]马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知和圆上一点.作法如下：
①以点为圆心，长为半径，作弧交于，两点；
②延长交于点；
即点，，将的圆周三等分.
图1 图2
（1） 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
解：（1）如图，点,,将的圆周三等分.
（2） .
【解析】
（2） 设交于点，连接,.
,
, .
易得,
,
,
,,,
的周长为.
类型2 学科融合类
7．[2024四川达州]当光从空气斜射入水中时，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．[2024安徽合肥模拟]生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的，如人的眼皮性状由常染色体上的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因控制.当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮.父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女.若父母都是双眼皮，且他们的基因型都是，则他们的子女是双眼皮的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9．[2023山东滨州]由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性.若将给定的溶液加水稀释，则在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】溶液呈碱性， 最初，随着所加水的体积增加，溶液碱性越来越弱，逐渐减小，但溶液始终呈碱性，不会小于或等于7.故选.
10．[2024四川广元]2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 秒.
【答案】
11．[2024福建]无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为 ,帆与航行方向的夹角为 ,风对帆的作用力为.根据物理知识，可以分解为两个力与,其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与,与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：,则_ _ _ _ .（单位：）（参考数据：,）
【答案】128
12．[2024江苏南京二模]化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“”原子的个数是，右边“”原子的个数也是.若己烷充分燃烧的化学方程式是，，为常数，则的值是_ _ _ _ .
【答案】12
【解析】由题意知
，
将，代入，
得，解得，
.
13．[2024北京丰台区一模]小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？小刚通过查阅资料得知，白帝城在现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度为，从宜昌到荆州的速度为.从奉节到荆州（途经宜昌）的水上路程为.经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多.
根据小刚的假设，回答下列问题：
（1） 奉节到宜昌的水上路程是多少？
（2） 李白能在一日之内从白帝城到达江陵吗？说明理由.
【答案】
解:（1） 设奉节到宜昌的水上路程为，
根据题意得，
解得.
答：奉节到宜昌的水上路程为.
（2） 不能.
理由：，
，
李白不能在一日之内从白帝城到达江陵.
14．[2025河北]一般固体都具有热胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在（本题涉及的温度均在此范围内）,原长为的铜棒、铁棒受热后,伸长量与温度的增加量之间的关系均为,其中 为常数,称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数（单位:/）;原长为的铁棒从加热到伸长了.
（1） 原长为的铜棒受热后升高,求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）.
（2） 求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长,求该铁棒温度的增加量.
（3） 将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热,当它们的伸长量相同时,若铁棒的温度比铜棒的高,求该铁棒温度的增加量.
【答案】
解：（1）.
答：该铜棒的伸长量为.
（2） 由题意得，解得.
该铁棒温度的增加量为.
答：铁的线膨胀系数为，该铁棒温度的增加量为.
（3） 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得
，
解得.
答：该铁棒温度的增加量为.
考法四 新定义问题
类型1 代数新定义
1．[2025湖南长沙]我们约定:当,,,满足,且时,称点与点为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”,就称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定,解答下列问题:
（1） 请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“”）.
① 函数是非零常数的图象上存在无数对“对偶点”.（ ）
② 函数一定不是“对偶函数”.（ ）
③ 函数的图象上至少存在两对“对偶点”. （ ）
（2） 若关于的一次函数与,都是常数,且均是“对偶函数”,求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和.
（3） 若关于的二次函数是“对偶函数”,求实数的取值范围.
【答案】 解:（1）① √
② √
③ ×
（2）由题意可得,,点与点是一对 “对偶点”,因为是 “对偶函数”,所以其图象上必存在一对 “对偶点”，
则两式相减可得,同理可得.
所以两个一次函数为,,因为,都是常数,且,所以这两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是如图所示的两个有公共直角顶点的等腰直角三角形,所以面积之和为.
（3） 由题意可得,当时,有两式相减可得,所以,代入①并整理得,由题意知此方程必有实数根,
当时,，不符合题意.
所以,解得.
2．[2024山东威海]定义 我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值.数轴上表示数,的点,之间的距离.特别地，当时，表示数的点与原点的距离等于.当时，表示数的点与原点的距离等于.
应用 如图，在数轴上，动点从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，动点从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.
（1） 经过多长时间，点,之间的距离等于3个单位长度
（2） 求点,到原点距离之和的最小值.
【答案】
解:（1） 设经过秒，点，点相距3个单位长度，
当点在点的左侧时，,解得.
当点在点的右侧时，,解得.
综上所述，运动4秒或6秒时，点,点相距3个单位长度.
