广东省东莞市第十一中学2024-2025学年高一上学期第二次段考数学试卷
1．（2024高一上·东莞期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·东莞期中）点落在（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内
3．（2024高一上·东莞期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一上·东莞期中）已知函数 的图像是连续不断的，有如下 ， 对应表格：
1 2 3 4 5 6
132.5 210.5 －7.56 11.5 －53.76 －126.8
函数 在区间 上有零点至少有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2024高一上·东莞期中）在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据：
x 0 1 2 3
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数系的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·东莞期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·东莞期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·东莞期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据）
A．7分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．14分钟
9．（2024高一上·东莞期中）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·东莞期中）已知函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称 B．在区间上单调递增
C．的值域是 D．没有零点
11．（2024高一上·东莞期中）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当时，有，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高一上·东莞期中）已知，则 .
13．（2024高一上·东莞期中）已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为 .
14．（2024高一上·东莞期中）定义在上的偶函数对任意的，且，都有，且，则不等式的解集是 .
15．（2024高一上·东莞期中）解答下列各题，
（1）计算：；
（2）已知，求的值.
16．（2024高一上·东莞期中）已知集合，，.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2024高一上·东莞期中）已知．
（1）若的解集为，求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式．
18．（2024高一上·东莞期中）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.
（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由.
19．（2024高一上·东莞期中）已知函数的定义域为R，且对任意的实数m，n，都有，且当时，．
（1）求；
（2）证明：在R上为增函数；
（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解： 由得，所以集合，
所以.
故答案为：C.
【分析】先求解不等式确定集合的范围，再根据交集的定义，求出既属于集合又属于集合的元素组成的集合.
2．【答案】D
【知识点】三角函数值的符号；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解： 因为
所以点落在第四象限内，
故答案为：D.
【分析】要判断点所在象限，需先利用三角函数的诱导公式将和进行化简，再根据化简后的值的正负来确定横、纵坐标的符号，进而判断象限.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解： 时，或；时，或
成立时，也成立，但成立时，不一定成立
是的充分不必要条件，选项A正确
故答案为：A.
【分析】先分别求解和的解集，再根据充分条件和必要条件的定义，判断两个解集之间的包含关系，从而确定“”是“”的什么条件.
4．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由题可知 ，根据零点存在定理，则至少有三个零点；
故答案为：B
【分析】根据零点存在定理进行判断即可.
5．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：选项A：一次函数是线性增长，增长速度均匀.但从数据看，从到，的增长速度越来越快，不是均匀增长，所以不符合.
选项B：指数函数增长具有“爆炸式”特点，增长速度越来越快.观察数据，增大时，的增长幅度越来越大，与指数型函数增长特点相符.
选项C：对数函数定义域为，而数据中有，不满足对数函数定义域要求，所以不符合.
选项D：反比例函数在处无定义，且当趋近于时，会有较大波动，与数据中时的平稳情况不符，所以不符合.
故答案为：B.
【分析】通过分析每个选项函数的性质，结合给定数据的变化趋势，判断哪个函数模型最符合.先分别看一次函数、指数型函数、对数函数、反比例型函数的增长特点，再与数据中随的变化情况对比.
6．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 由已知，，即，
，
所以，
故答案为：A.
【分析】要比较、、的大小，需分别分析指数函数和对数函数的性质，求出、、的值或范围，再进行比较.
7．【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，所以，
解得，
故答案为：C.
【分析】使分段函数在R上单调递增，需每一段函数分别单调递增，且在分段点处左边函数的最大值不超过右边函数的最小值.
8．【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示；对数的概念与表示
【解析】【解答】解： 依题意可知时，，即，
所以，由，得，两边取以e为底的对数得，所以至少需要11分钟.
故答案为：C
【分析】首先根据时的二氧化碳浓度求出的值，确定函数表达式，然后令函数值小于等于国家标准浓度，解指数不等式，通过对数运算求出的取值范围，进而得到所需的最少时间.
9．【答案】A,B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解： ∵，∴，
∴，∵，，∴，∴，A选项正确；
∵，∴，
又∵，，∴，D选项错误；
∴，，B选项正确；
，C选项错误；
故答案为：AB.
