22.2 二次函数与一元二次方程 同步训练（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程 同步训练
一、单选题
1．二次函数的图象与轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
2．关于的二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
4．已知函数，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，当时，y随x的增大而减小
D．，，当时，y随x的增大而增大
5．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下：
x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 …
y … 0.04 0.59 1.16 …
则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：
①；
②；
③若点，均在抛物线上，则；
④；
⑤．
其中正确的个数有（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
7．若二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，则m的取值范围是 ．
8．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是 ．
9．二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是 ．
10．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为

三、解答题
11．已知二次函数．
(1)将化成的形式，并写出它的顶点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
(3)当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围．
12．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左边，直线经过点A且与抛物线交于点C．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)直接写出不等式的解集．
13．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，直线经过点，．
(1)抛物线的解析式为______；（填一般式）
(2)若关于的一元二次方程无实根，则实数的取值范围是______；
(3)不等式的解集是______．
14．已知抛物线：
(1)求证：无论为何值，与轴总有两个不同的交点；
(2)若两个交点的坐标分别为，且满足，求的值．
参考答案
1．A
【分析】本题考查二次函数与轴的交点个数的判断，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断图象与轴的交点个数．
【详解】解：二次函数的图象与轴的交点即方程的根，
计算判别式，
，
无实数根，
二次函数的图象与轴没有交点，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解．
【详解】∵ 二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点，
∴ ，
∴ ，即 ．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的综合判断，利用交点求不等式的解集．
根据图象可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和，则的解集即为抛物线在直线下方时的取值范围．
【详解】解：可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和，
∴当时，x的取值范围是或，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的根与系数的关系，二次函数的开口方向与对称轴及二次函数的增减性．由条件可得当时，由可得当时，结合和推导出的，可得，以此通过每个选项给出结论进行分析并逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∵，
∴当时，，
由得，代入：
，即，则，
又∵，
∴，二次函数开口向上，
∵二次函数的对称轴为，
∴在中，y始终随x增大而增大，
∴，，当时，y随x的增大而增大，故D正确．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根．
【详解】解：∵ 当 时，；
当 时，；
∴ 在 到 之间，函数值由负变正，
故方程 的一个根在 范围内．
故选 ：C．
6．C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点位置；抛物线与轴的另一个交点抛物线与轴交点个数由决定，逐项分析判断即可解答．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴；
∵对称轴为直线，即，
∴；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∵，
∴，
故①正确．
∵是时的函数值，且是抛物线的顶点（最低点），顶点在第三象限，
∴，
故②正确．
∵抛物线对称轴为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，且抛物线开口向上（离对称轴越近，函数值越小），
∴，
故③错误．
由图象可知，当时， ，
∴当时，
，
故④正确
∵，
∴，
，
，
当时， ，
∴，
故⑤正确．
综上所述，①②④⑤
故选C．
7．
【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，由二次函数与坐标轴只有一个公共点，可知其与x轴无交点，且与y轴的交点唯一，据此利用判别式求解.
【详解】解：二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，
由于二次项系数为，函数始终与y轴有交点
若与x轴有交点，则会有多个公共点，故需与x轴无交点，即判别式小于零，
判别式，解得，
当二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，且是原点时，则，
故答案为：
8．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质与一元二次不等式的关系，解题的关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，再结合开口方向确定时的取值范围．
已知抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为，根据抛物线关于对称轴对称的性质，计算两交点到对称轴的距离，进而求出另一个交点坐标；再由抛物线开口向下，可知图象在两交点之间及交点处的函数值，从而确定的取值范围．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，且与轴的一个交点为，
∴该交点到对称轴的距离为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，即，
又∵抛物线开口向下，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可．
【详解】解：观察图象得：当时，，
即当时，，此时，
所以当时，自变量的取值范围是．
故答案为：．
10．或
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象与不等式的关系，熟练掌握根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集是解题的关键．通过观察一次函数与二次函数的图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方时对应的的取值范围，即为不等式的解集．
【详解】解：∵不等式表示二次函数的图象在一次函数图象上方的部分，
又∵两函数图象交于，两点，
∴当或时，二次函数图象在一次函数图象上方．
故答案为：或．
11．(1)，顶点坐标是
(2)见详解
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键．
（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；
（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可；
（3）根据函数图象确定当时对应的的取值范围即可．
【详解】（1）解：
．
顶点坐标是．
（2）解：列表如下：
x … 0 1 …
y … 0 3 4 3 0 …
如图，
（3）解：由图象知：当时，或．
12．(1)抛物线的解析式为，点B的坐标为
(2)不等式的解集为
【分析】本题主要考查了求抛物线的解析式，根据图象求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式．
（1）先求出点A的坐标为，然后代入求出，得出抛物线的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标即可；
（2）先求出点C的坐标，然后求出不等式的解集即可；
【详解】（1）解：把代入直线得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
将点代入中，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，，
∴点B的坐标为；
（2）解：联立解析式，
解得：或，
∴点C的坐标为，
∴不等式的解集为．
13．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意设，利用待定系数法即可求解；
（）代入得关于的一元二次方程为，即，再通过根的判别式即可求解；
（）由（）得，，则顶点为，再根据图象即可求解．
【详解】（1）解：∵顶点为，
∴设，
∵与轴交于，两点，
∴，解得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（）得，，
∴关于的一元二次方程为，即，
∵关于的一元二次方程无实根，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：由（）得，，
∴顶点为，
∴根据图象可得的图象在下方时，对应的不等式的解集是，
故答案为：．
14．(1)见解析
(2)或
【分析】此题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与轴交点个数问题和一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）当时，，根据一元二次方程根的情况即为抛物线与轴交点的个数进行证明即可；
（2）令，解得：，代入得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
当时，，
由题意得：，
∴无论为何值，有两个不相等的实数根，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：令，
解得：，
，
即，
整理得，
解得：或．