22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 同步训练（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
一、单选题
1．函数的最大值和最小值分别是（ ）
A．4和 B．和 C．5和 D．5和
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线的图像只经过三个象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的顶点式为，则p的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线（a，b，c是常数），且，有下列结论：
①抛物线必过点；
②若，则抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
③若，则抛物线的顶点在第四象限；
④若，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．已知二次函数的图象，当时，有最小值为 ．
8．将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为 ．
9．定义两个不相交的函数图象上两个动点之间的最短距离为这两个函数的“和谐值”，抛物线与直线的“和谐值”为 ．
10．已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ．
11．在二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表：
则表中的值是 ．
三、解答题
12．已知抛物线：．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当时，直接写出该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式；
(3)若抛物线的顶点在轴上，求的值．
13．二次函数的图像与直线交于点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当x取何值时，二次函数值y随x的增大而减小？
(3)当时，求二次函数值y的最大值和最小值．
14．已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 3 2 3 6 11 18 …
(1)请直接写出该二次函数图象的顶点坐标；
(2)请求出该二次函数的解析式；
(3)当时，求y的取值范围．
15．已知二次函数．
(1)用配方法求出该抛物线的对称轴和顶点坐标（写出求解过程）；
(2)在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(3)当时，结合图象直接写出自变量的取值范围______．
16．已知抛物线．
．．． ．．．
．．． ．．．
(1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小．
参考答案
1．C
【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值．
先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．
【详解】解：，
，
∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值，
，
时，是最大值，
∴函数的最大值为5，最小值为．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
先求出抛物线的顶点坐标是，然后根据二次函数的图象只经过三个象限列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标是，
∵二次函数的图象只经过三个象限，
∴，
解得，，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键是掌握二次函数图象与性质．
【详解】解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，，且，
∴点到对称轴距离：，点到对称轴距离：，点到对称轴距离：，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即点离对称轴的距离最近，点次之，点距离最最远，
∴，
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查二次函数顶点坐标公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．通过二次函数顶点横坐标公式，比较给定顶点式中的横坐标值，直接求出p即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点横坐标为：，顶点式为，即顶点横坐标为2，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数的符号关系是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴的交点以及对称轴可得到a、b、c的符号及a与b的关系，即可判断A、B、D选项，根据函数的最值即可判断C选项．
【详解】解：∵抛物线交y轴于负半轴，
∴当时，，故A选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴，
又∵对称轴为直线，
∴，即，故B选项错误；
∵当时，；当时，，
又抛物线开口向上，其对称轴为直线，即当时，y取得最小值，
∴，故C选项正确；
∵，
∴，故D选项错误．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
根据条件，可判断抛物线过点，可判断①；由可推导判别式，可判断②；时顶点坐标取决于a的符号，不一定在第四象限，可判断③；时，，可判断④．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴ 抛物线过点，故①正确；
∵，
∴，
∴ 抛物线与x轴有两个不同交点，故②正确；
∵，且，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴此时抛物线的顶点坐标为，
∴当时，顶点在第四象限；当时，顶点在第一象限，故③错误；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，不一定等于1，故④错误．
∴ 正确结论有2个．
故选：B
7．
【分析】本题考查二次函数的性质，包括二次函数的对称轴、顶点坐标以及函数在给定区间内的最值问题．关键在于准确确定对称轴，结合函数的开口方向和给定取值范围判断函数的最值情况．
【详解】该二次函数为正数，开口向上，由二次函数顶点公式，得顶点横坐标 ，
在取值范围内，故当时，函数取最小值．所以代入函数得 ．
故答案为 ．
8．/
【分析】本题考查了二次函数的平移，熟知平移口诀为左加右减，上加下减，即可解答．
先将二次函数化为顶点式，再根据函数图象平移规律：左加右减，上加下减，即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
把点向右平移2个单位，再向上平移1个单位后所得对应点的坐标为，
所以平移后的抛物线解析式为．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象与性质，设与的直线为，联立方程组，当直线与有唯一交点时，求出，则抛物线与直线的“和谐值”即为直线与直线的的距离，然后根据等面积法求解即可．
【详解】解：设与平行的直线为，
联立方程组，
化简得，
∴，
当直线与有唯一交点时，，
∴，
∴，，
解得，∴，
∴交点为，
∴抛物线与直线的“和谐值”即为直线与直线的的距离，
对于，当，；
当时，，解得，
∴直线与y轴，x轴的交点为，，
如图，连接，设到的距离为h，则，
∴，
∴，
∴
∴抛物线与直线的“和谐值”为．
故答案为：．
10．（答案不唯一）
【分析】该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项．
【详解】解：设二次函数解析式为．
∵二次函数有最小值，
∴．
∵图象经过点，
∴当时，，即．
取，，则解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查了二次函数的性质，由表可知当时，，当时，；当时，，当时，，从而得出抛物线的对称轴为直线，然后求出的值即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由表可知，当时，，当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
又当时，，当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，解得：，
故答案为：．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了抛物线的解析式、对称轴、顶点坐标及关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）将抛物线化为顶点式，即可求出对称轴；
（2）根据关于轴对称，函数值互为相反数，即可求解；
（3）将抛物线化为顶点式，由抛物线的顶点在轴上，即可求出的值．
【详解】（1）解： ，
抛物线的对称轴为；
（2）解：当时，，
该抛物线关于轴对称的新抛物线的表达式，
则新抛物线的表达式为；
（3）解： ，抛物线的顶点在轴上，
，
．
13．(1)
(2)
(3)最大值为，最小值为0
【分析】（1）先求出点的纵坐标，再求出二次函数的解析式；
（2）根据（1）中求得的二次函数解析式，得出开口方向与对称轴，再确定增减性；
（3）根据（1）中求得的二次函数解析式，在范围内求出二次函数值y的最大值和最小值．
【详解】（1）解：∵直线过点，
∴，
∴，
又二次函数的图像与直线交于点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为．
（2）∵二次函数，
∴开口向上，对称轴为轴，
∴当时，二次函数值y随x的增大而减小；
（3）二次函数，
当时，；
当时，；
当时，，
所以当时，求二次函数值y的最大值为，最小值为0．
【点睛】本题考查了求一次函数自变量或函数值，的图象和性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
14．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．
（1）根据表格即可求解；
（2）设该二次函数的解析式为，由表格可知，该二次函数的图象过点，再代入求解即可；
（3）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由表格可得，当和时函数值均为，
∴对称轴为直线，
∴由表格可得顶点为；
（2）解：设该二次函数的解析式为．
由表格可知，该二次函数的图象过点，
∴，解得，
∴，
即该二次函数的解析式为；
（3）解：当时，，当时，
当时，；
∴当时，．
15．(1)该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义和函数特征．
（1）利用配方法把一般式转化为顶点式可得抛物线顶点坐标；
（2）求出抛物线与y轴以及与轴的交点坐标，结合（1）中顶点坐标画出函数的图象即可；
（3）观察图象即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为；
（2）解：当时，，
当时，，
解得或
∴抛物线与y轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，，
又∵抛物线顶点坐标为，
∴二次函数的图象如图所示：
；
（3）解：由函数图象得：当时，自变量的取值范围为或．
16．(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的综合知识，二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法和绘图的方法，熟知二次函数图像的性质是解题的关键．
（1）将抛物线变为顶点式即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可；
（3）根据函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是，
故答案为：，；
（2）解：当时，，
当时，
或
解得，
当时，
，
综上所述，可选取，
依次描点、连线如图所示，
（3）解：∵，
∴由图可得．