【分析】先对两边平方，求出的值，以此判断的范围；再计算的值，结合的范围确定的正负，进而求出的值；最后联立方程求出、，进而求出，判断各选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于选项A，定义域为，，
所以为奇函数，图象关于原点对称，所以选项A正确；
对于选项B，设，
则
因为，所以，，
即，即，
所以在上单调递增，所以选项正确；
对于选项C，
当时，，当时，，
即的值域为，所以选项C错误；
对于选项D，令得：，即，没有实数解，
即没有零点，所以选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】依次分析函数的奇偶性、在区间上的单调性、值域以及是否存在零点.通过奇偶性定义判断图象对称性，利用作差法判断单调性，根据均值不等式分析值域，解方程判断零点情况.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于选项A，是和单调递减函数，若存在区间，
则有，则有，取，，则存在区间符合要求，所以选项A正确；
对于选项B，在单调递增，若存在区间，，使，
解得，，不符合，即在上不是单调函数，舍去；
另一方面，在为减函数，若存在区间，，则，
解得，不符合，舍去，所以选项B不正确；
对于选项C，因为在整个定义域上单调递增，若存在区间，，则有，
解得，，或，，或，，
可取，，即存在区间符合题意，故选项C正确；
对于选项D，是定义在上的单调增函数，
若存在区间，，使，
即有两个不等实数根，转化为有两个不等实数根，
即与有两个不同的交点，观察图象知满足条件，所以选项D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据“和谐区间”的定义，对每个选项中的函数，先判断其单调性，再看是否存在区间，使得当时，，即且，通过解方程或分析函数图象来判断.
12．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】已知，要求的值.因为分式的分子和分母都是关于和的一次齐次式，所以可以利用同角三角函数的基本关系，将分子分母同时除以，把式子转化为只含有的表达式，再代入计算.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，圆心角，弧长，由弧长公式，
得扇形的半径，则扇形面积.
故答案为：
【分析】将圆心角的角度转化为弧度，再利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积公式计算面积.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解： 由题意知：在上单调递减，
又因为为偶函数，，
所以在上单调递增，且，
故当时，，当或时，.
等价于或.
当时，解得：，
当时，解得：，
综上所述，的解集为，
故答案为：.
【分析】先根据已知条件分析函数的单调性和奇偶性，得出在不同区间的正负情况，再将分式不等式转化为两个不等式组，分别求解后取并集得到解集.
15．【答案】（1）解：根据对数的运算法则，原式.
（2）解： 由两边同时平方得：，即，
将两边同时平方得：，即，
所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质，包括对数的加法法则、对数恒等式以及换底公式来计算.
（2）通过对已知条件进行平方运算，逐步求出和的值，再代入式子计算.
（1）根据对数的运算法则，原式.
（2）由两边同时平方得：，即，
将两边同时平方得：，即，
所以.
16．【答案】（1）解：当时，集合，
由集合，可得，
则或，；
（2）解：若，
当时，，解得，满足；
当时，则，解得，
综上所述：实数的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合B，再根据集合的并集、补集和交集的运算求解即可；
（2）若，分和讨论求解即可.
（1）时，，
或，
，.
（2）因为，
当时，，
解得，，满足；
当时，，解得，
综上所述：实数的取值范围是或．
17．【答案】（1）解：由不等式的解集为，
即的解集为，
所以为方程的根，所以，解得，
又由不等式，解得，所以．
（2）解：由不等式等价于，可得，
当时，解不等式得或；
当时，解得；
当时，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【知识点】一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）已知不等式的解集，可知和是方程的根，利用韦达定理或直接代入根求解，再求解不等式得到.
（2）先将不等式整理为一元二次不等式的标准形式，然后因式分解，根据两个因式根的大小关系分情况讨论求解集.
（1）解：由不等式的解集为，
即的解集为，
所以为方程的根，所以，解得，
又由不等式，解得，所以．
（2）解：由不等式等价于，可得，
当时，解不等式得或；
当时，解得；
当时，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
18．【答案】解：（1）因为，所以．则当时，由，解得，所以此时．当时，由，解得，所以此时．综上，得，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．（2）假设要使接下来的4分钟内持续有效去污，则：当时，当且仅当时等号取到．（因为，所以，能取到）所以有最小值．令，解得，所以的最小值为．即要使得接下来的4分钟内持续有效去污，6分钟后至少需要再投放1.4个单位的洗衣液，所以，若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，能使接下来的4分钟内持续有效去污.