（2） 设经过秒，点,点到原点距离之和为个单位长度，
令,则.
令,则.
当时，.
当时，.
当时，.
画出函数图象，观察图象可知，当时，点,到原点距离之和最小，最小值为3个单位长度.
类型2 几何新定义
3．[2025北京]在平面直角坐标系中,对于点和给出如下定义:若上存在两个不同的点,,对于上任意满足的两个不同的点,,都有,则称点是的关联点,称的大小为点与的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
（1） 如图,的半径为1.
① 在点,,中,点_ _ _ _ _ _ 是的关联点且其与的关联角度小于 ,该点与的关联角度为_ _ _ _ ；
② 点在第一象限,若对于任意长度小于1的线段,上所有的点都是的关联点,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 已知点,,,经过原点,线段上所有的点都是的关联点,记这些点与的关联角度的最大值为 .若 ,直接写出的取值范围.
【答案】① ；60.
② .
（2） 或或.
【解析】
① 根据定义可知，当点在上时，不存在，，对于上任意满足的点，都有；
当点在内部时，符合题意的，为过点的直径的两端点，此时点与的关联角度为 ；
当点在的外部，且，为的切线时，符合题意.
点在内，点在外且与的关联角度大于 ，点在外且与的关联角度小于 ，
符合题意的关联点为点.
，的半径为1，
，，
是的切线，
，
，
，即点与的关联角度为 .
② 根据定义可得为外一点，
，的半径为1，
，
当时，如图，取点，则 ，
，
的最小值为.
（2） 设的关联点为点，半径为,由（1）可得，点在外或内.
当点在圆的外部，且，为圆的切线时，存在符合题意，且越大，点距离圆心越近.
当 时，如图，由 ，
易证四边形是正方形，
，
当 时，.
，，，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，， 线段上所有的点都在的圆环内.
①如图，当线段与半径为的圆相切时，
，,
.
②如图，当线段与半径为的圆相切时，.
.
③如图，当线段在半径为的圆内且点在圆上时，,
，
解得，
时，线段上的所有点都在内部，此时 .
④如图，当线段在半径为的圆外且点在圆上时，,
则，
，
解得（舍负），,
时， .
综上所述，或或.
考法五 阅读型试题
类型1 阅读解题方法
1．[2025湖南]【问题背景】
如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示.
【动手操作】
现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作.（以下操作均能实现）
①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图3所示；
②连接，过点作直线交射线于点，如图4所示；
③在边上取一点，分别连接，，，如图5所示.
【问题解决】
请解决下列问题：
（1） 如图3，填空：_ _ _ _ ；
（2） 如图4，求证：；
（3） 如图5，若， ，求证：.
【答案】（1） 90
（2） 证明：根据题意得， ，，
，
，， ，
是等腰直角三角形，
，
，
直线，即 ，
，
，
，
又，，
.
（3） 证明：如图所示，过点作于点，
，
，
，
设，则，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，，即，又，
，，
.
2．[2025江苏扬州]材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银.”莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图1所示,接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角,图1中的就是水滴的一个接触角.
图1
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角.（保留作图痕迹,写出必要的文字说明）
图2
（2） 材料的疏水性随着接触角的变大而_ _ _ _ （选填“变强”“不变”“变弱”）.
【实践探索】
实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径,求出的度数,进而求出接触角的度数（如图3）.
图3
（3） 请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示）,并说明理由.
【创新思考】
（4） 材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外,还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
【答案】
解：（1） 如图，即为接触角.
说明：①在圆弧上取一点，设固、液、气三相接触点为，，连接，；
②分别作，的中垂线，两线交于点，则点为圆心；
③连接并延长，过点作，则为圆的切线，故即为所求.
（2） 变强.
（3） ，理由如下：
连接，则，
，
由题意得为的切线，
为的半径，，
，
，
，
，
.
（4） 设经过球心的纵截面中的弧长为，半径为,弧所对的圆心角为 ,则，
，
可以根据的大小进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强.（合理即可）
类型2 阅读材料报告
3．[2025新疆]某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动,撰写实验报告如下:
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪,卷尺等
实验过程 1.站在与教学楼底部在同一水平面的处,由于大树的遮挡,视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时,,三点在同一直线上）; 2.测量,两点和,两点间的距离； 3.用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 4.向后退至点处时,视线恰能看到校徽底部处（此时,,三点在同一直线上）,测量,两点间的距离; 5.用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角
实验图示 测量数据 ； ； ； 4. ； 5.
备注 1.图上所有点均在同一平面内；,,,均与地面垂直. 参考数据:,,；,,
请你根据以上实验过程和测量的数据,计算校徽的高度的值.
