冀教版数学七年级上册期末检测卷（一）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2019七上·右玉月考）-3的倒数是（ ）
A． B． C． D．-3
2．（2024七上·裕华期末）下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．（2024七上·丛台期末）式子，，，，，，中整式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．（2024七上·河北邢台经济开发期末）列式表示“比x的平方的4倍大y的数”是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七上·容城月考）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
6．（2024七上·南皮期末）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七上·雄县月考）已知算式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七上·裕华期末）下列说法正确的是（ ）
A．的次数为3 B．是二次三项式
C．的系数为5 D．和同类项
9．（2024七上·裕华期末）如图，点C在线段上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．（2024七上·桥西期末）如图是一个计算程序图，若输入x的值为6，则输出的结果是（ ）
A．－18 B．18 C．－66 D．66
11．（2024七上·路南期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024七上·丛台期末）在如图所示的2021年1月的月历表中，任意框出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
二、填空题（每题3份，共12分）
13．（2025七上·南宁月考）比较大小：
14．（2023七上·石家庄期中）数轴上，点对应的数是1，点对应的数是7，则线段的长度为 ．
15．（2024七上·丛台期末）已知，它的余角的三分之一是 ．（用度、分、秒表示）
16．（2024七上·藁城期末）阅读框图，在四个步骤中，依据“等式性质”的步骤是 （填序号）．
解： 去括号得：…………① 移项得：…………② 合并同类项得：…………③ 系数化为1得：…………④
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·香洲月考）把下列各数在数轴上用点表示出来，并用“”把它们连接起来．，，，，．
18．（2024七上·新华期末）解方程：
19．（2024七上·北京市期中）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
解方程： 解：原方程可化为：． ……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：． ……第②步 去括号，得：． ……第③步 移项，得：． ……第④步 合并同类项，得：． ……第⑤步 系数化1，得：． ……第⑥形 所以为原方程的解．
上述小亮的解题过程中
（1）第②步的依据是_________________________________________________；
（2）第____（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子_______________．
20．（2024七上·藁城期末）如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线，线段，射线
（2）在线段上任取一点D（不同于B、C），连接；
（3）数数看，此时图中线段共有 条．
21．（2024七上·永年期末）已知代数式 .
（1）求 ；
（2） 当 时， 求 的值；
（3）若 的值与 的取值无关， 求 的值.
22．（2025七上·金东期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草．
（1）小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π）
（2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）．
23．（2024七上·裕华期末）若，则称与是关于的平衡数；
（1）与_______是关于的平衡数；
（2）与_______是关于的平衡数；
（3）若，，试判断与是否是关于的平衡数，并说明理由．
24．（2024七上·丛台期末）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将两个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
（1）如图①，已知，若，则________；
（2）如图②，已知，若，求的度数；
（3）经过一番探究，小明和他的同伴们发现：如图③，若，，则可以用含α和β的式子直接表示的度数，你发现什么规律了吗？请你写出正确的结论，不必证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】∵ ，∴-3的倒数是 .
故答案为：C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
2．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘方法则；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】A中，，，
∴与不相等，
故A选项不符合题意；
B中，，，
∴与相等，
故B选项符合题意；
C中，∵，
∴与不相等，
故C选项不符合题意；
D中，∵，，
∴与不相等，
故D选项不符合题意．
故选：B
【分析】本题考查了有理数的混合运算法则，根据绝对值的定义，有理数的加减，乘除的运算法则，先计算各式，然后再进行比较，即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】整式的概念与分类
【解析】【解答】解：根据整式的定义，可得整式有x2+5， 1， 3x+2，π，5x，共5个.
故选：C.
【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式、多项式的统称，逐个判定，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：列式表示“比x的平方的4倍大y的数”是，
故选：B．
【分析】此题考查了列代数式，代数式可以是一个数、一个字母或数与字母的积，也可以是几个整式的积，根据题意找出数量关系，列出代数式，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，，，
∵，
∴，
∴海拔最低的是亚洲．
故选：A．
【分析】根据绝对值比较法比较大小即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，
原式
.
故答案为：D．
【分析】将代入 则代数式 中，进行计算即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
“□”内应填入的运算符号为，
故答案为：A．
【分析】根据有理数加法法则解答即可．
8．【答案】B
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数；同类项的概念
【解析】【解答】解：A中，的次数为2，原说法错误，所以A不符合题意；
B中，是二次三项式，正确，所以B符合题意；
C中，系数是，原说法错误，所以C不符合题意；
D中，和不是同类项，原说法错误，所以D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查的是同类项，以及单项式及多项式，由几个单项式的和叫做多项式，每一个单项式叫做多项式的一个项；所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫同类项；最高次数项的次数作为多项式的次数；单项式中各字母指数和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数，据此逐项判定，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：如图，过点C的直线有，共2条．
故选：A．
【分析】本题考查了直线的条数，根据直线的定义，两点确定一条直线，据此解答，即可得到答案.
