24.2.2垂径定理 同步练习测试卷（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 24.2.2垂径定理 同步练习测试卷（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 453.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-06 20:26:37 | ||
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文档简介
沪科版九年级数学下册24.2.2《垂径定理》测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2016 牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
2．（2016 黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
3．（2016 黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A．cm
B．3cm
C．3cm
D．6cm
4．（2016 三明）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．（2016 安徽校级自主招生）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ）
A．6
B．9﹣
C．
D．25﹣3
6．（2016 桐城市模拟）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.5
B．1
C．2
D．4
7．（2016 新泰市二模）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm，若水面上升2cm（即EG=2cm），则此时水面宽AB为（ ）
A．8cm
B．16cm
C．8cm
D．16cm
8．（2016 银川校级一模）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为（ ）米？
A．6
B．4
C．8
D．5
9．（2016 永康市模拟）如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为6m，桥拱半径OC为4m，则水面宽AB为（ ）
A．m
B．2m
C．4m
D．6m
10．（2015 滕州市校级四模）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）那么该圆的半径为（ ）
A．8cm
B．9cm
C．cm
D．10cm
二．填空题（共4小题）
11．（2016 安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．
12．（2016 贵阳）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是______．
13．（2016 海口校级一模）如图是“明清影视城”的圆弧形门，这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．则这个圆弧形门的最高点离地面的高度是______
cm．
14．（2015 六盘水）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=______米．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 西安校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
16．（2016 黄冈校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB．M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．
17．（2016 奉贤区一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2，AE=5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．
18．（2016 槐荫区二模）如图，已知⊙O的半径为15，弦AB=24，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值．
19．（2016 嘉定区一模）已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是的中点，当OA=5cm，cos∠OAB=时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
20．（2016 南通一模）如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，求BE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=AB，利用勾股定理得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥OP，
∴AP==3，∠APO=90°，又OA=5，
∴OP===4，
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
2．（2016 黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
【分析】根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
【解答】解：由题意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=，
故选A．
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
3．（2016 黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A．cm
B．3cm
C．3cm
D．6cm
【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
【解答】解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt△OCE中，
OC=5cm，OE=OC cos∠COB，
∴OE=cm．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
4．（2016 三明）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根据勾股定理开始出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD==3，
∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
5．（2016 安徽校级自主招生）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ）
A．6
B．9﹣
C．
D．25﹣3
【分析】过圆心O作弦的垂线，垂足为G，得到Rt△OBG和Rt△OCG，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出OG的值，也就是圆心到弦的距离．
【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG=BG，
设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a，
在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2①
在Rt△OBG中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2②
又OC=3，OB=5，代入①②中，解方程得：a2=2，OG2=7．
所以圆心到弦的距离是．
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理，过圆心作圆的垂线，得到直角三角形，运用勾股定理计算可以求出圆心到弦的距离．
6．（2016 桐城市模拟）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.5
B．1
C．2
D．4