解：由题意得，四边形与四边形为矩形，
，
在中，，
.
在中，，
，
.
答：校徽的高度为.
4．[2025山西]近年来,交通工具的多样化和普及化,为家长接送孩子带来便利的同时,也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵.为了解具体情况,某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长,针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图）,所有问卷全部收回且有效,并将调查结果绘制成了扇形统计图和条形统计图（不完整）.请认真阅读上述信息,回答下列问题:
中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为优化校园周边交通环境，诚邀您参与 本次匿名调查.（以下均为单选） 1.您通常接送孩子的方式是（ ） A.步行 B.自行车 C.电动自行车 D.私家车 E.公共交通 2.您通常接送孩子的时段是（ ） （每项含最小值，不含最大值） A.B. C.D.其他时段
（1） 扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_ _ _ _ ，本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有_ _ _ _ 人,并补全条形统计图；
（2） 若该校共有1 500名家长中午放学后接送孩子,请估计用私家车接送孩子的家长人数;
（3） 假如你是爱心社团的成员,请根据上述统计图中的信息,写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因,并给家长提出一条缓解拥堵的建议.
【答案】
解：（1） 36；135；补全条形统计图如图.
（2） .
答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450.
（3） 答案不唯一，例如：
原因：①由扇形统计图可知，用电动自行车和私家车接送孩子的家长人数占比较大，为，容易造成放学后校门口交通拥堵.②由条形统计图可知，在时段，接送孩子的电动自行车和私家车的数量较多，容易造成放学后校门口交通拥堵.
建议：①建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子.②建议用电动自行车或私家车接送孩子的家长，在条件允许的情况下避开时段接送孩子.
5．[2025广东]2025年2月,广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,并对所得数据进行处理.部分信息如下:
调查问卷 整理与描述
1.你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位:小时）（ ）（单选） A. B. C. D. 每天参加体育活动（含体育课）的时间统计图
2.随着体育活动时间的延长,学校拟增设体育活动项目,你希望增设的活动项目有（ ）（可多选） E.球类 F.田径类 G.体操类 .水上类 希望增设的活动项目统计表
根据以上信息,解答下列问题:
（1） 求参与这次问卷调查的学生人数;
（2） 估计该校1 000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数;
（3） 基于上述两项调查的数据,提炼出一条信息,并向学校提出相应的建议.
【答案】
解：（1）.
答：参与这次问卷调查的学生人数为200.
（2） .
答：估计该校1 000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为375.
（3） 由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，建议学校增设球类设施供学生使用，延长学生体育活动时间.（言之有理即可）
考法六 综合与实践
1．[2025吉林]综合与实践:确定建筑物的打印模型的高度.
项目提出:下图是某城市规划展览馆.树人中学的打印社团为展示城市文化,准备制作该城市规划展览馆的打印模型,需要测量并计算展览馆高度,为制作打印模型提供数据.
项目报告表 时间:2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
项目实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据,并画出了如图所示的测量草图. 1.测出测角仪的高. 2.利用测角仪测出展览馆顶端的仰角 . 3.测出测角仪底端处到展览馆底端处的距离
任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据,计算该城市规划展览馆的高度（结果精确到；参考数据:,,）
任务三．换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小,得到其打印模型的高度约为_ _ _ _ （结果精确到）
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据,帮助该社团完成任务二和任务三.
【答案】
解：任务二 由题意得四边形为矩形，
，.
在中，,
，
.
故该城市规划展览馆的高度约为.
任务三 19.
【解析】
任务三 设打印模型的高度为，
由题意得，
解得.
故打印模型的高度约为.
2．[2024山西]综合与实践
问题情境：如图1,矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点,在矩形的边上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
图1 图2
方案设计：如图2,米，的垂直平分线与抛物线交于点,与交于点,点是抛物线的顶点，且米.欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点,使 .用篱笆沿线段,分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点（不与,重合）,过点作的平行线，交抛物线于点,.用篱笆沿,将线段,与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长.为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：
（1） 在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式.
（2） 求6米材料恰好用完时与的长.
（3） 种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段,上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.
【答案】
解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系.
所在直线是的垂直平分线,且,
.
点的坐标为.
, 点的坐标为.
点是抛物线的顶点,
设抛物线的函数表达式为.
点在抛物线上,
，解得.
抛物线的函数表达式为.
（2） 点,在抛物线上,
设点的坐标为.
,交轴于点,
,.
在中， ,,
.
.
根据题意,得，
.
解得，（不符合题意,舍去）,
,.
