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直线方程
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
直线的方向向量
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l的方向向量的坐标为_______________；若l的斜率为k，则l的方向向量的坐标为__________．
直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l_____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴____________时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是______________．
回归教材
(x2－x1，y2－y1)
(1，k)
向上的方向
平行或重合
[0°，180°)
直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的__________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
____________．
正切值
tan α
直线方程的几种形式
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．
夯实双基
答案 (1)×
(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．
答案 (2)×
(3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．
答案 (3)√
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b表示．
答案 (4)×
答案 (5)×
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
答案 (6)√
2. 【多选题】如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2 B．k3＜k2
C．k3＜k1 D．k1＜k3
√
√
√
解析 由图可知k1＜k2，k3＜k2，k3＜k1.
3．直线y＝tan(－20°)x＋1的倾斜角为________．
160°
解析 k＝tan(－20°)＝－tan 20°＝tan 160°，
∵0°≤160°<180°，∴倾斜角为160°.
4．已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为_______________________．
x＋13y＋5＝0
5．经过点(4，1)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为______________________．
x－4y＝0或x＋y－5＝0
题型一 直线的倾斜角与斜率
(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是_________________.
【思路】 先求斜率k，根据其表达式确定其取值范围，再根据正切函数的单调性确定倾斜角的取值范围．
【解析】 设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，根据直线斜率的计算方法，可得直线的斜率为k＝－sin α，易得－1≤k≤1.由倾斜角与斜率
(2)本例中把斜率取值范围分为两个区间：[－1，1]＝[－1，0)∪[0，1]，即以0为分界线分成两部分．
(2)已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
√
状元笔记
1.求直线倾斜角取值范围的步骤
(1)求出斜率k的取值范围(若斜率不存在，则倾斜角为90°)．
(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围．
2．求直线斜率的方法
(3)导数法(曲线y＝f (x)在x0处的切线的斜率为k＝f′(x0))．
√
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二 直线的方程
(1)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为_________________．
3x＋4y＋15＝0
【解析】 由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
即3x＋4y＋15＝0.
(2)过点A(4，2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍的直线l的方程
为______________________．
(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且一个方向向量为v＝(－3，2)的直线方程为__________________．
2x＋3y－5＝0
状元笔记
直线方程的求法
(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)，进而根据已知条件求解．
(3)涉及截距问题，还要考虑截距为0这一特殊情况．
√
思考题2 (1)(2025·河北邢台期末)已知经过点(3，1)的直线l的一个方向向量为(3，2)，则l的方程为( )
A．3x＋2y－11＝0 B．2x－3y－3＝0
C．2x＋3y－9＝0 D．3x－2y－7＝0
(2)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为__________________．
5x－2y－5＝0
(3)若一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为________________________________．
2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0
①k>0时，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，无解．
②k<0时，(2k＋2)2＝－2k，
∴2k2＋5k＋2＝0，
则所求直线方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
题型三 直线方程的应用
过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：
(1)△AOB(O为原点)面积的最小值及此时直线l的方程；
【答案】 (1)△AOB面积的最小值为4，l：x＋2y－4＝0
【思路】 利用待定系数法，设出直线的点斜式或截距式方程，根据题中的条件求其斜率或截距，从而求得直线方程．
【解析】 (1)方法一：由题意设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k≠0)，
(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；
(3)求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程．
【答案】 (3)|PA|·|PB|的最小值为4，l：x＋y－3＝0
故|PA|·|PB|的最小值为4，此时，直线l的方程为x＋y－3＝0.
状元笔记
利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想，即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及基本不等式，何时取等号，一定要弄清．
【答案】 (1)证明见解析
思考题3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)求证：直线l过定点；
【解析】 (1)证明：直线l的方程化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
∴直线l过定点(－2，1)．
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
【答案】 (2)[0，＋∞)
【解析】 (2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，
则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
要使直线l不经过第四象限，
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【答案】 (3)S的最小值为4，l：x－2y＋4＝0
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
本课总结
y2)(x1≠x2)，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
2．求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为直线的倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．
3．求直线方程时，一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
4．重视轨迹法求直线方程，即在所求直线上设一任意点P(x，y)，再找出x，y的一次关系式．
