22.3 实际问题与二次函数 同步训练（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3 实际问题与二次函数 同步训练
一、单选题
1．跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为寻找更为有利的起跳条件，小西利用红外摄像仪记录得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度S（米）与滑行时间t（秒）之间的关系式为，若起跳后的飞行高度为13米，则滑行的时间为（）
A．1秒 B．11秒 C．秒 D．12秒
2．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
3．用长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系是，则铅球推出的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）
A．22 B．21 C．16 D．12
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：小球从抛出到落地需要；小球运动时的高度小于运动时的高度；小球运动中的高度可以是，其中正确结论是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．小球运动中的高度可以是时，所需时间为 ．
9．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 s时间才能停下来．
10．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，则水管应有 ；
11．如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线可近似看作一条抛物线，四边形为矩形且支架均垂直于地面．已知米，米，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为，则抛物线的表达式为 ．
三、解答题
12．玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品．已知该文化产品的成本价格为20元／件，每天的销量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）满足关系式，销售单价不低于成本且不高于40元/件，设销售该文创产品的日获利为元．
(1)当销售单价定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？
(2)若线上平台将向该工作室收取元/件的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，日获利最大，求的值．
13．为进一步落实“乡村振兴战略”，我市新出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒20元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足关系式：，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)若要使该农业生产合作社每天的销售利润为1200元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？
(3)若规定黑木耳的销售单价不低于65元，且每天的销售量不少于10盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？
14．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；
(3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？
15．足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
《22.3 实际问题与二次函数 同步训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案
1．B
【分析】本题考查了二次函数的应用；根据给定的二次函数关系式，将飞行高度代入后解一元二次方程，并排除负根（时间不能为负）．
【详解】解：∵，且，
∴，
整理得：，
两边乘以：，
解方程：，
∴或，
∵时间不能为负，
∴秒．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是理解利润计算公式：总利润=每件利润×销售量，每件利润为售价减成本（50元），销售量基于刚开始的销售量（200件）和售价变化（每下降1元增加2件）计算，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，每件利润为元，
∵售价从99元降至x元，
则下降元，
∴销售量增加件，
∴总销售量为件，
∴，
故选C．
3．A
【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键．
设窗框的较长一边为，窗户的面积为，则较短一边（宽）为，据此得到窗户透光面积的表达式，根据二次函数的性质，求解最大值即可．
【详解】解：设窗框的较长一边为，窗户的面积为，
则较短一边（宽）为，
根据题意得，，
∵，
∴当，即时，y有最大值，最大值为6，
∴窗户的最大透光面积为
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解决本题的关键在于理解铅球推出的距离与二次函数的关系．
当铅球落地时，高度，此时对应的水平距离的值就是铅球推出的距离，由此求解即可．
【详解】解：令，得到方程，
化简得到，
解得，（舍去），
∴铅球推出的距离为．
故选：B ．
5．C
【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键．
建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
、，
设抛物线解析式为，
将代入解析式得，
解得，
，
点的横坐标为，
当时，，
点到的距离为，
故选：C．
6．D
【分析】首先由求出点的坐标为 ，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．
本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键．
【详解】解：，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题．
令解方程求出t的值，即可判断①，分别求出和时的值是，即可判断②，令，即可判断③．
【详解】解：∵落地时高度，
∴
解得或，
∵为抛出时刻，
∴落地时间为，故①正确．
当时，
；
当时，
，
∵，故②正确．
根据题意得，
，
∴，
∴
，
∴方程无实数解，
∴高度不可能达到，故③错误．
综上，正确结论为①②，
故选：B．
8．或
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，将高度代入关系式，建立关于t的方程，求解即可得到所需时间．
【详解】由题意，令，得方程，
整理得：，
两边同时除以，得：，
因式分解得：，
解得或，
经检验，和均满足，故符合题意，
故答案为：或．
9．20
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确理解题意求解是解题的关键．
飞机停下来时滑行距离最大，因此求二次函数的最大值点．
【详解】二次函数的顶点横坐标为，故飞机着陆后滑行时间才能停下来．
故答案是：．
10．
【分析】本题考查了二次函数的图象及应用，用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与轴交点，根据题目条件找到抛物线的顶点坐标及抛物线与轴交点坐标是解关键．根据题意，点是抛物线的顶点，抛物线与轴交点坐标为，设抛物线的顶点式为，将点代入求抛物线的解析式，求当时的值．
【详解】解：抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的顶点式为，
将点代入求抛物线的解析式，得，
解得，，
抛物线的解析式为，
当时，，
水管高为．
故答案为：
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意由待定系数法求解是关键．依据题意得，抛物线的对称轴是y轴，故可设抛物线为，再由，可得方程组，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是y轴，
故可设抛物线为．
又∵，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
故答案为：．
12．(1)当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元．
(2)a的值为2．
【分析】（1）根据利润利润单价数量直接列式即可得到答案；
（2）首先表示出收取费用后的日获利，然后根据函数的性质直接求解即可得到答案；
本题考查二次函数解决销售利润问题，解题的关键是根据题意列出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质．
【详解】（1）解：日获利
∵
∴二次函数开口向下，
∴当时，w最大值为500．
答：当销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元．
（2）解：收取费用后，日获利
∴顶点横坐标
根据题意，时日获利最大，
∴
解得．
13．(1)
(2)40元
(3)1575元
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一元二次方程解决实际问题；
（1）一盒黑木耳的利润为元，黑木耳每天的销售量为盒，相乘即为w；
（2）根据题意列出方程求解即可；
（3）先根据题意求出x的范围，再根据二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：.
（2）解：令，
即：，
解得：或80．
∵要减少库存，即销售量尽可能要大
当时，
当时，
∵
．
答：黑木耳的销售单价为每盒40元．
（3）解：依题意：，且，
即：，
∵，为开口向下的抛物线，对称轴为直线，
∴当时随的增大而减小，
∴当时，取最大值，最大值为1575．
答：每天销售黑木耳获得的最大利润是1575元．
14．(1)，．
(2)当时，满足条件的花园面积能达到50平方米；
(3)当时，最大，最大面积为200平方米．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握“根据实际问题列函数关系式、结合自变量范围分析函数的取值与最值”是解题的关键．
（1）根据栅栏总长表示出BC的长度，再结合矩形面积公式列函数关系式，同时根据墙长确定自变量取值范围．
（2）将面积50代入函数关系式，解方程并结合自变量范围判断是否可行．
（3）将函数关系式化为顶点式，结合自变量取值范围求最大值．
【详解】（1）解：∵，三边栅栏总长40，
∴．
∴，即．
∵墙长20，
∴，
解得．
（2）解：令，则，
整理得，
解得．
∵，
，（舍去），
∴，
∴当时，满足条件的花园面积能达到50平方米；
（3）解：，
化为顶点式：．
∵，
∴当时，最大，最大面积为200平方米．
15．(1)
(2)球不能射进球门
【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点A的坐标求出a的值，即可解答；
（2）求出抛物线与y轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为（2，3），
设抛物线，
把点代入得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题意，当时，，
，
球不能射进球门．