答:的长为4米,的长为2米.
（3） .
3．[2025内蒙古]问题背景
综合与实践课上,老师让同学们设计一个家电装置图案,某小组设计的效果图如图所示.
外形参数
如图1,装置整体图案为轴对称图形,外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成，抛物线的高度为,矩形的边,,抛物线的高度为，在装置内部安装矩形电子显示屏,点,在抛物线上,点,在抛物线上.
图1
问题解决
如图2,该小组以矩形的顶点为原点,以边所在的直线为轴,以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数,完成以下任务:
图2
（1） 直接写出,,三点的坐标；
（2） 直接写出抛物线和的顶点坐标,并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3） 为满足矩形电子显示屏的空间要求,需要边的长为,求此时边的长.
【答案】 解：（1），，.
（2） 抛物线和的顶点坐标分别为，.
分别设抛物线和的函数表达式为，，
将代入，
解得，则抛物线的函数表达式为.
将代入，解得，则抛物线的函数表达式为.
（3） 易得轴，轴，装置整体图案对称轴为直线,
，
设，
，，
，
解得或6（舍），
，
由抛物线的对称性可得.
4．[2025广西]综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞,遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）.
初始时,矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示,在上,,,,,.由于场地限制,参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞.在移动过程中,也随之移动始终在边所在直线上，且形状、大小保持不变,但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状,图3为移动到落在上的情形.
【问题提出】西西同学打算用数学方法,确定遮阳区面积最大时的位置.设遮阳区的面积为,从初始时向右移动的距离为.
【直观感知】
（1） 从初始起右移至图3情形的过程中,随的增大如何变化？
【初步探究】
（2） 求图3情形的与的值.
【深入研究】
（3） 从图3情形起右移至与重合,求该过程中关于的解析式.
【问题解决】
（4） 当遮阳区面积最大时,向右移动了多少？（直接写出结果）
【答案】
解:（1） 由题图2可知，初始位置时，
从初始起右移至题图3情形的过程中，随的增大而增大.
（2） 根据题意，初始位置时在上，右移至题图3时，在上，
向右移动的距离，此时，落在上，
，
.
题图3情形的的值为3，的值为5.
（3） 设初始位置时， ，如图.
，， ，
.
当时，设交于，交于，交于，连接，如图.
由平移的性质可知，，，
，，
易知，
，.
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形，四边形都是梯形，
，
当或4时，，符合上式.
关于的解析式为.
（4） .
5．[2025河北]综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分,焊接成直角护板（如图1）,需找到合适的切割线.
图1
［模型］已知矩形（数据如图2所示）.作一条直线,使与所夹的锐角为 ,且将矩形分成周长相等的两部分.
图2
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
［探究］根据以上描述,解决下列问题.
（1） 图2中,矩形的周长为_ _ _ _ .
（2） 在图3的基础上,用尺规作图作出直线（作出一条即可,保留作图痕迹,不写作法）.
（3） 根据淇淇的作图过程,请说明图4中的直线符合要求.
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论,请继续研究下面的问题.
（4） 如图5,若直线将矩形分成周长相等的两部分,分别交边,于点,,过点作于点,连接.
图5
① 当 时,求的值;
② 当最大时,直接写出的长.
【答案】解：（1） 10
（2） 如图所示.（答案不唯一）
（3） 四边形是矩形，，，，， ，
，， 直线垂直平分，
，，，
， 四边形为平行四边形，，
，
，
，即四边形与四边形周长相等.
直线符合要求.
（4） ① 连接，交于点，过点作于点，过点作于点，
，，把矩形分成了周长相等的两部分，
点为矩形对角线的交点，
，，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，.
② .
【解析】
（2） 【提示】在上截取，过点，作直线，交于点.
（4）② 如图所示，连接，由①可知为的中点.取中点，连接.
， 点在以为直径的上，
当与相切时，最大.
，，，，，
过点作， ，
四边形是矩形， ，，
，
，，
，，
，
，
与相切于点， ，
.
6．[2025安徽]综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地.
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫作图形的密铺.
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为.
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”.
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而个这样的拼接单元拼成一行的长度为.
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③，从而个这样的拼接单元拼成一行的长度为④.
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元.
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用.
（3）方式确定：
（ⅰ）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示的方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止.
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案.
方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图5）.
图5
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼14个拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为103元.
由于每行宽度为按1.73计算，设拼成行，则，解得，故需铺21行.由知，方案一所需的总成本为2 163元.
方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接.
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元.
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）.
