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2026年高考数学一轮复习专题课件★★ 抛物线(二)
①相切：k≠0，Δ＝0；
②相交：k≠0，Δ>0或k＝0；
③相离：k≠0，Δ<0.
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直线与抛物线的位置关系
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1>y2，则有下列性质：
(1)y1y2＝_______，x1x2＝______．
－p2
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若直线与抛物线相交，则它们有两个公共点．
夯实双基
答案 (1)×
(2)所有的焦点弦中，通径的长最短．
答案 (2)√
(3)若直线l过(2p，0)，与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，O为原点，则OA⊥OB.
答案 (3)√
(4)若过准线上一点P作抛物线的两条切线，A，B为切点，则直线AB过抛物线焦点．
答案 (4)√
(5)若AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点的一条弦，BB1⊥准线于B1，O为原点，则A，O，B1三点共线．
答案 (5)√
2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x有且仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
√
解析 两条切线，还有一条平行于x轴．
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
√
∴抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据抛物线的定义，得
∴|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，
又∵PQ经过焦点F，且x1＋x2＝6，
∴|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
√
5. (人教A版选修一P138习题3.3T5改编)如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM＝60°，则|MF|＝________．
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题型一 焦点弦问题
已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，θ为直线AB的倾斜角，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：
【答案】 (1)证明见解析
【思路】 (1)写出焦点F的坐标 ，由点斜式写出过焦点F的直线方程，注意讨论斜率是否存在，然后与y2＝2px联立，再由根与系数的关系即得；
【思路】 (2)中|AB|＝|AF|＋|BF|，再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离即可；
【答案】 (2)证明见解析
【思路】 (3)中S△AOB＝S△AOF＋S△BOF，再由面积公式求得；
【答案】 (3)证明见解析
【答案】 (4)证明见解析
【思路】 (4)中将点到焦点的距离转化为点到准线的距离；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
【答案】 (5)证明见解析
【证明】 (5)设AB的中点为M，分别过A，M，B作准线的垂线，垂足分别为C，N，D.
【讲评】 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．
状元笔记
(1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点(以抛物线y2＝2px(p>0)为例)：
①设焦点弦与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．
②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y12＝2px1，y22＝2px2.
③利用y12y22＝4p2x1x2可以整体得到y1y2或x1x2.
(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，再转化为到准线的距离，再求解．
√
【解析】 方法一：作出抛物线的准线，过A，B分别向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，过B点作BH⊥AA1于点H.
设|AF|＝m，|BF|＝n，由抛物线定义得|AA1|＝|AF|＝m，|BB1|＝|BF|＝n，∴|AH|＝m－n，|AB|＝m＋n.
(2)(高考真题·全国卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
√
【思路】 先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立、化简，再利用根与系数的关系求解．
(3)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为 的直线交C于A，B(A在上方)，且|AF|＝6，则|BF|＝________．
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题型二 抛物线的切线
(1)过抛物线x2＝4y上一点(4，4)的切线方程为__________．
y＝2x－4
由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，
得k2－4k＋4＝0.∴k＝2.
故切线方程为y－4＝2(x－4)，即y＝2x－4.
∴切线方程为y－4＝2(x－4)．
∴y＝2x－4.
(2)过点P(－1，－2)的两条直线与抛物线C：x2＝4y分别相切于A，
B两点，则三角形PAB的面积为________．
状元笔记
(1)直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体现在抛物线和双曲线的情况．
(2)在讨论时应注意全面，不要忽略二次项的系数为零的情况．
√
思考题2 (1)(2025·重庆八中适应性考试)设F为抛物线C：x2＝2y的焦点，P为C上一点且在第一象限，C在点P处的切线交x轴于N，交y轴于T，若∠FPT＝30°，则直线NF的斜率为( )
(2)设抛物线x2＝2py(p>0)，M为直线y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，记A，B，M的横坐标分别为xA，xB，xM，则( )
A．xA＋xB＝2xM B．xAxB＝xM2
√
题型三 直线与抛物线的综合问题
(2019·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为
的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
【答案】 (1)12x－8y－7＝0
思考题3 (1)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________．
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【解析】 方法一：由题意可知A(－2，0)，焦点坐标为(2，0)．
设过抛物线焦点的直线方程为x＝my＋2，
代入y2＝8x，消去x，得y2－8my－16＝0，易知Δ>0.
设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则yMyN＝－16，
所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，
所以由抛物线的定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
方法二：由题意可知A(－2，0)，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，
即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，
∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
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【解析】 设直线AB的方程为x＝ty＋m(m＞0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴交点为M(m，0)．
∴y1·y2＝－3，
根据抛物线的对称性，不妨假设点A在x轴的上方，则y1>0.
【讲评】 求解本题时，应考虑以下几个点：
①联立直线与抛物线方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
②求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
③利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．
圆锥曲线的第二定义及焦半径公式
【人教A版选修一P113例6，P125例5】
圆锥曲线的第二定义
平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l(点F不在直线l上)的距离比等于一个常数e(e>0)的动点M的轨迹是圆锥曲线．当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．
圆锥曲线焦半径定义
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径．
对于椭圆和双曲线上的任意一点，都对应有两条焦半径，对于抛物线上任意一点，焦半径唯一存在．
(1)椭圆的焦半径公式：
(2)双曲线的焦半径公式(只讨论焦点在x轴上的情况，焦点在y轴上的情况略)：
①当点P在双曲线的左支上时，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a；
②当点P在双曲线的右支上时，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a.
(3)抛物线的焦半径公式(F为抛物线焦点)：
(2，±3)
(3)设抛物线y2＝12x的焦点为F，经过点P(4，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________．
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【解析】 (3)由题意可得F(3，0)，抛物线的准线为x＝－3，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，根据抛物线的定义，得|AF|＝|AC|＝x1＋3，|BF|＝|BD|＝x2＋3，
故|AF|＋|BF|＝(x1＋x2)＋6，
因为AB的中点为P(4，1)，
√
教师备用资料
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PART FOUR
一、设而不求&设而要求
——高考解析几何突围的两大绝招
高考中的解析几何问题多是“重复昨天的故事”，运用的多是一些常规的解题模式和常用的数学思想方法，即称之为“通性通法”的考查．但解析几何得分不高的原因是学生为“算”所困，不会选择问题的处理策略．解析几何要注重“通性通法”，通法引路，找到解题的切入点．以下面的题为例谈突围解析几何的两大通法绝招：“设而不求”与“设而要求”．
(一)设而不求
“设而不求”是简化计算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．
1．巧妙运用抛物线定义得出根与系数关系的联系，从而设而不求．
2．中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的另一种方法．
(1)△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为___________
_________________．
(2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是____________．
【解析】 (2)当k＝0时，显然成立．
当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，连接BC，设BC的中点为M(x0，y0)，又y12＝2x1，y22＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1
3．求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求．
(2017·课标全国Ⅰ，改编)已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．
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(二)设而要求
解析几何的综合问题，常常涉及直线与曲线相交，当两个交点坐标未知时，用“设而不求”避免求交点，从而简化计算．而当其中一个交点坐标是已知的或除根与系数的关系外，还有坐标等量关系，则常用到“设而要求”．
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
【解析】 (2)由题意知直线PB的斜率存在且不为0，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0，2)，则直线PB
二、反思感悟
“熟”怎样才能生“巧”？要学会剖析，找出关键点和切入点，把一类题型具有的共性总结出来，提炼后形成数学思想方法，在不断地反思与探索中，掌握解答此类问题的通法，达到举一反三的目的．“设而不求”与“设而要求”这两大绝招，适用范围广，在各类题型中不乏其用武之地．