【分析】根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，
则AD=AB=×0.8=0.4米，
设OA=r，则OD=r﹣DE=r﹣0.2，
在Rt△OAD中，
OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+（r﹣0.2）2，解得r=0.5米，
故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
7．（2016 新泰市二模）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm，若水面上升2cm（即EG=2cm），则此时水面宽AB为（ ）
A．8cm
B．16cm
C．8cm
D．16cm
【分析】连接OA、OC．设⊙O的半径是R，则OG=R﹣2，OE=R﹣4．根据垂径定理，得CG=10．在直角三角形OCG中，根据勾股定理求得R的值，再进一步在直角三角形OAE中，根据勾股定理求得AE的长，从而再根据垂径定理即可求得AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OA、OC．
设⊙O的半径是R，则OG=R﹣2，OE=R﹣4．
∵OF⊥CD，
∴CG=CD=10cm．
在直角三角形COG中，根据勾股定理，得
R2=102+（R﹣2）2，
解，得R=26．
在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得
AE==8cm．
根据垂径定理，得AB=16（cm），
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．
8．（2016 银川校级一模）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为（ ）米？
A．6
B．4
C．8
D．5
【分析】由垂径定理，可得AD=AB，然后由勾股定理求得OD的长，继而求得中间柱CD的高度．
【解答】解：∵CD是中间柱，
即=，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=×16=8（m），
∵半径OA=10m，
在Rt△AOD中，OD==6（m），
∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4（m）．
故选B．
【点评】此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
9．（2016 永康市模拟）如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为6m，桥拱半径OC为4m，则水面宽AB为（ ）
A．m
B．2m
C．4m
D．6m
【分析】连接OA，根据桥拱半径OC为4m，求出OA=4m，根据CD=6m，求出OD=2m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵桥拱半径OC为4m，
∴OA=4m，
∵CD=6m，
∴OD=8=6﹣4=2m，
∴AD===2m，
∴AB=2AD=2×2=4（m）；
故选C．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
10．（2015 滕州市校级四模）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）那么该圆的半径为（ ）
A．8cm
B．9cm
C．cm
D．10cm
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可知，AD=AB=（9﹣1）=4，设OA=r，则OD=r﹣3，在Rt△OAD中利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OD⊥AB，
∴AD=AB=（9﹣1）=4cm，
设OA=r，则OD=r﹣3，
在Rt△OAD中，
OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣3）2=42，解得r=cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．（2016 安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= 4﹣ ．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．
【解答】解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE==，
∴BE=OB﹣OE=4﹣．
故答案为4﹣．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
12．（2016 贵阳）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是 ．
【分析】作OM⊥AB于M，由垂径定理得出AM=BM=AB=4cm，由勾股定理求出OM，再由三角函数的定义即可得出结果．
【解答】解：作OM⊥AB于M，如图所示：
则AM=BM=AB=4cm，
∴OM===2（cm），
∵PM=PB+BM=6cm，
∴tan∠OPA===；
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形、勾股定理、三角函数的定义；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OM是解决问题的关键．
13．（2016 海口校级一模）如图是“明清影视城”的圆弧形门，这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．则这个圆弧形门的最高点离地面的高度是 520
cm．
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AD∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===100，
OE=R﹣AB=R﹣20，
∵AE2+OE2=OA2，
∴1002+（R﹣20）2=R2，
解得，R=260．
260×2=520（cm）．
故答案为：520．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．
14．（2015 六盘水）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R= 25 米．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【解答】解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．
设圆的半径是r，根据勾股定理，
得R2=202+（R﹣10）2，
解得R=25（米）．
故答案为25．
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 西安校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=OB=OC，即证明∠OCE=30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，，
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴，
∴．
【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
16．（2016 黄冈校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB．M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．
【分析】连接AC和BD，根据垂径定理得BC=BD，再由已知条件可以证得△BCD∽△OCA，则=，还可以证明△CDN∽△CAM．有相似三角形的性质，证出BN=CN．
【解答】证明：连接AC和BD．
∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．（5分）
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA．
∴=（15分）
在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM．（20分）
∵===，
∴CN=CB，即BN=CN．（25分）