10．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据计算程序图，第一步输入6，
第二步：，
第三步：，
第四步：．
则输出的结果是18．
故选：B．
【分析】本题主要考查了程序图与有理数的计算，以及求一个数的绝对值，输入，按照计算程序图，逐步计算，即可求解．
11．【答案】B
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：A中，图中的不能用表示，故A错误；
B中，图中、、表示同一个角，故B正确；
C中，图中的和不是表示同一个角，故C错误；
D中，图中的和不是表示同一个角，故D错误；
故选：B．
【分析】本题考查了角的表示方法及其应用， 其中由两条有公共端点的射线组成的几何对象，角的两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点，根据角的表示方法和图形，结合选项，分析判断，即可求解.
12．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设竖列中中间数为x，则上面的数为（x-7），下面的数为（x+7）．
由题意，竖列中三个相邻的数的和为：．
即竖列中三个相邻的数的和为3的倍数，即3x=36，
解得x=12，三数分别为5，12，19，故选项A不合题意；
由3x=30，解得x=10，三数分别为3，10，17，故选项B不合题意；
由3x=24，解得x=8，三数分别为1，8，15，故选项C不合题意；
由3x=18，解得x=6，三数分别为-1，6，13，日历中没有负数，
这三个数的和不可能是D，故选项D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据竖列上相邻三个数的关系，设中间数为x，则上面的数为（x-7），下面的数为（x+7）．则它们的和为3x，根据它们的和列方程，求出三个数，再判断即可．
13．【答案】＞
【知识点】化简多重符号有理数；化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】∵ （＋8）＝ 8， | 9|＝ 9，
∴ 8＞ 9，
∴ （＋8）＞ | 9|．
故答案为：＞．
【分析】把，化简得 8＞ 9，即可得答案.
14．【答案】6
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵数轴上，点对应的数是1，点对应的数是7，
∴ AB=|7-1|=6，
即线段的长度为6，
故答案为：6.
【分析】根据点A和点B在数轴上表示的数求两点之间的距离。
15．【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；角度的四则混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴的余角为：90°－
∴的余角的三分之一是=.
故答案为：．
【分析】本题考查的是求一个角的余角和角度的运算，根据互余的定义求出的余角，然后乘，即可得到答案．
16．【答案】②，④
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：依据“等式性质”的步骤是②，④．
故答案为：②，④
【分析】
本题主要考查了等式的性质，在等式的两边同时加上或减去同一个式子或数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以相等的非零的数或式子，等式仍然成立，根据等式的性质，进行分析判断，即可得到答案.
17．【答案】解：如图所示，
∴．
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【分析】将各点在数轴上表示出来，再根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
18．【答案】解：由方程，
方程两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程的求法，根据一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解．
19．【答案】（1）等式基本性质2
（2）③；
【知识点】等式的基本性质；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】（1）第②步的依据是：等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
（2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：．
故答案为：③；．
【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出答案.
（1）第②步的依据是：等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
（2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：．
故答案为：③；．
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）6
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的计数问题
【解析】【解答】解：（3）解：图中有线段6条，即线段，，，，，，
故答案为：6．
【分析】（1）根据直线定义，射线定义，以及线段的概念，用直尺直接画出 直线，线段，射线 ，即可得到答案；
（2） 在线段上任取一点D ，根据线段的概念，利用直尺即可作出图形，即可求解；
（3）根据线段的的定义，结合图形，得到 图中线段的条数，得到答案.
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：图中有线段6条，即线段，，，，，，
故答案为：6．
21．【答案】（1）解：根据题意：将 直接代入，
得：
=
=，
∴.
（2）解：由（1）知 ，
将 代入 ，
得：
=
=
=
；
（3）解：由（1） 知 ，
的值与 的取值无关，
∴.
【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）将整式直接代入，再利用整式的混合运算的计算方法分析求解即可；
（2）将代入计算即可；
（3）先求出，再结合“ 的值与 的取值无关”可得，最后求出y的值即可.
22．【答案】（1），，
（2）解：由（1）可知，种草的面积=（2ab-a2）平方米，
当a=2，b=10时，2ab-a2=2×2×10-3.14×22=27.44≈27.4平方米，
答：长方形场地上种草的面积为27.4平方米.
