广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高一上学期第二阶段数学考试数学试题
1．（2024高一上·深圳期中）已知是函数的一个零点，则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·深圳期中）已知集合，集合则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·深圳期中）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·深圳期中）已知函数，则的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
5．（2024高一上·深圳期中）已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ）
A． B． C．1 D．3
6．（2024高一上·深圳期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·深圳期中）已知，且其在区间上的值域为，记满足该条件的实数、所形成的实数对为点，则由点P构成的点集组成的图形为（ ）
A．线段AD B．线段AB
C．线段AD与线段CD D．线段AB与线段BC
8．（2024高一上·深圳期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·深圳期中）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·深圳期中）若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”.下列函数为“函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·深圳期中）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．若是奇函数，则
C．是上的减函数
D．不等式的解集
12．（2024高一上·深圳期中） .
13．（2024高一上·深圳期中）定义在上的函数满足，当时，，则的值为 .
14．（2024高一上·深圳期中）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 .
15．（2024高一上·深圳期中）如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成.
（1）求的解析式；
（2）比较与的大小；
（3）已知，求的取值范围.
16．（2024高一上·深圳期中）设函数，其中为常数.
（1）当，求的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
17．（2024高一上·深圳期中）北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度（单位：）满足方程，其中表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取）
（1）当北极燕鸥每分钟的耗氧量为个单位时，它的飞行速度为，求此时的值；
（2）当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？
18．（2024高一上·深圳期中）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若方程有实数根，求的取值范围.
19．（2024高一上·深圳期中）已知函数.
（1）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意知函数 在上连续且单调递减，
计算各区间端点的函数值：，
，.
因为，根据函数零点存在性定理，函数的零点在区间内，即.
故答案为：C.
【分析】先判断函数的单调性，再计算区间端点的函数值，根据函数零点存在性定理（如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点）确定零点所在区间.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 因为集合，
集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】先分别求解集合（解一元二次不等式）和集合（求对数函数的定义域），再求两个集合的交集.
3．【答案】B
【知识点】指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为对数函数在上单调递增，且，所以，又因为，所以.
先化简.因为幂函数在上单调递增，且，所以.
根据指数运算法则，.又因为.
综上，
故答案为：B.
【分析】分别分析对数函数、幂函数、指数函数的单调性，求出、、的取值范围，再比较大小.
4．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
根据对数的性质，，所以.
故答案为：A.
【分析】先探究函数满足的的关系，再利用对数的性质将转化为，最后结合前面探究的关系计算的值.
5．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：已知，，且，所以，.
因为， ，.
所以.
故答案为：C.
【分析】先根据线段被两个幂函数图象三等分的条件，求出点、的坐标，再将坐标代入对应的幂函数表达式，结合指数运算法则求出的值.
6．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，和在上都单调递减，所以在上单调递减.
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，且，.
当时，，则.因为在上单调递减，，所以时，，结合，得.
当时，，则.因为在上单调递减，，所以时，，与无交集，此情况无解.
当时，，则.因为在上单调递减，，所以时，，结合，得.
综上，不等式的解集为
故答案为：A.
【分析】先分析当时函数的单调性，再利用奇函数的性质得到在上的单调性以及的值，然后分、、三种情况，结合求解不等式.
7．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数|的图象如图所示，当时，函数取得最小值1，令，得或，
因为函数在闭区间上的值域为，所以或
则有序实数对在坐标平面内所对应点组成的图形为题图中的线段AD与线段CD，
故答案为：C.
【分析】要确定满足条件的点组成的图形，需先分析函数的单调性与最值，再结合其在区间上的值域，分情况讨论、的取值范围，从而得出点集对应的图形.
8．【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；对数函数的图象与性质；二次函数模型
【解析】【解答】解：作出函数的图象如下图所示：
若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，
由可得或，解得或，
所以，，
由得，即，所以，，
由图可知，点、关于直线对称，则，
所以，，其中，
令函数，其中，则函数在上单调递增，
所以，，即，即.
故答案为：D.
【分析】先画出函数的图象，利用图象的对称性和对数函数的性质，确定方程有四个不同实数解时各解的关系，再将所求式子转化为关于的函数，通过分析该函数的单调性求取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化；基本不等式
【解析】【解答】解： 对于A选项，因为，因为，则，
，则，所以，，故，A对；
对于B选项，因为，则，，
所以，，，则，
所以，，可得，B对；
对于C选项，因为，则，C错；
对于D选项，因为，所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
事实上，，
所以，等号不成立，故，D对.
故答案为：ABD.
【分析】先将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质、函数单调性和基本不等式来判断各选项.