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①_ _ _ _ ；②_ _ _ _ ；③_ _ _ _ ；
④_ _ _ _ ；⑤_ _ _ _ ；⑥_ _ _ _ .
【答案】1； 6； 60； ； 126； 2 142
【解析】
观察题图4可知，每增加一个题图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形.
由正六边形和正三角形组件的边长均为，可得增加的长度为，所以个这样的拼接单元拼成一行的长度为.
令，
移项可得，即，
解得，
每行可以先拼18个拼接单元.
共用去18个正六边形和个正三角形组件.
由知，所拼长度为，
剩余，无法再摆放组件.
由知，方案二每行的成本为126元.
由于每行宽度为按1.73计算，设拼成行，
则，
，
故需铺17行.
由知，方案二所需的总成本为2 142元.
故答案为1；6；60；；126；2 142.
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2026中考数学专题练
突破三 新视野考法
考法一 逻辑推理
类型1 推理最佳方案类
1．[2024北京]联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.
若节目按 “”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_ _ _ _ ;若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的先后顺序彩排.
方法点睛
对于第二个答题空，根据题意可知，若使这23位演员的候场时间之和最小，则可确定 在 的前面，在 的前面.
2．某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作.具体筹备工作包含以下内容（见表）.其中，相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作.
工作代码 工作名称 持续时间/天 前期工作
张贴海报、收集作品 7 无
购买展览用品 3 无
打扫展厅 1 无
展厅装饰 3
展位设计与布置 3
展品布置 2
宣传语与环境布置 2
展前检查 1
（1） 结束前期工作并完成“展厅装饰”最短需要_ _ _ _ 天；
（2） 完成本次展览会所有筹备工作最短需要_ _ _ _ 天.
方法点睛
（1）根据表格可知完成“展厅装饰”要完成 和 两项工作，从而可得需要的最少天数；
（2）根据表格可知完成 的时间里，可同时完成工作，，，然后可同时进行工作，，再进行工作，最后可进行工作，从而完成整个工作，即可得最短总工作时间.
3．[2023北京]学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需，，，，，，七道工序，加工要求如下：
①工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，工序须在工序，都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要_ _ _ _ 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要_ _ _ _ 分钟.
方法点睛
要根据加工的规则得到加工顺序：要考虑工序前后顺序和同时能进行工序的数量.
4．甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为，，，，，每个包裹的质量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的质量如下：
包裹编号 Ⅰ号产品质量/吨 Ⅱ号产品质量/吨 包裹的质量/吨
5 1 6
3 2 5
2 3 5
4 3 7
3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.
（1） 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出要装运包裹的编号）；
（2） 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ （写出要装运包裹的编号）.
方法点睛
1.要关注两个条件：装运的Ⅰ号产品不少于9吨且不多于11吨，以及载重不超过19.5吨；
2.要在（1）的基础上关注Ⅱ号产品最多这个条件.
类型2 推理未知元素类
5．某学习小组的六个人围成一个圆圈做报数游戏，游戏的步骤如下：
①每个人心里都想好一个数；
②每个人把自己想好的数悄悄如实地告诉他两旁的两个人；
③每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.
若报出来的数如图所示，则报5的人心里想的数为_ _ _ _ .
方法点睛
此题需要对题目深度理解并探索出规律，利用题目中平均数这个已知条件，通过列方程解决本题.
6．下表是某市某年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对上一年度名次变化的情况，“ ”表示上升，“”表示下降，“—”则表示名次没有变化.已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是_ _ _ _ ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一种符合条件的排序）.
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县
变化情况 — — —
方法点睛
面对比较复杂的信息先进行适当的筛选，将能够确定的信息确定下来，降低未知信息的个数.由于每个区县的名次变化都不超过两位，从前、后入手分别确定名次变化的区县上一年的排名可以作为本题突破点，将剩下区县的情况进行分类讨论.
7．“端午节”是中国的传统佳节，为了传承中华民族传统文化，某学校组织“端午”知识测试.测试的试题由6道判断题组成，被测试人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分.现有甲、乙、丙、丁四位同学对6道试题的判断与得分的结果如下：
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分
甲 √ × × √ × × 4分
乙 × √ × × √ × 4分
丙 × √ √ √ × √ 4分
丁 × × × √ × × ？
根据以上结果，可以推断丁的得分是_ _ _ _ 分.
方法点睛
要通过得分寻找正确答案，如两人都得5分，则说明每人只有一道题出错，若错题不一样，则至少有4道题答案一致.
8．某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为,,且,,均为正整数.三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 总分
甲 9
乙 22
丙 9
则的值为_ _ _ _ ，三名同学在五轮比赛中，_ _ _ _ 同学获得的第二名最多.