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）观察图形可知，小路的面积为ab平方米，
种花的面积=4×a2=a2平方米，
种草的面积=3ab-ab-a2=（2ab-a2）平方米，
故答案为：，，；
【分析】（1）观察图形，根据长方形的面积公式求小路的面积，种花的面积为半径为a的圆的面积，种草的面积等于大长方形的面积-小路的面积-种花的面积，列出代数式即可得出答案；
（2）由（1）可得，种草的面积=（2ab-a2）平方米，然后当，代入求值即可.
（1）解：小路的面积为平方米，种花的面积为平方米，种草的面积为平方米，
故答案为：，，；
（2）解：当，时，
平方米．
答：该长方形场地上种草的面积为27.4平方米．
23．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，∴
∴与不是关于的平衡数．
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：（1）∵
∴与是关于的平衡数，
故答案为：．
（2）
∵，
∴与是关于的平衡数；
故答案为：．
【分析】（1）根据平衡数的定义，结合，即可求出答案．
（2）根据平衡数的定义，列出方程，求得x的值，即可求出答案．
（3）根据平衡数的定义，以及整式的加减运算法则，求得，结合平衡数的定义，即可得到结论.
（1）解：∵
∴与是关于的平衡数，
故答案为：．
（2）∵，
∴与是关于的平衡数；
故答案为：．
（3）∵，
∴
∴与不是关于的平衡数．
24．【答案】（1）
（2）解：因为，且，
可得，所以.
（3）解：因为，且，
可得，所以．
【知识点】角的运算；角度的四则混合运算
【解析】解：（1）因为，且，
可得，所以.
故答案为：.
【分析】（1）根据角的和差运算，先求得的度数，再由，即可求解；
（2）根据角的和差运算，先求得的度数，再由，即可求解；
（3）根据角的和差运算，先求得，再由，即可求解．
（1）∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴．
1 / 1冀教版数学七年级上册期末检测卷（一）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2019七上·右玉月考）-3的倒数是（ ）
A． B． C． D．-3
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】∵ ，∴-3的倒数是 .
故答案为：C
【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
2．（2024七上·裕华期末）下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的乘方法则；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】A中，，，
∴与不相等，
故A选项不符合题意；
B中，，，
∴与相等，
故B选项符合题意；
C中，∵，
∴与不相等，
故C选项不符合题意；
D中，∵，，
∴与不相等，
故D选项不符合题意．
故选：B
【分析】本题考查了有理数的混合运算法则，根据绝对值的定义，有理数的加减，乘除的运算法则，先计算各式，然后再进行比较，即可得到答案．
3．（2024七上·丛台期末）式子，，，，，，中整式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】整式的概念与分类
【解析】【解答】解：根据整式的定义，可得整式有x2+5， 1， 3x+2，π，5x，共5个.
故选：C.
【分析】本题主要考查了整式的定义，单项式、多项式的统称，逐个判定，即可求解.
4．（2024七上·河北邢台经济开发期末）列式表示“比x的平方的4倍大y的数”是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：列式表示“比x的平方的4倍大y的数”是，
故选：B．
【分析】此题考查了列代数式，代数式可以是一个数、一个字母或数与字母的积，也可以是几个整式的积，根据题意找出数量关系，列出代数式，即可求解.
5．（2024七上·容城月考）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：，，，
∵，
∴，
∴海拔最低的是亚洲．
故选：A．
【分析】根据绝对值比较法比较大小即可求出答案.
6．（2024七上·南皮期末）已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，
原式
.
故答案为：D．
【分析】将代入 则代数式 中，进行计算即可得出答案.
7．（2024七上·雄县月考）已知算式的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
“□”内应填入的运算符号为，
故答案为：A．
【分析】根据有理数加法法则解答即可．
8．（2024七上·裕华期末）下列说法正确的是（ ）
A．的次数为3 B．是二次三项式
C．的系数为5 D．和同类项
【答案】B
【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数；同类项的概念
【解析】【解答】解：A中，的次数为2，原说法错误，所以A不符合题意；
B中，是二次三项式，正确，所以B符合题意；
C中，系数是，原说法错误，所以C不符合题意；
D中，和不是同类项，原说法错误，所以D不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查的是同类项，以及单项式及多项式，由几个单项式的和叫做多项式，每一个单项式叫做多项式的一个项；所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫同类项；最高次数项的次数作为多项式的次数；单项式中各字母指数和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数，据此逐项判定，即可求解.