（1）解：因为，所以．
则当时，由，解得，所以此时．
当时，由，解得，所以此时．
综上，得，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．
（2）解：假设要使接下来的4分钟内持续有效去污，则：
当时，
当且仅当时等号取到．（因为，所以，能取到）
所以有最小值．
令，解得，
所以的最小值为．
即要使得接下来的4分钟内持续有效去污，6分钟后至少需要再投放1.4个单位的洗衣液，
所以，若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，能使接下来的4分钟内持续有效去污.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式；不等式的解集
【解析】【分析】（1）先根据确定洗衣液浓度关于时间的分段函数，再分别在不同区间内求解浓度不低于克/升的时间范围，最后综合得到有效去污时间.
（2）先确定两次投放后洗衣液浓度关于时间（）的表达式，再利用基本不等式求出浓度的最小值，判断最小值是否不低于克/升，从而确定能否持续有效去污.
19．【答案】（1）解：令，则.
（2）证明：任取，且，则，
，
所以，
所以，所以在R上为增函数．
（3）解：
因为，
所以等价于，
即，由（1）知，，
，
因为在R上为增函数，所以在上恒成立，
令，
①当时，即时，在上单调递增，
，解得；
②当时，即时，此时，
解得．
综上，实数a的取值范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数模型
【解析】【分析】（1）通过对抽象函数赋值，利用已知关系式求出.
（2）根据函数单调性的定义，任取且，结合已知条件判断与的大小关系，证明单调性.
（3）先对不等式进行化简，利用函数单调性转化为二次不等式恒成立问题，再通过分类讨论二次函数的对称轴位置，结合二次函数的最值求解实数的取值范围.
1 / 1广东省东莞市第十一中学2024-2025学年高一上学期第二次段考数学试卷
1．（2024高一上·东莞期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解： 由得，所以集合，
所以.
故答案为：C.
【分析】先求解不等式确定集合的范围，再根据交集的定义，求出既属于集合又属于集合的元素组成的集合.
2．（2024高一上·东莞期中）点落在（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内 C．第三象限内 D．第四象限内
【答案】D
【知识点】三角函数值的符号；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解： 因为
所以点落在第四象限内，
故答案为：D.
【分析】要判断点所在象限，需先利用三角函数的诱导公式将和进行化简，再根据化简后的值的正负来确定横、纵坐标的符号，进而判断象限.
3．（2024高一上·东莞期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解： 时，或；时，或
成立时，也成立，但成立时，不一定成立
是的充分不必要条件，选项A正确
故答案为：A.
【分析】先分别求解和的解集，再根据充分条件和必要条件的定义，判断两个解集之间的包含关系，从而确定“”是“”的什么条件.
4．（2024高一上·东莞期中）已知函数 的图像是连续不断的，有如下 ， 对应表格：
1 2 3 4 5 6
132.5 210.5 －7.56 11.5 －53.76 －126.8
函数 在区间 上有零点至少有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由题可知 ，根据零点存在定理，则至少有三个零点；
故答案为：B
【分析】根据零点存在定理进行判断即可.
5．（2024高一上·东莞期中）在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据：
x 0 1 2 3
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：选项A：一次函数是线性增长，增长速度均匀.但从数据看，从到，的增长速度越来越快，不是均匀增长，所以不符合.
选项B：指数函数增长具有“爆炸式”特点，增长速度越来越快.观察数据，增大时，的增长幅度越来越大，与指数型函数增长特点相符.
选项C：对数函数定义域为，而数据中有，不满足对数函数定义域要求，所以不符合.
选项D：反比例函数在处无定义，且当趋近于时，会有较大波动，与数据中时的平稳情况不符，所以不符合.
故答案为：B.