考法二 解题过程的补充或辨析
类型1 解题过程的补充
1．2025山西阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并完成相应的任务.
任务:
（1） 问题1中的_ _ _ _ ,问题2中的依据是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 补全问题2的证明过程;
（3） 如图3,点在线段上,请在图3中作线段的双关联线段（要求:①尺规作图,保留作图痕迹,不写作法；②作出一条即可）.
图3
类型2 解题过程的辨析
2．[2025湖南长沙]衣服穿得好,扣好第一粒扣子很重要.青少年迈上人生第一个台阶就要走正道,要严格遵守国家法律法规.同样的道理,学好数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如:下面命题的推理过程所得出的错误结论就是不遵守数学的基本法则导致的.
命题:如果,,为实数,且满足，那么.
推理过程如下:
第一步:根据上述命题条件有；①
第二步:根据学过的整式运算法则有,,;②
第三步:把②代入①,可得；③
第四步:把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等,变形可得;④
第五步:把④两边同时除以,得.⑤
请你判断上述推理过程中,第_ _ _ _ 步是错误的,它违背了数学的基本法则.
3．[2025河北]
（1） 一道习题及其错误的解答过程如下:
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
（2） 计算:.
考法三 数学文化与学科融合
类型1 数学文化类
1．[2025河南]甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025四川成都]中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目:今有善田一亩,价三百；恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何 其大意是:今有良田1亩，价值300钱；劣田7亩，价值500钱.今合买良、劣田1顷（100亩）,价值10 000钱.问良田、劣田各有多少亩 设良田为亩,劣田为亩,则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024山东泰安]我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果、苦果共一千个，若 ， ，试问买甜果、苦果各几个？
若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“ ， ”表示的缺失条件应为 （ ）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
4．[2025广东]《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长,,都是正整数,则,,为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数.
3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181
4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29
5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35
6,8,10 10, ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122
（1） 请补全上表中的勾股数.
（2） 根据上表中数据规律,用含字母（均为正整数）的代数式分别表示,,,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.
（3） 某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花
5．[2024四川成都]中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺.在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为.已知 , ,求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：,,,,,）
6．[2024甘肃]马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知和圆上一点.作法如下：
①以点为圆心，长为半径，作弧交于，两点；
②延长交于点；
即点，，将的圆周三等分.
图1 图2
（1） 请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为_ _ _ _ _ _ .
类型2 学科融合类
7．[2024四川达州]当光从空气斜射入水中时，光的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．[2024安徽合肥模拟]生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的，如人的眼皮性状由常染色体上的一对基因控制，双眼皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因控制.当一个人的基因型为或时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮.父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女.若父母都是双眼皮，且他们的基因型都是，则他们的子女是双眼皮的概率为 （ ）
A． B． C． D．
9．[2023山东滨州]由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性.若将给定的溶液加水稀释，则在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
10．[2024四川广元]2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 秒.
11．[2024福建]无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为 ,帆与航行方向的夹角为 ,风对帆的作用力为.根据物理知识，可以分解为两个力与,其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与,与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：,则_ _ _ _ .（单位：）（参考数据：,）
12．[2024江苏南京二模]化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“”原子的个数是，右边“”原子的个数也是.若己烷充分燃烧的化学方程式是，，为常数，则的值是_ _ _ _ .
13．[2024北京丰台区一模]小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗？小刚通过查阅资料得知，白帝城在现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度为，从宜昌到荆州的速度为.从奉节到荆州（途经宜昌）的水上路程为.经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多.
根据小刚的假设，回答下列问题：
（1） 奉节到宜昌的水上路程是多少？
（2） 李白能在一日之内从白帝城到达江陵吗？说明理由.
14．[2025河北]一般固体都具有热胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在（本题涉及的温度均在此范围内）,原长为的铜棒、铁棒受热后,伸长量与温度的增加量之间的关系均为,其中 为常数,称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数（单位:/）;原长为的铁棒从加热到伸长了.
（1） 原长为的铜棒受热后升高,求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）.
（2） 求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长,求该铁棒温度的增加量.
（3） 将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热,当它们的伸长量相同时,若铁棒的温度比铜棒的高,求该铁棒温度的增加量.
考法四 新定义问题
类型1 代数新定义
1．[2025湖南长沙]我们约定:当,,,满足,且时,称点与点为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”,就称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定,解答下列问题:
（1） 请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“”）.