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理，解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
17．（2016 奉贤区一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2，AE=5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．
【分析】（1）先根据垂径定理得出E为CD的中点，再由勾股定理即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数的定义求出EF的长，再分点F在线段CD的上方与下方两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵AB为直径，点B为的中点，CD=2，
∴AB⊥CD，
∴DE=CD=．
在Rt△ODE中，
∵OD=r，OE=5﹣r，DE=，
∴r2=（5﹣r）2+（）2，解得r=3；
（2）∵由（1）知，OE=AE﹣AO=5﹣3=2，
∴tan∠FCE=tan∠DOB==．
在Rt△FCE中，
∵==，
∴EF=，
∴当点F在线段CD的上方时，AF=AE﹣EF=5﹣=；
当点F在线段CD的下方时，AF=AE+EF=5+=＞AB，不合题意．
综上所述，AF=．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
18．（2016 槐荫区二模）如图，已知⊙O的半径为15，弦AB=24，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值．
【分析】过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，在Rt△AOC中，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，
∵AB=24，
∴AC=BC=12，
∴OC===9．
在Rt△AOC中，OA=15，AC=12，
则cos∠OAB==．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．（2016 嘉定区一模）已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是的中点，当OA=5cm，cos∠OAB=时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据cos∠OAB=，得到，求得AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，根据三角形的面积公式即可实施激励；
（2）设AC交OB于M，由B是的中点，得到，求出AB=BC，推出OB垂直平分AC，即可得到结论．
【解答】解：（1）过O作OH⊥AB于H，
∵cos∠OAB=，
∴，
∴AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，
∴S△OAB=AB OH=12cm2；
（2）设AC交OB于M，∵B是的中点，
∴，∴AB=BC，
∵OA=OC，
故O，B均在线段AC的垂直平分线上，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=AB sin∠MBA=6×=，
∴AC=2AM=cm．
【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，线段垂直平分线的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（2016 南通一模）如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，求BE的长．
【分析】根据垂径定理可得AC=4cm，然后设CO=xcm，则DO=AO=（x+2）cm，再利用勾股定理可得（x+2）2=42+x2，解出x的值，再根据三角形中位线定理可得答案．
【解答】解：∵半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，
∴AC=4cm，
设CO=xcm，则DO=AO=（x+2）cm，
在Rt△AOC中：AO2=CO2+AC2，
∴（x+2）2=42+x2，
解得：x=3，
∵AO=EO，AC=CB，
∴BE=2CO=6cm．
【点评】此题主要考查了垂径定理、勾股定理，以及三角形的中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
一．选择题（共10小题）
1．（2016 牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
2．（2016 黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
3．（2016 黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A．cm
B．3cm
C．3cm
D．6cm
4．（2016 三明）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．（2016 安徽校级自主招生）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ）
A．6
B．9﹣
C．
D．25﹣3
6．（2016 桐城市模拟）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.5
B．1
C．2
D．4
7．（2016 新泰市二模）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm，若水面上升2cm（即EG=2cm），则此时水面宽AB为（ ）
A．8cm
B．16cm
C．8cm
D．16cm
8．（2016 银川校级一模）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为（ ）米？
A．6
B．4
C．8
D．5
9．（2016 永康市模拟）如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为6m，桥拱半径OC为4m，则水面宽AB为（ ）
A．m
B．2m
C．4m
D．6m
10．（2015 滕州市校级四模）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）那么该圆的半径为（ ）
A．8cm
B．9cm
C．cm
D．10cm
二．填空题（共4小题）
11．（2016 安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．
12．（2016 贵阳）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是______．
13．（2016 海口校级一模）如图是“明清影视城”的圆弧形门，这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．则这个圆弧形门的最高点离地面的高度是______
cm．
14．（2015 六盘水）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=______米．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 西安校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
16．（2016 黄冈校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB．M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．
17．（2016 奉贤区一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2，AE=5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．
18．（2016 槐荫区二模）如图，已知⊙O的半径为15，弦AB=24，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值．
19．（2016 嘉定区一模）已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是的中点，当OA=5cm，cos∠OAB=时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