10．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 对任意，不等式
，则函数在上单调递减，
对于A，定义域为，且，则为偶函数，
且在上单调递减，则为“函数”，A正确；
对B，在上单调递增，则不是“函数”，B错误；
对于C，的定义域为，且，不为偶函数，C错误；
对于D，定义域为，当时，，，
当时，，，而，因此，为偶函数，
函数在上都单调递减，则在上单调递减，它是“函数”，D正确.
故答案为：AD.
【分析】首先要明确“函数”的定义：需满足是偶函数，且对任意不相等的，有，通过变形此不等式得出函数在上的单调性要求，然后依次对每个选项判断是否为偶函数以及在上的单调性.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A、易知函数的定义域为，，
因为，所以函数的图象关于点对称，
故A错误；
B、函数的定义域为，若函数是奇函数，则函数的图象关于原点对称，由A选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，故B正确；
C、、，且，易知，
则，
即，函数是上的减函数，故C正确；
D、由A选项可知：不等式为，
即，因为函数是上的减函数，所以，解得，则不等式的解集为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】求函数的定义域，由求函数的对称中心即可判断A；根据函数为奇函数，图象关于原点对称可得求a的值即可判断B；根据函数的单调性定义即可判断C；由A选项将不等式转化为，根据函数的单调性求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】分别对指数幂、对数运算部分进行计算，再将结果相加.利用指数幂的运算法则化简指数项，利用对数的换底公式和运算性质化简对数项，最后计算得出结果.
13．【答案】
【知识点】函数的周期性；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解 因为定义在上的函数满足，则，
所以，，
所以，函数为周期，且为该函数的一个周期，
因为，则，，
所以，
.
故答案为：.
【分析】首先根据已知条件推导函数的周期，再利用对数函数的单调性确定的范围，结合函数周期性将转化到已知解析式的区间内，最后代入计算.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解： 原不等式或，利用对数函数与指数函数的性质得到关于的不等式，求出对任意的正整数都成立的的取值即可.
【解答】
原不等式或，
而是正整数，于是或，
当时，由成立，得；
当，时，由成立，得，
令，函数在上都为增函数，则是上的增函数，
因此要使对，成立，当且仅当时成立即可，
当时，，于是，
所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是.
故答案为：
【分析】将原不等式转化为两个不等式组，利用对数函数与指数函数的性质，结合正整数的取值，分别分析不同值下的取值范围，最终确定对任意正整数恒成立的的范围.
15．【答案】（1）解：
由题意得，解得，所以
（2）解：因为，所以，即，所以.
（3）解：因为在上单调递减，则由，得，解得.
【知识点】指数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）对于求的解析式，利用函数图象上的点坐标满足函数解析式，结合指数函数和幂函数的形式，通过待定系数法确定参数和的值.
（2）比较与的大小，先分别分析指数函数和幂函数的单调性，再根据单调性判断函数值的大小关系.
（3）已知，先确定幂函数的单调性和定义域，再据此列出关于的不等式组求解.
（1）由题意得，解得，所以
（2）因为，所以，
即，所以.
（3）因为在上单调递减，
则由，得，解得.
16．【答案】解：（1），所以，，由于，即，解得.（2）因为恒成立，所以，即，分类参数，因为，所以，此时，所以，即实数的取值范围为.
（1）解：，
所以，，
由于，即，
解得.
（2）解：因为恒成立，所以，
即，
分类参数，
因为，所以，此时，
所以，
即实数的取值范围为.
【知识点】对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）对于求的值，根据函数的表达式，分别求出和，再利用建立方程求解.
（2）对于求的取值范围，先将不等式进行转化，通过分离参数得到关于的表达式，再分析该表达式在上的最值，从而确定的取值范围.
17．【答案】（1）解：将代入中，得，即，解得，
所以此时的值为.
（2）解： 设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，则
因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，
所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，
由题意可知，甲北极燕鸥的飞行速度满足方程为：，
乙北极燕鸥的飞行速度满足方程为：
，
由，得，即，解得，
所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的倍.
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）把已知的飞行速度和耗氧量代入给定方程，借助对数运算求出耗氧偏差.
（2）设出甲、乙的耗氧量与乙的耗氧偏差，根据速度相同列出方程，再通过对数运算求出甲、乙耗氧量的倍数关系.
（1）将代入中，得，即，解得，
所以此时的值为.
（2）设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，则
因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，
所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，
由题意可知，甲北极燕鸥的飞行速度满足方程为：，
乙北极燕鸥的飞行速度满足方程为：
，
由，得，即，解得，
所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的倍.