【分析】通过分析每个选项函数的性质，结合给定数据的变化趋势，判断哪个函数模型最符合.先分别看一次函数、指数型函数、对数函数、反比例型函数的增长特点，再与数据中随的变化情况对比.
6．（2024高一上·东莞期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 由已知，，即，
，
所以，
故答案为：A.
【分析】要比较、、的大小，需分别分析指数函数和对数函数的性质，求出、、的值或范围，再进行比较.
7．（2024高一上·东莞期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，所以，
解得，
故答案为：C.
【分析】使分段函数在R上单调递增，需每一段函数分别单调递增，且在分段点处左边函数的最大值不超过右边函数的最小值.
8．（2024高一上·东莞期中）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，某教室空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）（参考数据）
A．7分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．14分钟
【答案】C
【知识点】指数函数的概念与表示；对数的概念与表示
【解析】【解答】解： 依题意可知时，，即，
所以，由，得，两边取以e为底的对数得，所以至少需要11分钟.
故答案为：C
【分析】首先根据时的二氧化碳浓度求出的值，确定函数表达式，然后令函数值小于等于国家标准浓度，解指数不等式，通过对数运算求出的取值范围，进而得到所需的最少时间.
9．（2024高一上·东莞期中）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解： ∵，∴，
∴，∵，，∴，∴，A选项正确；
∵，∴，
又∵，，∴，D选项错误；
∴，，B选项正确；
，C选项错误；
故答案为：AB.
【分析】先对两边平方，求出的值，以此判断的范围；再计算的值，结合的范围确定的正负，进而求出的值；最后联立方程求出、，进而求出，判断各选项.
10．（2024高一上·东莞期中）已知函数，则（ ）
A．的图象关于原点对称 B．在区间上单调递增
C．的值域是 D．没有零点
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于选项A，定义域为，，
所以为奇函数，图象关于原点对称，所以选项A正确；
对于选项B，设，
则
因为，所以，，
即，即，
所以在上单调递增，所以选项正确；
对于选项C，
当时，，当时，，
即的值域为，所以选项C错误；
对于选项D，令得：，即，没有实数解，
即没有零点，所以选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】依次分析函数的奇偶性、在区间上的单调性、值域以及是否存在零点.通过奇偶性定义判断图象对称性，利用作差法判断单调性，根据均值不等式分析值域，解方程判断零点情况.
11．（2024高一上·东莞期中）对于定义域为的函数，若存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调的；②当时，有，则称为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于选项A，是和单调递减函数，若存在区间，
则有，则有，取，，则存在区间符合要求，所以选项A正确；
对于选项B，在单调递增，若存在区间，，使，
解得，，不符合，即在上不是单调函数，舍去；
另一方面，在为减函数，若存在区间，，则，
解得，不符合，舍去，所以选项B不正确；
对于选项C，因为在整个定义域上单调递增，若存在区间，，则有，
解得，，或，，或，，
可取，，即存在区间符合题意，故选项C正确；
对于选项D，是定义在上的单调增函数，
若存在区间，，使，
即有两个不等实数根，转化为有两个不等实数根，
即与有两个不同的交点，观察图象知满足条件，所以选项D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据“和谐区间”的定义，对每个选项中的函数，先判断其单调性，再看是否存在区间，使得当时，，即且，通过解方程或分析函数图象来判断.
12．（2024高一上·东莞期中）已知，则 .
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】已知，要求的值.因为分式的分子和分母都是关于和的一次齐次式，所以可以利用同角三角函数的基本关系，将分子分母同时除以，把式子转化为只含有的表达式，再代入计算.
13．（2024高一上·东莞期中）已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意，圆心角，弧长，由弧长公式，
得扇形的半径，则扇形面积.
故答案为：
【分析】将圆心角的角度转化为弧度，再利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积公式计算面积.
14．（2024高一上·东莞期中）定义在上的偶函数对任意的，且，都有，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解： 由题意知：在上单调递减，
又因为为偶函数，，
所以在上单调递增，且，
故当时，，当或时，.
等价于或.
当时，解得：，
当时，解得：，
综上所述，的解集为，
故答案为：.
【分析】先根据已知条件分析函数的单调性和奇偶性，得出在不同区间的正负情况，再将分式不等式转化为两个不等式组，分别求解后取并集得到解集.
