22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 同步训练(含解析) 2025-2026学年人教版九年级上册数学

22.1.3 二次函数y=a（x-h） + k的图象和性质
一、单选题
1．把抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知抛物线的表达式为，下列关于抛物线的说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．关于y轴对称
C．顶点坐标是 D．y有最小值
3．下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在抛物线上的一个点是（ ）
A． B． C． D．
5．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小
D．顶点坐标为
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．抛物线的顶点的坐标为 ．
8．若，在函数的图象上，则 （填“＞”，“＜”，“＝”）．
9．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴左侧，随的增大而 ．
10．当时，二次函数的最大值为8，则 ．
11．在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有 ．（将正确结论的序号全部写在横线上）
①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点．
三、解答题
12．已知函数．
(1)函数图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标为 ．
(2)当 时，随的增大而减小．
(3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？
(4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？
13．如图，正方形的顶点在抛物线上，顶点B、C在轴的正半轴上，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移个单位长度，使得平移后的抛物线经过点，求的值．
14．通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小．
15．已知抛物线 ．
(1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值；
(2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围.
16．已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
参考答案
1．D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，掌握二次函数图象的平移规律是解决本题的关键．
根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，直接进行坐标变换即可得出结果．
【详解】解：∵把抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，
∴所得的抛物线解析式为，
故选D．
2．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点和最值，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵，
∴其开口向上，
∴有最小值，且最小值为，
综上所述，可知选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：A、的顶点坐标为，故本选项不符合题意；
B、的顶点坐标为，故本选项符合题意；
C、的顶点坐标为，故本选项不符合题意；
D、的顶点坐标为，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了二次函数图象上的点，判断点是否在函数图象上关键是看把点的横坐标代入解析式中能否等于纵坐标．通过将每个点的 x 坐标代入抛物线方程 ，计算对应的 y 值，与点的 y 坐标比较，判断点是否在抛物线上．
【详解】解：抛物线方程为 ，
A 、当 时， ， 点 在抛物线上，此选项符合题意；
B 、当 时，，∴ 点 不在抛物线上，此选项不符合题意；
C 、当 时，，∴ 点 不在抛物线上，此选项不符合题意；
D、 当 时， ，点不在抛物线上，此选项不符合题意；
故选：A．
5．D
【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
根据二次函数的性质判断选项即可．
【详解】解：二次函数中，，开口向上，A正确；
对称轴为，B正确；
，且对称轴，当时，y随x的增大而减小，C正确；
顶点坐标为，而非，D不正确．
故选：D．
6．C
【分析】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【详解】解：当时，一次函数经过一、二、三象限，
二次函数开口向上，且与轴交于正半轴，
没有选项满足要求；
当时，一次函数经过一、二、四象限，
二次函数开口向上，且与轴交于负半轴，
只有C选项满足要求，
故选：C．
7．
【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
该抛物线表达式为顶点式，直接根据抛物线表达式确定顶点坐标．
【详解】解：抛物线，
当时，，
∴抛物线的顶点的坐标为，
故答案为 ：．
8．
【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．当时，y随x的增大而减小，，可得．
【详解】∵二次函数的开口向上，对称轴为y轴，
∵当时，y随x的增大而减小，，
∴．
故答案为：．
9． 向下 直线 增大
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，通过比较标准形式可直接得出开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性．抛物线的顶点式为需注意的符号对开口方向和增减性的影响．根据二次函数的性质，由解析式可直接判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性．
【详解】解： ，
，
开口方向向下；
对称轴是直线，
顶点坐标为，
当时，抛物线开口向下，
在对称轴左侧（即时），函数值随的增大而增大．
故答案为：①向下；②直线；③；④增大．
10．或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
当时，在内，
当时，取最大值8，代入解析式得：
，
，
；
当时，在内，
当时，取最大值8，代入解析式得：
，
，
．
故答案为：或．
11．②
【分析】本题考查了二次函数的性质．
通过分析每个二次函数的顶点、对称轴、开口方向及与x轴交点情况，判断各结论是否正确．
【详解】对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点；
对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交；
对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点；
结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误；
结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确；
结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误；
结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误；
故答案为：②．
12．(1)向下；直线；
(2)
(3)当x取时函数能取到最值，是最大值，函数的最大值是
(4)抛物线先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，就可以得到抛物线
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数平移口诀是解题的关键．
（1）根据二次函数顶点式的性质即可解答．
（2）根据对称轴和二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的性质即可解答；
（4）根据二次函数平移口诀即可解答．
【详解】（1）解：根据二次函数解析式可得，
函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
故答案为：向下；直线；；
（2）解：根据二次函数的性质可得当时，随的增大而减小，
故答案为：；
（3）解：根据二次函数的性质可得当x取时函数能取到最值，是最大值，函数的最大值是；
（4）解：二次函数的平移口诀为：左加右减，上加下减，
∵
∴抛物线先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，就可以得到抛物线．
13．(1)
(2)．
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键．
（1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标；
（2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，顶点B、C在轴的正半轴上，
∴，
，点在抛物线上，
，
又正方形中，，
；
（2）解：设平移后抛物线的解析式为：，把代入得
，
解得．
14．；顶点坐标为；当时，随的增大而减小．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将二次函数化成顶点式，根据顶点式可得出顶点坐标，再根据二次函数的增减性质即可解答，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
，
∴顶点坐标为，
∵，
∴当时，随的增大而减小．
15．(1)
(2)
【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解；
（）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解；
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵此抛物线的顶点在直线 上，
∴，
解得；
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于抛物线对称轴的对称点为，
∵抛物线开口向上，
∴当时，．
16．(1)
(2)最值为4，为最大值
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数交点式，顶点式的性质，进行解答，即可．
（1）根据二次函数与轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算，求出的值，即可得到二次函数解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于，
∴设该二次函数的解析式为：
∵二次函数图象过点
∴将代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
即．
（2）解：∵，
∴这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴最值为4，为最大值．