3.3 幂函数 课件(共18张PPT) 高一上学期数学人教A版必修第一册

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3.3 幂函数
思考：以下各函数关系分别是什么？有什么共同的特征？
（1）都具有幂的形式；
（2）均是以幂的底为自变量；
（3）幂的指数都是常数；
（4）自变量前的系数为1．
上述问题中涉及的函数，都是形如 的函数．
幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中 x 是自变量，a 是常数.
注意：(1)幂函数的解析式必须是 的形式，前面的系数是1，没有其他项；
(2)函数的定义域与a的值有关系.
例1.判断下列函数是否为幂函数．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
√
×
×
(1)系数为1;
×
×
√
(2)底数为自变量;
(3)指数为常数．
只有同时满足这三个条件的函数，才是幂函数．
例2.(1)若 是幂函数，则 _______， ________.
(2)已知幂函数 的图象经过点 ，则 _________.
-2
1
1
几个常见的幂函数
对于幂函数，我们只研究 时的图象与性质.
先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数图象，再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题 .
在同一坐标系中画出函数 和 的图象.
函数
图象
R
R
在R
上单调递增
奇函数
R
[0，+∞）
在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)单调递增
偶函数
R
R
在R
上单调递增
奇函数
定义域
值域
单调性
奇偶性
定点
[0，+∞）
[0，+∞）
在[0，+∞)上单调递增
非奇非偶函数
(-∞,0)∪(0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递减
奇函数
（1，1）
一般幂函数的图象和性质
观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可以得到幂函数 随a取不同值，图象的变化规律.
(1)当 时，
①图象都过点 ；
②在第一象限内，函数单调递增；
③在第一象限内， 时，图象是向下凸的，
时，图象是向上凸的；
④在第一象限内，过点 后，图象向右上方无限伸展.
(2)当 时，
①图象都过点 ；
②在第一象限内，函数单调递减；
③在第一象限内，图象是向下凸的，
④在第一象限内，图象向左与y 轴无限接近，向右与x轴无限接近.
在直线 的右侧，从x 轴起，幂函数的指数a由小到大递增，即“指大图高”
例3.幂函数 在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A.C1，C2，C3，C4
B.C1，C4，C3，C2
C.C3，C2，C1，C4
D.C1，C4，C2，C3
D
分数指数幂函数的性质
已知幂函数 ，若 α 为整数，我们知道
(1)当 α 为偶数时，函数为偶函数，
(2)当 α 为奇数时，函数为奇函数.
那么若 α 为分数，该如何研究幂函数的性质呢？
(3)当 α 为正分数 时，函数 可化为 ，
(4)当 α 为负分数 时，函数 可化为 .
例4.画出下列函数的图象
(1) (2)
(3) (4)




奇函数
偶函数


奇函数
偶函数
非奇非偶函数





1.比较下列各组数的大小.
(1)
(2)
答案:
2.如果函数 是幂函数，且在区间 内是减函数，求满足条件的实数m的集合.
3.已知幂函数 的图象过点 ,则 ______.
答案: (舍去 )
3
1.学习了幂函数的概念；
2.掌握幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象；
3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.