15．（2024高一上·东莞期中）解答下列各题，
（1）计算：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：根据对数的运算法则，原式.
（2）解： 由两边同时平方得：，即，
将两边同时平方得：，即，
所以.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质，包括对数的加法法则、对数恒等式以及换底公式来计算.
（2）通过对已知条件进行平方运算，逐步求出和的值，再代入式子计算.
（1）根据对数的运算法则，原式.
（2）由两边同时平方得：，即，
将两边同时平方得：，即，
所以.
16．（2024高一上·东莞期中）已知集合，，.
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，
由集合，可得，
则或，；
（2）解：若，
当时，，解得，满足；
当时，则，解得，
综上所述：实数的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合B，再根据集合的并集、补集和交集的运算求解即可；
（2）若，分和讨论求解即可.
（1）时，，
或，
，.
（2）因为，
当时，，
解得，，满足；
当时，，解得，
综上所述：实数的取值范围是或．
17．（2024高一上·东莞期中）已知．
（1）若的解集为，求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）解：由不等式的解集为，
即的解集为，
所以为方程的根，所以，解得，
又由不等式，解得，所以．
（2）解：由不等式等价于，可得，
当时，解不等式得或；
当时，解得；
当时，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【知识点】一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）已知不等式的解集，可知和是方程的根，利用韦达定理或直接代入根求解，再求解不等式得到.
（2）先将不等式整理为一元二次不等式的标准形式，然后因式分解，根据两个因式根的大小关系分情况讨论求解集.
（1）解：由不等式的解集为，
即的解集为，
所以为方程的根，所以，解得，
又由不等式，解得，所以．
（2）解：由不等式等价于，可得，
当时，解不等式得或；
当时，解得；
当时，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
18．（2024高一上·东莞期中）市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.
（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由.
【答案】解：（1）因为，所以．则当时，由，解得，所以此时．当时，由，解得，所以此时．综上，得，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．（2）假设要使接下来的4分钟内持续有效去污，则：当时，当且仅当时等号取到．（因为，所以，能取到）所以有最小值．令，解得，所以的最小值为．即要使得接下来的4分钟内持续有效去污，6分钟后至少需要再投放1.4个单位的洗衣液，所以，若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，能使接下来的4分钟内持续有效去污.
（1）解：因为，所以．
则当时，由，解得，所以此时．
当时，由，解得，所以此时．
综上，得，若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟．
（2）解：假设要使接下来的4分钟内持续有效去污，则：
当时，
当且仅当时等号取到．（因为，所以，能取到）
所以有最小值．
令，解得，
所以的最小值为．
即要使得接下来的4分钟内持续有效去污，6分钟后至少需要再投放1.4个单位的洗衣液，
所以，若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，能使接下来的4分钟内持续有效去污.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式；不等式的解集
【解析】【分析】（1）先根据确定洗衣液浓度关于时间的分段函数，再分别在不同区间内求解浓度不低于克/升的时间范围，最后综合得到有效去污时间.
（2）先确定两次投放后洗衣液浓度关于时间（）的表达式，再利用基本不等式求出浓度的最小值，判断最小值是否不低于克/升，从而确定能否持续有效去污.
19．（2024高一上·东莞期中）已知函数的定义域为R，且对任意的实数m，n，都有，且当时，．
（1）求；
（2）证明：在R上为增函数；
（3）若关于x的不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：令，则.
（2）证明：任取，且，则，
，
所以，
所以，所以在R上为增函数．
（3）解：
因为，
所以等价于，
即，由（1）知，，
，
因为在R上为增函数，所以在上恒成立，
令，
①当时，即时，在上单调递增，
，解得；
②当时，即时，此时，
解得．
综上，实数a的取值范围是．
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数模型
【解析】【分析】（1）通过对抽象函数赋值，利用已知关系式求出.
（2）根据函数单调性的定义，任取且，结合已知条件判断与的大小关系，证明单调性.
（3）先对不等式进行化简，利用函数单调性转化为二次不等式恒成立问题，再通过分类讨论二次函数的对称轴位置，结合二次函数的最值求解实数的取值范围.
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