18．【答案】（1）解： 函数定义域为R，由函数为偶函数，得，
即，整理得，解得，
所以.
（2）解： 由（1）知，，
令函数，任意，
，
由，得，则，即，
函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，又是偶函数，则在上单调递减，
所以当时，取得最小值.
（3）解：依题意，方程有实数根，
令，则函数的图象与直线有交点，
而，又恒成立，则恒成立，，
所以的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，将与的表达式代入等式，通过对数运算和等式恒成立求出的值.
（2）先对进行化简变形，构造新函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，再结合对数函数的单调性得出的单调性，进而求出最小值.
（3）将方程有实数根的问题转化为函数图象交点问题，构造函数，分析其值域，从而确定的取值范围.
（1）函数定义域为R，由函数为偶函数，得，
即，整理得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
令函数，任意，
，
由，得，则，即，
函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，又是偶函数，则在上单调递减，
所以当时，取得最小值.
（3）依题意，方程有实数根，
令，则函数的图象与直线有交点，
而，又恒成立，则恒成立，，
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）解：∵，∴，即，
∵，∴，
∴，，
由题意，，
令，则，且，
∴，
由对勾函数知，在上单调递减，
∴，
∴，
即实数的取值范围为；
（2）解：由，可得，
由得：，
当时，，，满足题意；
当时，或；
若，即时，，满足题意；
若，由于方程有唯一解，
∴或，
解得：；
综上所述，实数的取值范围为或或a=3}.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）将不等式进行转化，通过分离参数，结合换元法与对勾函数的单调性求出实数的取值范围.
（2）先将方程转化为方程组，再整理为关于的方程，通过分类讨论的取值，结合方程解的情况确定的取值范围.
（1）∵，
∴，即，
∵，∴，
∴，，
由题意，，
令，则，且，
∴，
由对勾函数知，在上单调递减，
∴，
∴，
即实数的取值范围为；
（2）由，可得，
由得：，
当时，，，满足题意；
当时，或；
若，即时，，满足题意；
若，由于方程有唯一解，
∴或，
解得：；
综上所述，实数的取值范围为或或.
1 / 1广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高一上学期第二阶段数学考试数学试题
1．（2024高一上·深圳期中）已知是函数的一个零点，则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意知函数 在上连续且单调递减，
计算各区间端点的函数值：，
，.
因为，根据函数零点存在性定理，函数的零点在区间内，即.
故答案为：C.
【分析】先判断函数的单调性，再计算区间端点的函数值，根据函数零点存在性定理（如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点）确定零点所在区间.
2．（2024高一上·深圳期中）已知集合，集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 因为集合，
集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】先分别求解集合（解一元二次不等式）和集合（求对数函数的定义域），再求两个集合的交集.
3．（2024高一上·深圳期中）若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：因为对数函数在上单调递增，且，所以，又因为，所以.
先化简.因为幂函数在上单调递增，且，所以.
根据指数运算法则，.又因为.
综上，
故答案为：B.
【分析】分别分析对数函数、幂函数、指数函数的单调性，求出、、的取值范围，再比较大小.
4．（2024高一上·深圳期中）已知函数，则的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，
根据对数的性质，，所以.
故答案为：A.
【分析】先探究函数满足的的关系，再利用对数的性质将转化为，最后结合前面探究的关系计算的值.
5．（2024高一上·深圳期中）已知幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：已知，，且，所以，.
因为， ，.
所以.
故答案为：C.
【分析】先根据线段被两个幂函数图象三等分的条件，求出点、的坐标，再将坐标代入对应的幂函数表达式，结合指数运算法则求出的值.
6．（2024高一上·深圳期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：当时，和在上都单调递减，所以在上单调递减.
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，且，.
当时，，则.因为在上单调递减，，所以时，，结合，得.
当时，，则.因为在上单调递减，，所以时，，与无交集，此情况无解.
当时，，则.因为在上单调递减，，所以时，，结合，得.
综上，不等式的解集为
故答案为：A.
【分析】先分析当时函数的单调性，再利用奇函数的性质得到在上的单调性以及的值，然后分、、三种情况，结合求解不等式.
7．（2024高一上·深圳期中）已知，且其在区间上的值域为，记满足该条件的实数、所形成的实数对为点，则由点P构成的点集组成的图形为（ ）
A．线段AD B．线段AB
C．线段AD与线段CD D．线段AB与线段BC
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数|的图象如图所示，当时，函数取得最小值1，令，得或，
因为函数在闭区间上的值域为，所以或
则有序实数对在坐标平面内所对应点组成的图形为题图中的线段AD与线段CD，
故答案为：C.