9．（2024七上·裕华期末）如图，点C在线段上，过A，B，C，D中的两点可以画一条直线，其中过点C的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】A
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：如图，过点C的直线有，共2条．
故选：A．
【分析】本题考查了直线的条数，根据直线的定义，两点确定一条直线，据此解答，即可得到答案.
10．（2024七上·桥西期末）如图是一个计算程序图，若输入x的值为6，则输出的结果是（ ）
A．－18 B．18 C．－66 D．66
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据计算程序图，第一步输入6，
第二步：，
第三步：，
第四步：．
则输出的结果是18．
故选：B．
【分析】本题主要考查了程序图与有理数的计算，以及求一个数的绝对值，输入，按照计算程序图，逐步计算，即可求解．
11．（2024七上·路南期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：A中，图中的不能用表示，故A错误；
B中，图中、、表示同一个角，故B正确；
C中，图中的和不是表示同一个角，故C错误；
D中，图中的和不是表示同一个角，故D错误；
故选：B．
【分析】本题考查了角的表示方法及其应用， 其中由两条有公共端点的射线组成的几何对象，角的两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点，根据角的表示方法和图形，结合选项，分析判断，即可求解.
12．（2024七上·丛台期末）在如图所示的2021年1月的月历表中，任意框出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．36 B．30 C．24 D．18
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设竖列中中间数为x，则上面的数为（x-7），下面的数为（x+7）．
由题意，竖列中三个相邻的数的和为：．
即竖列中三个相邻的数的和为3的倍数，即3x=36，
解得x=12，三数分别为5，12，19，故选项A不合题意；
由3x=30，解得x=10，三数分别为3，10，17，故选项B不合题意；
由3x=24，解得x=8，三数分别为1，8，15，故选项C不合题意；
由3x=18，解得x=6，三数分别为-1，6，13，日历中没有负数，
这三个数的和不可能是D，故选项D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据竖列上相邻三个数的关系，设中间数为x，则上面的数为（x-7），下面的数为（x+7）．则它们的和为3x，根据它们的和列方程，求出三个数，再判断即可．
二、填空题（每题3份，共12分）
13．（2025七上·南宁月考）比较大小：
【答案】＞
【知识点】化简多重符号有理数；化简含绝对值有理数；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】∵ （＋8）＝ 8， | 9|＝ 9，
∴ 8＞ 9，
∴ （＋8）＞ | 9|．
故答案为：＞．
【分析】把，化简得 8＞ 9，即可得答案.
14．（2023七上·石家庄期中）数轴上，点对应的数是1，点对应的数是7，则线段的长度为 ．
【答案】6
【知识点】数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵数轴上，点对应的数是1，点对应的数是7，
∴ AB=|7-1|=6，
即线段的长度为6，
故答案为：6.
【分析】根据点A和点B在数轴上表示的数求两点之间的距离。
15．（2024七上·丛台期末）已知，它的余角的三分之一是 ．（用度、分、秒表示）
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质；角度的四则混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴的余角为：90°－
∴的余角的三分之一是=.
故答案为：．
【分析】本题考查的是求一个角的余角和角度的运算，根据互余的定义求出的余角，然后乘，即可得到答案．
16．（2024七上·藁城期末）阅读框图，在四个步骤中，依据“等式性质”的步骤是 （填序号）．
解： 去括号得：…………① 移项得：…………② 合并同类项得：…………③ 系数化为1得：…………④
【答案】②，④
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：根据题意得：依据“等式性质”的步骤是②，④．
故答案为：②，④
【分析】
本题主要考查了等式的性质，在等式的两边同时加上或减去同一个式子或数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以相等的非零的数或式子，等式仍然成立，根据等式的性质，进行分析判断，即可得到答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024七上·香洲月考）把下列各数在数轴上用点表示出来，并用“”把它们连接起来．，，，，．
【答案】解：如图所示，
∴．
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【分析】将各点在数轴上表示出来，再根据数轴比较法比较大小即可求出答案.
18．（2024七上·新华期末）解方程：
【答案】解：由方程，
方程两边同乘以12去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程的求法，根据一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解．
19．（2024七上·北京市期中）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
解方程： 解：原方程可化为：． ……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：． ……第②步 去括号，得：． ……第③步 移项，得：． ……第④步 合并同类项，得：． ……第⑤步 系数化1，得：． ……第⑥形 所以为原方程的解．
上述小亮的解题过程中
（1）第②步的依据是_________________________________________________；
（2）第____（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子_______________．
【答案】（1）等式基本性质2
（2）③；
【知识点】等式的基本性质；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】（1）第②步的依据是：等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
（2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：．
故答案为：③；．
【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出答案.