20．（2016 南通一模）如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，求BE的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ）
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=AB，利用勾股定理得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥OP，
∴AP==3，∠APO=90°，又OA=5，
∴OP===4，
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
2．（2016 黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
【分析】根据⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
【解答】解：由题意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=，
故选A．
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
3．（2016 黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（ ）
A．cm
B．3cm
C．3cm
D．6cm
【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
【解答】解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，
∴∠COB=60°；
在Rt△OCE中，
OC=5cm，OE=OC cos∠COB，
∴OE=cm．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
4．（2016 三明）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根据勾股定理开始出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD==3，
∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
5．（2016 安徽校级自主招生）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（ ）
A．6
B．9﹣
C．
D．25﹣3
【分析】过圆心O作弦的垂线，垂足为G，得到Rt△OBG和Rt△OCG，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出OG的值，也就是圆心到弦的距离．
【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG=BG，
设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a，
在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2①
在Rt△OBG中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2②
又OC=3，OB=5，代入①②中，解方程得：a2=2，OG2=7．
所以圆心到弦的距离是．
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理，过圆心作圆的垂线，得到直角三角形，运用勾股定理计算可以求出圆心到弦的距离．
6．（2016 桐城市模拟）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）
A．0.5
B．1
C．2
D．4
【分析】根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，
则AD=AB=×0.8=0.4米，
设OA=r，则OD=r﹣DE=r﹣0.2，
在Rt△OAD中，
OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+（r﹣0.2）2，解得r=0.5米，
故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．
故选B．
【点评】本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．
7．（2016 新泰市二模）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm，水深GF=2cm，若水面上升2cm（即EG=2cm），则此时水面宽AB为（ ）
A．8cm
B．16cm
C．8cm
D．16cm
【分析】连接OA、OC．设⊙O的半径是R，则OG=R﹣2，OE=R﹣4．根据垂径定理，得CG=10．在直角三角形OCG中，根据勾股定理求得R的值，再进一步在直角三角形OAE中，根据勾股定理求得AE的长，从而再根据垂径定理即可求得AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OA、OC．
设⊙O的半径是R，则OG=R﹣2，OE=R﹣4．
∵OF⊥CD，
∴CG=CD=10cm．
在直角三角形COG中，根据勾股定理，得
R2=102+（R﹣2）2，
解，得R=26．
在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得
AE==8cm．
根据垂径定理，得AB=16（cm），
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．
8．（2016 银川校级一模）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为（ ）米？
A．6
B．4
C．8
D．5
【分析】由垂径定理，可得AD=AB，然后由勾股定理求得OD的长，继而求得中间柱CD的高度．
【解答】解：∵CD是中间柱，
即=，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=×16=8（m），
∵半径OA=10m，
在Rt△AOD中，OD==6（m），
∴CD=OC﹣OD=10﹣6=4（m）．
故选B．
【点评】此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
9．（2016 永康市模拟）如图，圆弧形石拱桥的桥顶到水面的距离CD为6m，桥拱半径OC为4m，则水面宽AB为（ ）
A．m
B．2m
C．4m
D．6m
【分析】连接OA，根据桥拱半径OC为4m，求出OA=4m，根据CD=6m，求出OD=2m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵桥拱半径OC为4m，
∴OA=4m，
∵CD=6m，
∴OD=8=6﹣4=2m，
∴AD===2m，
∴AB=2AD=2×2=4（m）；
故选C．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
10．（2015 滕州市校级四模）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）那么该圆的半径为（ ）
A．8cm
B．9cm
C．cm
D．10cm
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可知，AD=AB=（9﹣1）=4，设OA=r，则OD=r﹣3，在Rt△OAD中利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OD⊥AB，
∴AD=AB=（9﹣1）=4cm，
设OA=r，则OD=r﹣3，
在Rt△OAD中，
OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣3）2=42，解得r=cm．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．（2016 安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= 4﹣ ．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度，最后由BE=OB﹣OE，即可求出BE的长度．
【解答】解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=ED=CD=3．
∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE==，
∴BE=OB﹣OE=4﹣．
故答案为4﹣．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、ED的长度．
12．（2016 贵阳）如图，已知⊙O的半径为6cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA的值是 ．
【分析】作OM⊥AB于M，由垂径定理得出AM=BM=AB=4cm，由勾股定理求出OM，再由三角函数的定义即可得出结果．
【解答】解：作OM⊥AB于M，如图所示：
则AM=BM=AB=4cm，
∴OM===2（cm），
∵PM=PB+BM=6cm，
∴tan∠OPA===；
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形、勾股定理、三角函数的定义；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OM是解决问题的关键．
13．（2016 海口校级一模）如图是“明清影视城”的圆弧形门，这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．则这个圆弧形门的最高点离地面的高度是 520
cm．
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AD∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===100，
OE=R﹣AB=R﹣20，
∵AE2+OE2=OA2，
∴1002+（R﹣20）2=R2，
解得，R=260．
260×2=520（cm）．
故答案为：520．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．
14．（2015 六盘水）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R= 25 米．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【解答】解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．
设圆的半径是r，根据勾股定理，
得R2=202+（R﹣10）2，
解得R=25（米）．
故答案为25．
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 西安校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=OB=OC，即证明∠OCE=30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，，
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴，
∴．
【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
16．（2016 黄冈校级自主招生）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB．M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于E，DE交BC于N．求证：BN=CN．
【分析】连接AC和BD，根据垂径定理得BC=BD，再由已知条件可以证得△BCD∽△OCA，则=，还可以证明△CDN∽△CAM．有相似三角形的性质，证出BN=CN．
【解答】证明：连接AC和BD．
∵弦CD垂直于直径AB，
∴BC=BD．（5分）
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA．
∴=（15分）
在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM．（20分）
∵===，
∴CN=CB，即BN=CN．（25分）
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理，解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
17．（2016 奉贤区一模）如图，在⊙O中，AB为直径，点B为的中点，直径AB交弦CD于E，CD=2，AE=5．
（1）求⊙O半径r的值；
（2）点F在直径AB上，连接CF，当∠FCD=∠DOB时，求AF的长．
【分析】（1）先根据垂径定理得出E为CD的中点，再由勾股定理即可得出结论；
（2）先由锐角三角函数的定义求出EF的长，再分点F在线段CD的上方与下方两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵AB为直径，点B为的中点，CD=2，
∴AB⊥CD，
∴DE=CD=．
在Rt△ODE中，
∵OD=r，OE=5﹣r，DE=，
∴r2=（5﹣r）2+（）2，解得r=3；
（2）∵由（1）知，OE=AE﹣AO=5﹣3=2，
∴tan∠FCE=tan∠DOB==．
在Rt△FCE中，
∵==，
∴EF=，
∴当点F在线段CD的上方时，AF=AE﹣EF=5﹣=；
当点F在线段CD的下方时，AF=AE+EF=5+=＞AB，不合题意．
综上所述，AF=．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
18．（2016 槐荫区二模）如图，已知⊙O的半径为15，弦AB=24，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值．
【分析】过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，在Rt△AOC中，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：过O作OC⊥AB，可得C为AB的中点，
∵AB=24，
∴AC=BC=12，
∴OC===9．
在Rt△AOC中，OA=15，AC=12，
则cos∠OAB==．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．（2016 嘉定区一模）已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是的中点，当OA=5cm，cos∠OAB=时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据cos∠OAB=，得到，求得AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，根据三角形的面积公式即可实施激励；
（2）设AC交OB于M，由B是的中点，得到，求出AB=BC，推出OB垂直平分AC，即可得到结论．
【解答】解：（1）过O作OH⊥AB于H，
∵cos∠OAB=，
∴，
∴AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，
∴S△OAB=AB OH=12cm2；
（2）设AC交OB于M，∵B是的中点，
∴，∴AB=BC，
∵OA=OC，
故O，B均在线段AC的垂直平分线上，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=AB sin∠MBA=6×=，
∴AC=2AM=cm．
【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，线段垂直平分线的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．（2016 南通一模）如图，AE是⊙O的直径，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，CD=2cm，求BE的长．
【分析】根据垂径定理可得AC=4cm，然后设CO=xcm，则DO=AO=（x+2）cm，再利用勾股定理可得（x+2）2=42+x2，解出x的值，再根据三角形中位线定理可得答案．
【解答】解：∵半径OD垂直于弦AB，垂足为C，AB=8cm，
∴AC=4cm，
设CO=xcm，则DO=AO=（x+2）cm，
在Rt△AOC中：AO2=CO2+AC2，
∴（x+2）2=42+x2，
解得：x=3，
∵AO=EO，AC=CB，
∴BE=2CO=6cm．
【点评】此题主要考查了垂径定理、勾股定理，以及三角形的中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．