【分析】要确定满足条件的点组成的图形，需先分析函数的单调性与最值，再结合其在区间上的值域，分情况讨论、的取值范围，从而得出点集对应的图形.
8．（2024高一上·深圳期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；对数函数的图象与性质；二次函数模型
【解析】【解答】解：作出函数的图象如下图所示：
若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，
由可得或，解得或，
所以，，
由得，即，所以，，
由图可知，点、关于直线对称，则，
所以，，其中，
令函数，其中，则函数在上单调递增，
所以，，即，即.
故答案为：D.
【分析】先画出函数的图象，利用图象的对称性和对数函数的性质，确定方程有四个不同实数解时各解的关系，再将所求式子转化为关于的函数，通过分析该函数的单调性求取值范围.
9．（2024高一上·深圳期中）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化；基本不等式
【解析】【解答】解： 对于A选项，因为，因为，则，
，则，所以，，故，A对；
对于B选项，因为，则，，
所以，，，则，
所以，，可得，B对；
对于C选项，因为，则，C错；
对于D选项，因为，所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
事实上，，
所以，等号不成立，故，D对.
故答案为：ABD.
【分析】先将指数式转化为对数式，再利用对数的运算性质、函数单调性和基本不等式来判断各选项.
10．（2024高一上·深圳期中）若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”.下列函数为“函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 对任意，不等式
，则函数在上单调递减，
对于A，定义域为，且，则为偶函数，
且在上单调递减，则为“函数”，A正确；
对B，在上单调递增，则不是“函数”，B错误；
对于C，的定义域为，且，不为偶函数，C错误；
对于D，定义域为，当时，，，
当时，，，而，因此，为偶函数，
函数在上都单调递减，则在上单调递减，它是“函数”，D正确.
故答案为：AD.
【分析】首先要明确“函数”的定义：需满足是偶函数，且对任意不相等的，有，通过变形此不等式得出函数在上的单调性要求，然后依次对每个选项判断是否为偶函数以及在上的单调性.
11．（2024高一上·深圳期中）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．若是奇函数，则
C．是上的减函数
D．不等式的解集
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A、易知函数的定义域为，，
因为，所以函数的图象关于点对称，
故A错误；
B、函数的定义域为，若函数是奇函数，则函数的图象关于原点对称，由A选项可知，函数的图象关于点对称，则，解得，故B正确；
C、、，且，易知，
则，
即，函数是上的减函数，故C正确；
D、由A选项可知：不等式为，
即，因为函数是上的减函数，所以，解得，则不等式的解集为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】求函数的定义域，由求函数的对称中心即可判断A；根据函数为奇函数，图象关于原点对称可得求a的值即可判断B；根据函数的单调性定义即可判断C；由A选项将不等式转化为，根据函数的单调性求解即可判断D.
12．（2024高一上·深圳期中） .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】分别对指数幂、对数运算部分进行计算，再将结果相加.利用指数幂的运算法则化简指数项，利用对数的换底公式和运算性质化简对数项，最后计算得出结果.
13．（2024高一上·深圳期中）定义在上的函数满足，当时，，则的值为 .
【答案】
【知识点】函数的周期性；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解 因为定义在上的函数满足，则，
所以，，
所以，函数为周期，且为该函数的一个周期，
因为，则，，
所以，
.
故答案为：.
【分析】首先根据已知条件推导函数的周期，再利用对数函数的单调性确定的范围，结合函数周期性将转化到已知解析式的区间内，最后代入计算.
14．（2024高一上·深圳期中）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解： 原不等式或，利用对数函数与指数函数的性质得到关于的不等式，求出对任意的正整数都成立的的取值即可.
【解答】
原不等式或，
而是正整数，于是或，
当时，由成立，得；
当，时，由成立，得，
令，函数在上都为增函数，则是上的增函数，
因此要使对，成立，当且仅当时成立即可，
当时，，于是，
所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是.
故答案为：
【分析】将原不等式转化为两个不等式组，利用对数函数与指数函数的性质，结合正整数的取值，分别分析不同值下的取值范围，最终确定对任意正整数恒成立的的范围.
15．（2024高一上·深圳期中）如图所示的函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成.
（1）求的解析式；
（2）比较与的大小；
（3）已知，求的取值范围.
【答案】（1）解：
由题意得，解得，所以
（2）解：因为，所以，即，所以.
（3）解：因为在上单调递减，则由，得，解得.
【知识点】指数函数的图象与性质；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）对于求的解析式，利用函数图象上的点坐标满足函数解析式，结合指数函数和幂函数的形式，通过待定系数法确定参数和的值.