（1）第②步的依据是：等式基本性质2；
故答案为：等式基本性质2；
（2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：．
故答案为：③；．
20．（2024七上·藁城期末）如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线，线段，射线
（2）在线段上任取一点D（不同于B、C），连接；
（3）数数看，此时图中线段共有 条．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）6
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的计数问题
【解析】【解答】解：（3）解：图中有线段6条，即线段，，，，，，
故答案为：6．
【分析】（1）根据直线定义，射线定义，以及线段的概念，用直尺直接画出 直线，线段，射线 ，即可得到答案；
（2） 在线段上任取一点D ，根据线段的概念，利用直尺即可作出图形，即可求解；
（3）根据线段的的定义，结合图形，得到 图中线段的条数，得到答案.
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：图中有线段6条，即线段，，，，，，
故答案为：6．
21．（2024七上·永年期末）已知代数式 .
（1）求 ；
（2） 当 时， 求 的值；
（3）若 的值与 的取值无关， 求 的值.
【答案】（1）解：根据题意：将 直接代入，
得：
=
=，
∴.
（2）解：由（1）知 ，
将 代入 ，
得：
=
=
=
；
（3）解：由（1） 知 ，
的值与 的取值无关，
∴.
【知识点】整式的加减运算；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】（1）将整式直接代入，再利用整式的混合运算的计算方法分析求解即可；
（2）将代入计算即可；
（3）先求出，再结合“ 的值与 的取值无关”可得，最后求出y的值即可.
22．（2025七上·金东期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为b米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长b米，宽a米的长方形小路，剩余部分种草．
（1）小路的面积为______平方米，种花的面积为______平方米，种草的面积为______平方米；（结果保留π）
（2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3.14，结果精确到十分位）．
【答案】（1），，
（2）解：由（1）可知，种草的面积=（2ab-a2）平方米，
当a=2，b=10时，2ab-a2=2×2×10-3.14×22=27.44≈27.4平方米，
答：长方形场地上种草的面积为27.4平方米.
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）观察图形可知，小路的面积为ab平方米，
种花的面积=4×a2=a2平方米，
种草的面积=3ab-ab-a2=（2ab-a2）平方米，
故答案为：，，；
【分析】（1）观察图形，根据长方形的面积公式求小路的面积，种花的面积为半径为a的圆的面积，种草的面积等于大长方形的面积-小路的面积-种花的面积，列出代数式即可得出答案；
（2）由（1）可得，种草的面积=（2ab-a2）平方米，然后当，代入求值即可.
（1）解：小路的面积为平方米，种花的面积为平方米，种草的面积为平方米，
故答案为：，，；
（2）解：当，时，
平方米．
答：该长方形场地上种草的面积为27.4平方米．
23．（2024七上·裕华期末）若，则称与是关于的平衡数；
（1）与_______是关于的平衡数；
（2）与_______是关于的平衡数；
（3）若，，试判断与是否是关于的平衡数，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，∴
∴与不是关于的平衡数．
【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：（1）∵
∴与是关于的平衡数，
故答案为：．
（2）
∵，
∴与是关于的平衡数；
故答案为：．
【分析】（1）根据平衡数的定义，结合，即可求出答案．
（2）根据平衡数的定义，列出方程，求得x的值，即可求出答案．
（3）根据平衡数的定义，以及整式的加减运算法则，求得，结合平衡数的定义，即可得到结论.
（1）解：∵
∴与是关于的平衡数，
故答案为：．
（2）∵，
∴与是关于的平衡数；
故答案为：．
（3）∵，
∴
∴与不是关于的平衡数．
24．（2024七上·丛台期末）在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将两个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘．
（1）如图①，已知，若，则________；
（2）如图②，已知，若，求的度数；
（3）经过一番探究，小明和他的同伴们发现：如图③，若，，则可以用含α和β的式子直接表示的度数，你发现什么规律了吗？请你写出正确的结论，不必证明．
【答案】（1）
（2）解：因为，且，
可得，所以.
（3）解：因为，且，
可得，所以．
【知识点】角的运算；角度的四则混合运算
【解析】解：（1）因为，且，
可得，所以.
故答案为：.
【分析】（1）根据角的和差运算，先求得的度数，再由，即可求解；
（2）根据角的和差运算，先求得的度数，再由，即可求解；
（3）根据角的和差运算，先求得，再由，即可求解．
（1）∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴．
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