① 函数是非零常数的图象上存在无数对“对偶点”.（ ）
② 函数一定不是“对偶函数”.（ ）
③ 函数的图象上至少存在两对“对偶点”. （ ）
（2） 若关于的一次函数与,都是常数,且均是“对偶函数”,求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和.
（3） 若关于的二次函数是“对偶函数”,求实数的取值范围.
2．[2024山东威海]定义 我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值.数轴上表示数,的点,之间的距离.特别地，当时，表示数的点与原点的距离等于.当时，表示数的点与原点的距离等于.
应用 如图，在数轴上，动点从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，动点从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.
（1） 经过多长时间，点,之间的距离等于3个单位长度
（2） 求点,到原点距离之和的最小值.
类型2 几何新定义
3．[2025北京]在平面直角坐标系中,对于点和给出如下定义:若上存在两个不同的点,,对于上任意满足的两个不同的点,,都有,则称点是的关联点,称的大小为点与的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
（1） 如图,的半径为1.
① 在点,,中,点_ _ _ _ _ _ 是的关联点且其与的关联角度小于 ,该点与的关联角度为_ _ _ _ ；
② 点在第一象限,若对于任意长度小于1的线段,上所有的点都是的关联点,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 已知点,,,经过原点,线段上所有的点都是的关联点,记这些点与的关联角度的最大值为 .若 ,直接写出的取值范围.
考法五 阅读型试题
类型1 阅读解题方法
1．[2025湖南]【问题背景】
如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示.
【动手操作】
现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作.（以下操作均能实现）
①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图3所示；
②连接，过点作直线交射线于点，如图4所示；
③在边上取一点，分别连接，，，如图5所示.
【问题解决】
请解决下列问题：
（1） 如图3，填空：_ _ _ _ ；
（2） 如图4，求证：；
（3） 如图5，若， ，求证：.
2．[2025江苏扬州]材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银.”莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图1所示,接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气-液界线的切线与固-液界线的夹角,图1中的就是水滴的一个接触角.
图1
（1） 请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角.（保留作图痕迹,写出必要的文字说明）
图2
（2） 材料的疏水性随着接触角的变大而_ _ _ _ （选填“变强”“不变”“变弱”）.
【实践探索】
实践中,可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径,求出的度数,进而求出接触角的度数（如图3）.
图3
（3） 请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示）,并说明理由.
【创新思考】
（4） 材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外,还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想,并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
类型2 阅读材料报告
3．[2025新疆]某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动,撰写实验报告如下:
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪,卷尺等
实验过程 1.站在与教学楼底部在同一水平面的处,由于大树的遮挡,视线恰能看到悬挂的校徽顶部处（此时,,三点在同一直线上）; 2.测量,两点和,两点间的距离； 3.用测角仪测得从眼睛处看校徽顶部处的仰角； 4.向后退至点处时,视线恰能看到校徽底部处（此时,,三点在同一直线上）,测量,两点间的距离; 5.用测角仪测得从眼睛处看校徽底部处的仰角
实验图示 测量数据 ； ； ； 4. ； 5.
备注 1.图上所有点均在同一平面内；,,,均与地面垂直. 参考数据:,,；,,
请你根据以上实验过程和测量的数据,计算校徽的高度的值.
4．[2025山西]近年来,交通工具的多样化和普及化,为家长接送孩子带来便利的同时,也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵.为了解具体情况,某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长,针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图）,所有问卷全部收回且有效,并将调查结果绘制成了扇形统计图和条形统计图（不完整）.请认真阅读上述信息,回答下列问题:
中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为优化校园周边交通环境，诚邀您参与 本次匿名调查.（以下均为单选） 1.您通常接送孩子的方式是（ ） A.步行 B.自行车 C.电动自行车 D.私家车 E.公共交通 2.您通常接送孩子的时段是（ ） （每项含最小值，不含最大值） A.B. C.D.其他时段
（1） 扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_ _ _ _ ，本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有_ _ _ _ 人,并补全条形统计图；
（2） 若该校共有1 500名家长中午放学后接送孩子,请估计用私家车接送孩子的家长人数;
（3） 假如你是爱心社团的成员,请根据上述统计图中的信息,写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因,并给家长提出一条缓解拥堵的建议.
5．[2025广东]2025年2月,广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,并对所得数据进行处理.部分信息如下:
调查问卷 整理与描述
1.你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位:小时）（ ）（单选） A. B. C. D. 每天参加体育活动（含体育课）的时间统计图
2.随着体育活动时间的延长,学校拟增设体育活动项目,你希望增设的活动项目有（ ）（可多选） E.球类 F.田径类 G.体操类 .水上类 希望增设的活动项目统计表
根据以上信息,解答下列问题:
（1） 求参与这次问卷调查的学生人数;
（2） 估计该校1 000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数;
（3） 基于上述两项调查的数据,提炼出一条信息,并向学校提出相应的建议.