（2）比较与的大小，先分别分析指数函数和幂函数的单调性，再根据单调性判断函数值的大小关系.
（3）已知，先确定幂函数的单调性和定义域，再据此列出关于的不等式组求解.
（1）由题意得，解得，所以
（2）因为，所以，
即，所以.
（3）因为在上单调递减，
则由，得，解得.
16．（2024高一上·深圳期中）设函数，其中为常数.
（1）当，求的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】解：（1），所以，，由于，即，解得.（2）因为恒成立，所以，即，分类参数，因为，所以，此时，所以，即实数的取值范围为.
（1）解：，
所以，，
由于，即，
解得.
（2）解：因为恒成立，所以，
即，
分类参数，
因为，所以，此时，
所以，
即实数的取值范围为.
【知识点】对数函数的图象与性质；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）对于求的值，根据函数的表达式，分别求出和，再利用建立方程求解.
（2）对于求的取值范围，先将不等式进行转化，通过分离参数得到关于的表达式，再分析该表达式在上的最值，从而确定的取值范围.
17．（2024高一上·深圳期中）北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度（单位：）满足方程，其中表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取）
（1）当北极燕鸥每分钟的耗氧量为个单位时，它的飞行速度为，求此时的值；
（2）当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？
【答案】（1）解：将代入中，得，即，解得，
所以此时的值为.
（2）解： 设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，则
因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，
所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，
由题意可知，甲北极燕鸥的飞行速度满足方程为：，
乙北极燕鸥的飞行速度满足方程为：
，
由，得，即，解得，
所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的倍.
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）把已知的飞行速度和耗氧量代入给定方程，借助对数运算求出耗氧偏差.
（2）设出甲、乙的耗氧量与乙的耗氧偏差，根据速度相同列出方程，再通过对数运算求出甲、乙耗氧量的倍数关系.
（1）将代入中，得，即，解得，
所以此时的值为.
（2）设甲北极燕鸥每分钟的耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟耗氧量为，乙北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，则
因为甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的倍，
所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差为，
由题意可知，甲北极燕鸥的飞行速度满足方程为：，
乙北极燕鸥的飞行速度满足方程为：
，
由，得，即，解得，
所以甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的倍.
18．（2024高一上·深圳期中）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若方程有实数根，求的取值范围.
【答案】（1）解： 函数定义域为R，由函数为偶函数，得，
即，整理得，解得，
所以.
（2）解： 由（1）知，，
令函数，任意，
，
由，得，则，即，
函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，又是偶函数，则在上单调递减，
所以当时，取得最小值.
（3）解：依题意，方程有实数根，
令，则函数的图象与直线有交点，
而，又恒成立，则恒成立，，
所以的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，将与的表达式代入等式，通过对数运算和等式恒成立求出的值.
（2）先对进行化简变形，构造新函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，再结合对数函数的单调性得出的单调性，进而求出最小值.
（3）将方程有实数根的问题转化为函数图象交点问题，构造函数，分析其值域，从而确定的取值范围.
（1）函数定义域为R，由函数为偶函数，得，
即，整理得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
令函数，任意，
，
由，得，则，即，
函数在上单调递增，而函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，又是偶函数，则在上单调递减，
所以当时，取得最小值.
（3）依题意，方程有实数根，
令，则函数的图象与直线有交点，
而，又恒成立，则恒成立，，
所以的取值范围为.
19．（2024高一上·深圳期中）已知函数.
（1）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：∵，∴，即，
∵，∴，
∴，，
由题意，，
令，则，且，
∴，
由对勾函数知，在上单调递减，
∴，
∴，
即实数的取值范围为；
（2）解：由，可得，
由得：，
当时，，，满足题意；
当时，或；
若，即时，，满足题意；
若，由于方程有唯一解，
∴或，
解得：；
综上所述，实数的取值范围为或或a=3}.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的单调性及单调区间；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）将不等式进行转化，通过分离参数，结合换元法与对勾函数的单调性求出实数的取值范围.
（2）先将方程转化为方程组，再整理为关于的方程，通过分类讨论的取值，结合方程解的情况确定的取值范围.
（1）∵，
∴，即，
∵，∴，
∴，，
由题意，，
令，则，且，
∴，
由对勾函数知，在上单调递减，
∴，
∴，
即实数的取值范围为；
（2）由，可得，
由得：，
当时，，，满足题意；
当时，或；
若，即时，，满足题意；
若，由于方程有唯一解，
∴或，
解得：；
综上所述，实数的取值范围为或或.
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