考法六 综合与实践
1．[2025吉林]综合与实践:确定建筑物的打印模型的高度.
项目提出:下图是某城市规划展览馆.树人中学的打印社团为展示城市文化,准备制作该城市规划展览馆的打印模型,需要测量并计算展览馆高度,为制作打印模型提供数据.
项目报告表 时间:2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
项目实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据,并画出了如图所示的测量草图. 1.测出测角仪的高. 2.利用测角仪测出展览馆顶端的仰角 . 3.测出测角仪底端处到展览馆底端处的距离
任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据,计算该城市规划展览馆的高度（结果精确到；参考数据:,,）
任务三．换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小,得到其打印模型的高度约为_ _ _ _ （结果精确到）
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据,帮助该社团完成任务二和任务三.
2．[2024山西]综合与实践
问题情境：如图1,矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点,在矩形的边上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
图1 图2
方案设计：如图2,米，的垂直平分线与抛物线交于点,与交于点,点是抛物线的顶点，且米.欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点,使 .用篱笆沿线段,分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点（不与,重合）,过点作的平行线，交抛物线于点,.用篱笆沿,将线段,与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长.为此，欣欣在图2中以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：
（1） 在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式.
（2） 求6米材料恰好用完时与的长.
（3） 种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段,上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.
3．[2025内蒙古]问题背景
综合与实践课上,老师让同学们设计一个家电装置图案,某小组设计的效果图如图所示.
外形参数
如图1,装置整体图案为轴对称图形,外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成，抛物线的高度为,矩形的边,,抛物线的高度为，在装置内部安装矩形电子显示屏,点,在抛物线上,点,在抛物线上.
图1
问题解决
如图2,该小组以矩形的顶点为原点,以边所在的直线为轴,以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数,完成以下任务:
图2
（1） 直接写出,,三点的坐标；
（2） 直接写出抛物线和的顶点坐标,并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3） 为满足矩形电子显示屏的空间要求,需要边的长为,求此时边的长.
4．[2025广西]综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动.九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞,遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）.
初始时,矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示,在上,,,,,.由于场地限制,参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞.在移动过程中,也随之移动始终在边所在直线上，且形状、大小保持不变,但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状,图3为移动到落在上的情形.
【问题提出】西西同学打算用数学方法,确定遮阳区面积最大时的位置.设遮阳区的面积为,从初始时向右移动的距离为.
【直观感知】
（1） 从初始起右移至图3情形的过程中,随的增大如何变化？
【初步探究】
（2） 求图3情形的与的值.
【深入研究】
（3） 从图3情形起右移至与重合,求该过程中关于的解析式.
【问题解决】
（4） 当遮阳区面积最大时,向右移动了多少？（直接写出结果）
5．[2025河北]综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分,焊接成直角护板（如图1）,需找到合适的切割线.
图1
［模型］已知矩形（数据如图2所示）.作一条直线,使与所夹的锐角为 ,且将矩形分成周长相等的两部分.
图2
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
［探究］根据以上描述,解决下列问题.
（1） 图2中,矩形的周长为_ _ _ _ .
（2） 在图3的基础上,用尺规作图作出直线（作出一条即可,保留作图痕迹,不写作法）.
（3） 根据淇淇的作图过程,请说明图4中的直线符合要求.
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论,请继续研究下面的问题.
（4） 如图5,若直线将矩形分成周长相等的两部分,分别交边,于点,,过点作于点,连接.
图5
① 当 时,求的值;
② 当最大时,直接写出的长.
6．[2025安徽]综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地.
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫作图形的密铺.
（2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为.
（3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”.
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而个这样的拼接单元拼成一行的长度为.
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加①个正六边形和②个正三角形，长度增加③，从而个这样的拼接单元拼成一行的长度为④.
【项目分析】
（1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元.
（2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用.
（3）方式确定：
（ⅰ）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
（ⅱ）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示的方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
（ⅲ）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止.
（4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案.
方案一：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接（如图5）.
图5
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼14个拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为103元.
由于每行宽度为按1.73计算，设拼成行，则，解得，故需铺21行.由知，方案一所需的总成本为2 163元.
方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接.
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为⑤元，总成本为⑥元.
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）.
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①_ _ _ _ ；②_ _ _ _ ；③_ _ _ _ ；
④_ _ _ _ ；⑤_ _ _ _ ；⑥_ _ _ _ .
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